巧用二次函數與一元二次方程的關系解題

杭永根

【課本原題】（蘇科版《數學》教科書九年級下冊第25頁例題）不畫圖像，判斷二次函數y=-x2+5x-8的圖像與x軸是否有公共點？

本題的求解比較容易，故從略.

【演變過程】這是判斷二次函數圖像與x軸交點情況的問題，我們知道x軸上的點的縱坐標都是0，即y=0.當y=0時二次函數y=ax2+bx+c就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0，因此判定二次函數y=ax2+bx+c的圖像與x軸的交點個數情況就轉化為判定一元二次方程ax2+bx+c=0實數根個數的情況，即由根的判別式Δ=b2-4ac的符號來確定：Δ>0[?]拋物線與x軸有兩個交點；Δ=0[?]拋物線與x軸有一個交點；Δ<0[?]拋物線與x軸沒有交點.還可應用求根公式和根的判別式等知識去尋找二次函數問題的求解途徑.反過來，也可構造二次函數來解決方程問題.中考命題者常常在這兩個核心知識的交匯處設計試題.

【考題在線】

變式1：（2016·湖南永州）拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同的交點，則m的取值范圍是（ ）.

A.m<2 B.m>2

C.0

【思路分析】拋物線y=x2+2x+m-1與x軸有兩個不同交點，即對應的一元二次方程有兩個不等的實根，因此可由Δ>0確定m的取值范圍.

【解答】由題意可知方程x2+2x+m-1=0有兩個不等的實根，∴Δ=22-4（m-1）=8-4m>0，解得m<2，故選A.

【解后反思】本題考查了二次函數與一元二次方程的聯(lián)系，應用這種聯(lián)系將二次函數問題轉化為一元二次方程問題是解題的關鍵.

變式2：（2016·湖北荊州）若函數y=（a-1）·x2-4x+2a的圖像與x軸有且只有一個交點，則a的值為 .

【思路分析】由于題目中沒有說明是二次函數，因此需要分a=1、a≠1兩種情況進行分類思考，分別找出解題思路.

【解答】當a=1時，函數y=（a-1）x2-4x+2a=-4x+2，其圖像與x軸有交點；當a≠1時，由Δ=（-4）2-4×2a×（a-1）=0，解得a=2或-1.因此a的值為1、2或-1.

【解后反思】解決本題的關鍵是要明確函數的類型，進而分類運用相關的知識來求解.

變式3：（2016·四川瀘州）若二次函數y=2x2-4x-1的圖像與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，則[1x1]+[1x2]的值為 .

【思路分析】首先根據二次函數與一元二次方程的關系得到x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的兩個根，然后由根與系數的關系求出對稱式的值.

【解答】∵x1和x2是一元二次方程2x2-4x-1=0的兩個根，∴x1+x2=2，x1x2=[-12]，∴[1x1]+[1x2]=[x1+x2x1x2]=-4.

【解后反思】二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，因此二次函數y=ax2+bx+c與x軸交點的兩個橫坐標也滿足一元二次方程根與系數的關系.

變式4：（2016·江蘇泰州壓軸題）已知兩個二次函數y1=x2+bx+c和y2=x2+m.對于函數y1，當x=2時，該函數取最小值.

（1）求b的值；

（2）若函數y1的圖像與坐標軸只有2個不同的公共點，求這兩個公共點間的距離；

（3）若函數y1、y2的圖像都經過點（1，-2），過點（0，a-3）（a為實數）作x軸的平行線，與函數y1、y2的圖像共有4個不同的交點，這4個交點的橫坐標分別是x1、x2、x3、x4，且x1

【思路分析】這是一道以一次函數和二次函數為背景的綜合題，難度適中，入口寬，解法多，考查一次函數、二次函數、一元二次方程、不等式（組）、勾股定理等核心知識和轉化、方程、分類、模型、配方等數學思想方法.

【解答】（1）由二次函數的對稱軸為x=2有x=[-b2]=2，∴b=-4.

（2）由函數y1的圖像與坐標軸只有2個不同的公共點，知有兩種情況：①圖像與x、y軸都只有一個公共點，此時Δ=0，解得c=4，兩個公共點分別為（2，0）、（0，4），∴兩公共點間的距離為[22+42=25]；②二次函數的圖像與y軸必有公共點，要使二次函數的圖像與坐標軸只有兩個公共點，則其中必有一個是原點，即c=0，此時y1=x2-4x，∴兩公共點間的距離為[x1-x2]=[x1+x22-4x1x2]=[42]=4.

（3）函數y1、y2的圖像都經過點（1，-2），∴c=1，m=-3，∴y1=x2-4x+1，y2=x2-3，如圖所示.

①當a>0且a-3<-2，即0

由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，∴x3+x4=4，x3·x4=4-a，∴x4-x3=[x3+x42-4x3x4]

=[16-44-a]=[2a]，∴x4-x3+x2-x1=[2a]+[2a]

=[4a].∵0

②當a-3>-2，即a>1時，x2、x4在y1上，x1、x3在y2上，由x2-4x+1=a-3有x2-4x+4-a=0，∴x2+x4=4；由x2-3=a-3有x2-a=0，x1+x3=0，∴x4-x3+x2-x1=（x4+x2）-（x3+x1）=4-0=4.

∴綜上所述，x4-x3+x2-x1的最大值為4.

【解后反思】這里，第（1）題運用了轉化與方程思想，先由x=2時該函數取最小值轉化出二次函數的對稱軸為x=2，再利用二次函數的對稱軸為x=[-b2]，構造出方程來求解.第（2）題運用了分類與轉化思想.先用分類思想找出了y1的圖像與坐標軸只有2個不同公共點的兩種情況，避免了漏解.然后，對情況①，將二次函數轉化為二次方程來處理；對情況②，從兩個公共點中轉化出必有一個是原點，然后運用坐標軸上兩點間距離公式和根與系數關系，巧妙地將求兩公共點間的距離轉化為求代數式的值.第（3）題利用整體思想，在求出a的兩個不同取值范圍后，將x4-x3+x2-x1分別轉化為兩根之差與兩根之和，再利用由直線解析式和二次函數解析式得到的兩個方程，利用一元二次方程根與系數的關系分別求出兩根之差與兩根之和，然后整體代入，避免了對根的不同情況的討論，解題過程顯得比較簡捷.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）