高中數(shù)學(xué)概念非形式化教學(xué)思路

劉麗娟

（伊金霍洛旗高級(jí)中學(xué)，內(nèi)蒙古 伊金霍洛旗 017200）

數(shù)學(xué)的主要特點(diǎn)是形式化，通過(guò)一套表意符號(hào)體系對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象結(jié)構(gòu)和規(guī)律進(jìn)行表達(dá)，進(jìn)一步對(duì)符號(hào)開(kāi)展深刻研究。非形式教學(xué)具體憑借特殊的數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)自然語(yǔ)言有效擴(kuò)充，是對(duì)自然語(yǔ)言符號(hào)有效依附的產(chǎn)物，一定程度豐富了自然語(yǔ)言。

一、高中數(shù)學(xué)概念非形式化特征

這里所指的非形式與傳統(tǒng)教學(xué)內(nèi)容或方式不同，淡化內(nèi)容處理的數(shù)學(xué)形式。隨著我國(guó)逐步推進(jìn)改革開(kāi)放工作，以及社會(huì)經(jīng)濟(jì)的迅速發(fā)展，在課堂中出現(xiàn)了一部分現(xiàn)代的、應(yīng)用性較強(qiáng)的內(nèi)容，比如概率、統(tǒng)計(jì)、離散數(shù)學(xué)等。它們的統(tǒng)一特征是：突出對(duì)實(shí)質(zhì)特點(diǎn)的理解，無(wú)需對(duì)形式表達(dá)提出較高的要求；關(guān)注應(yīng)用，尤其是緊密聯(lián)系日常生活中的應(yīng)用；強(qiáng)調(diào)實(shí)際操作，憑借這項(xiàng)操作培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣。

概率知識(shí)的出現(xiàn)，帶出了一部分計(jì)算公式，比如互斥事件的概率公式P（A+B）=P（A）+（B），同時(shí)彼此獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式P（A?B）=P（A）?P（B）。高中時(shí)期的數(shù)學(xué)更重視應(yīng)用公式，絕不僅是證明和推理理論的形式化。二項(xiàng)式定理的理論形式化證明正在逐步弱化，教學(xué)的關(guān)鍵在于理解和應(yīng)用定理及其實(shí)際意義。比如探究式二項(xiàng)式定理的教學(xué)，教學(xué)過(guò)程如下：

教師：數(shù)學(xué)家費(fèi)馬大家都不陌生吧，他創(chuàng)造了解析幾何。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域費(fèi)馬的貢獻(xiàn)遠(yuǎn)不如此，他基本涉足了數(shù)學(xué)的任何領(lǐng)域，與他同一時(shí)期的著名物理學(xué)家，也是朋友的帕斯卡，費(fèi)馬層嘗試引導(dǎo)帕斯卡關(guān)注數(shù)論，如此他們能共同研究，但是帕斯卡并不在意數(shù)學(xué)，也沒(méi)有研究興趣，費(fèi)馬只能獨(dú)自作戰(zhàn)。但他們形成共同的興趣，并一起研究。我們來(lái)看一看他們對(duì)什么問(wèn)題產(chǎn)生了興趣？

教師在多媒體上演示這部分內(nèi)容：丟擲幾次銅板或一粒骰子，我們有多大機(jī)會(huì)得到期望的結(jié)果？可不可以計(jì)算出來(lái)？對(duì)這個(gè)問(wèn)題可通過(guò)概率知識(shí)有效解決，帕斯卡與費(fèi)馬開(kāi)展最簡(jiǎn)單的研究：擲銅板的游戲，銅板包括頭與花2個(gè)面，T代表花，H代表頭。

1次擲1個(gè)銅板可能出現(xiàn)的情況：T，H

2次擲1個(gè)銅板可能出現(xiàn)的情況：TT，TH，HT，HH

3次擲1個(gè)銅板可能出現(xiàn)的情況：TTT，THT，HTT，TTH，THH，HTH，HHT，HHH

我們基本不會(huì)注意到頭與花在游戲中出現(xiàn)的順序，而是對(duì)出現(xiàn)次數(shù)給予高度關(guān)注。因此初步認(rèn)為T(mén)H與HT是相同的，其中相同的還有THT與HTT，此時(shí)對(duì)游戲結(jié)果分析：

擲1次：T H

擲2次：T2 2TH H2

擲3次：T2 3T2H 3TH2 H3

擲4次：T4 4T3H 6T2H2 4TH3 H4

...

同學(xué)們要不要也做一回小數(shù)學(xué)家，你發(fā)現(xiàn)的結(jié)果若也是如此，該如何聯(lián)想？

經(jīng)過(guò)詳細(xì)的討論，結(jié)果與展開(kāi)楊輝三角與（a+b）n的系數(shù)有關(guān)。

當(dāng)n=0時(shí)，有（a+b）0=1

當(dāng)n=1時(shí)，有（a+b）1=a+b

當(dāng)n=2時(shí)，有（a+b）2=a2+2ab+b2

當(dāng)n=3時(shí)，有（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b2

...

