地方性院校高等代數(shù)課程教學(xué)的實踐與認(rèn)知

秦永云

（曲靖師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，云南 曲靖 655011）

引言

近年來，隨著我國高等教育規(guī)模不斷擴大，地方性新升本師范院校也相應(yīng)增加。相對省屬部屬高校，地方性院校學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力較弱，尤其是抽象思維、邏輯思維能力較弱，而《高等代數(shù)》課程對學(xué)生的抽象理解力要求很高，因此，學(xué)生普遍反映《高等代數(shù)》較難，大多數(shù)學(xué)生只是死記硬背應(yīng)付考試，沒能真正理解，而后續(xù)課程要用到相關(guān)知識時，印象不深。而開設(shè)這門課程的初衷，正是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)，為后續(xù)課程做鋪墊。本文結(jié)合自身的教學(xué)實踐，改變原來的教學(xué)模式，既能讓學(xué)生掌握高等代數(shù)的基本知識，又能讓學(xué)生理解其內(nèi)涵，在培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的同時，又為后續(xù)課程奠定基礎(chǔ)。本文選用北京大學(xué)代數(shù)小組編寫的經(jīng)典教材《高等代數(shù)》第四版為例，采用數(shù)學(xué)主題情境教學(xué)法。下面是本人教學(xué)中的幾點教學(xué)方法改革嘗試。

一、從簡單例子出發(fā)，加強學(xué)生對抽象定義的理解

高等代數(shù)主要研究抽象的代數(shù)系統(tǒng)以及代數(shù)運算，其抽象定義較多，如線性空間、線性變換等。這些定義的理解直接關(guān)系著整門課程的學(xué)習(xí)效果。而面對學(xué)生抽象理解力較弱，教師可從簡單例子出發(fā)，從而加深學(xué)生對抽象定義的理解。例如，在講線性空間的定義時，可從平面向量、n元數(shù)組入手，讓學(xué)生總結(jié)它們都是帶有運算的集合：加法和數(shù)量乘法，且這兩種運算滿足一些規(guī)律。把這些共性抽象出來，就得到線性空間的定義。這樣，學(xué)生對線性空間這個抽象的定義有了具體的例子，就能做到真正理解，而不是死記硬背；在學(xué)習(xí)線性空間的相關(guān)性質(zhì)時，聯(lián)系這兩個例子也能幫助學(xué)生加深理解。這些抽象定義的學(xué)習(xí)將為后續(xù)課程《抽象代數(shù)》中群、環(huán)、域的理解奠定基礎(chǔ)。

二、一題多解，加深學(xué)生對知識點的理解

矩陣的合同是高等代數(shù)中的一個重要知識點，而課本上的內(nèi)容只能讓學(xué)生記住什么叫合同：稱矩陣A與B合同，如果存在可逆矩陣C使得B=C’AC。但是，學(xué)生往往不理解它的實質(zhì)——左乘C’和右乘C，對矩陣A來說發(fā)生了哪些改變。另一方面，書本第五章第二節(jié)，講到將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的方法，教材上提到兩種方法——配方法和矩陣法，我在備課時查了相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)還有另一種方法——初等變換法，即將矩陣A和單位矩陣E一上一下排成一個大矩陣，對這個大矩陣同時做初等行變換和初等列變換（所做的行、列變換要一致），則將A化為對角矩陣時，E就化為替換矩陣C。這種方法教材上沒有提到，但我給學(xué)生講解后，學(xué)生反映這種方法較前兩種簡單，而且，這種方法多次強調(diào)，對矩陣A同時做同樣的行、列變換，這恰好解釋了合同變換——左乘C’和右乘C，就是對A做了一系列相同的行、列變換。

三、創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生興趣

問題情境的創(chuàng)設(shè)不只出現(xiàn)在高中課堂中，高等代數(shù)的教學(xué)同樣要創(chuàng)設(shè)一些生動有趣的情境，以激發(fā)學(xué)生的興趣。比如，在講解二階行列式的定義時，從解二元一次方程組出發(fā)，讓學(xué)生自己推導(dǎo)，并觀察解的特點，總結(jié)出分子分母的特征——都為兩數(shù)乘積減去兩數(shù)乘積，從而把這樣的運算定義為二階行列式。讓學(xué)生把二元的情形推廣到三元、多元，就自然地引出三階行列式、n階行列式的定義。又如，在講解逆矩陣的定義時，從中學(xué)中的逆運算出發(fā)；在講解輾轉(zhuǎn)相除法時，從短除法出發(fā)；在講解線性空間的基與坐標(biāo)時，從直角坐標(biāo)系的單位向量、坐標(biāo)出發(fā)；在講解線性變換的運算時，從函數(shù)的運算出發(fā)。這樣，學(xué)生在原有知識的基礎(chǔ)上自行推導(dǎo)、引入新概念，就能更好的理解新知識。

四、注重名詞解釋，加強學(xué)生的理解記憶

高等代數(shù)的定義、定理中有大量的名詞，這些名詞都是沿用國際慣例，所以課本上沒有做太多的解釋。然而，給學(xué)生講清楚這些名詞的由來及背景，往往能加深學(xué)生對知識點的理解和記憶。比如，在講解線性方程組的概念時，可以給學(xué)生解釋數(shù)學(xué)中“線性”的含義，并聯(lián)系中學(xué)學(xué)過的線性規(guī)劃，讓學(xué)生明白“線性”即“一次”，這樣，就能加強學(xué)生對線性方程組的理解，并且，在學(xué)習(xí)線性組合、線性相關(guān)性、線性替換時，也能更好更快的理解相關(guān)概念。又如，在講解慣性定理時，聯(lián)系物理背景，“慣性”即“保持不變的性質(zhì)”，這樣，慣性定理就是實二次型在非退化線性替換下保持不變的性質(zhì)。在講解線性子空間的直和時，從幾何中解釋，“直和”即“垂直的和”，就能使學(xué)生理解直和的等價定義。