實(shí)際上基于歷史角度分析數(shù)學(xué)的發(fā)展，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)某一定理或結(jié)論時(shí)，數(shù)學(xué)家必經(jīng)歷非形式化的思維，包含一部分猜想、推測(cè)、直覺(jué)、形式化證明等過(guò)程，并獲得不斷的完善。處理數(shù)學(xué)中一些形式化的概念時(shí)，應(yīng)科學(xué)設(shè)計(jì)，進(jìn)一步訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維。

二、高中數(shù)學(xué)概念非形式化教學(xué)思路設(shè)計(jì)

（一）利用不同表達(dá)，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化關(guān)系

數(shù)學(xué)中函數(shù)概念非常重要，并向數(shù)學(xué)各個(gè)分支滲透。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，函數(shù)概念的表述也出現(xiàn)不同：變量說(shuō)、對(duì)應(yīng)說(shuō)和關(guān)系說(shuō)。初中階段函數(shù)的概念，重點(diǎn)依賴(lài)變量關(guān)系，變量說(shuō)強(qiáng)調(diào)了函數(shù)思想的精華，形象且自然，理解相對(duì)容易。但變量說(shuō)存在顯著不足，它無(wú)法深刻詮釋對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)概念在高中時(shí)期有效轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)說(shuō)，抽象性更強(qiáng)，準(zhǔn)確抓住了函數(shù)的根本屬性，在兩個(gè)集合間函數(shù)闡述了這些元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)應(yīng)說(shuō)的抽象性，引出更抽象的算子。在深入研究對(duì)應(yīng)說(shuō)時(shí)也出現(xiàn)不足。函數(shù)的關(guān)系說(shuō)抽象性最強(qiáng)，普通學(xué)生接受困難，卻對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)進(jìn)行了深化。中學(xué)時(shí)期開(kāi)展函數(shù)教學(xué)，如一度突出形式化教學(xué)，學(xué)生容易產(chǎn)生畏難的心理。所以在不斷深化函數(shù)的變量說(shuō)時(shí)，將函數(shù)作為數(shù)學(xué)模型，通過(guò)大量例子詮釋變量的依賴(lài)關(guān)系；另外，還彰顯集合的對(duì)應(yīng)說(shuō)，從而對(duì)函數(shù)精確表示。

（二）通過(guò)引入概念，展示建構(gòu)過(guò)程

非形式化概念準(zhǔn)確呈現(xiàn)了學(xué)生構(gòu)建認(rèn)知的過(guò)程，因此產(chǎn)生兩種不同的形式，即概念形成與概念同化，基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)新概念實(shí)施控制。事實(shí)上，學(xué)生本身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)對(duì)感知與理解一般事物造成不同程度的影響，在現(xiàn)有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中不僅可以同化新概念，還可以對(duì)其有效接納。學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)概念的同時(shí)有效了解認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建過(guò)程，學(xué)生難以憑借形式化理解概念，必須產(chǎn)生一個(gè)非形式化的流程。

在立體幾何中最基本的概念即平面的垂線的概念，通過(guò)定義向?qū)W生傳授垂線概念，難以幫助學(xué)生建立空間概念。實(shí)際上，我們?cè)谌粘Ｉ钪械教幎伎梢园l(fā)現(xiàn)這個(gè)立體幾何模型。比如電線桿，可幫助學(xué)生初步形成直線與平面垂直的概念，之后利用模型引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)直線和平面上任何直線都垂直的屬性?；谌粘Ｉ顚?shí)例，通過(guò)模型展示形成模型的過(guò)程，對(duì)概念特征有效深化。

（三）重視自給概念定義

在具體教學(xué)中，我們應(yīng)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特點(diǎn)，抽象數(shù)學(xué)語(yǔ)言和符號(hào)使用之前，憑借可觀察的、描述性的、可親自體驗(yàn)的形式對(duì)新概念進(jìn)行傳播，引導(dǎo)他們親自體驗(yàn)與構(gòu)造，并學(xué)會(huì)利用自己的語(yǔ)言進(jìn)行解釋?zhuān)瑥亩鴱氐椎睦斫庵R(shí)。數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程體現(xiàn)出探索特點(diǎn)，應(yīng)盡可能防止其出現(xiàn)明顯的抽象性，幫助學(xué)生扎實(shí)掌握數(shù)學(xué)概念，嘗試?yán)米约旱恼Z(yǔ)言準(zhǔn)確理解概念。

三、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)是系統(tǒng)化的常識(shí)，需要經(jīng)過(guò)一系列提煉與組織成為數(shù)學(xué)，進(jìn)一步產(chǎn)生一定法則，這部分常識(shí)在更高層次中又發(fā)展為新的常識(shí)，這樣持續(xù)螺旋提升，以至無(wú)窮。因此，在教學(xué)中我們必須理解非形式化應(yīng)用的巨大意義，并發(fā)揮了無(wú)法取代的優(yōu)勢(shì)，幫助學(xué)生憑借自身努力找出概念存在的本質(zhì)。