兩層彈性軟基底中壓電薄膜的屈曲分析

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(浙江工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院,浙江 杭州 310014)

薄膜材料在先進技術(shù)領(lǐng)域有著非常廣泛的應(yīng)用,尤其是在微納機電系統(tǒng)[1]和柔性電子器件領(lǐng)域[2-4]。自從Bowden等[5]的研究工作表明柔性基底上薄膜的屈曲可以被控制以來,許多學(xué)者對薄膜基底系統(tǒng)的屈曲問題進行了大量的理論研究[6-9],并取得了很大的進展。但是表面屈曲可能會使薄膜和基底發(fā)生脫層斷裂是雙層結(jié)構(gòu)一個很大的弊端[10]，而3層結(jié)構(gòu)能夠很好的緩解這一問題,在可彎曲和拉伸的集成電路中有廣泛的應(yīng)用。Kim等[11]制造出的PI/Si-CMOS/PI集成電路不僅僅具有良好的導(dǎo)電性能,而且具有優(yōu)越的可彎曲性能。楊加偉等[12]從理論上分析了夾在兩個柔性層中薄膜的正弦模態(tài)屈曲問題,得到了屈曲臨界薄膜應(yīng)力、波數(shù)和平衡狀態(tài)下的波幅解析表達式,針對不同的剛硬薄膜和柔性層的彈性模量,當剛硬薄膜相對于上下柔性層越硬,就越容易發(fā)生屈曲。然而,壓電材料因其獨特的力電耦合特性作為一種智能材料有著普通材料不可比擬的優(yōu)勢,壓電薄膜彈性基底結(jié)構(gòu)也有著非常重要的作用。Qi等[13]制造出一種波浪狀的壓電條帶結(jié)構(gòu),表明這種結(jié)構(gòu)可以適應(yīng)更高的壓縮和拉伸應(yīng)變,可以應(yīng)用在拉伸能量收集裝置。Zhou等[14-15]從理論上分析了壓電薄膜彈性基底結(jié)構(gòu)在壓應(yīng)力作用下和預(yù)拉伸基底導(dǎo)致屈曲的問題,得到了屈曲的臨界條件。

受到3層結(jié)構(gòu)可以有效緩解雙層結(jié)構(gòu)屈曲時容易導(dǎo)致薄膜和基底脫層斷裂和提高結(jié)構(gòu)可彎曲性能的啟發(fā),從理論上分析了關(guān)于壓電薄膜3層結(jié)構(gòu)褶皺形式的屈曲問題,采用線性擾動方法分析得到了屈曲的臨界應(yīng)變、波數(shù)、波長和幅值的解析表達式,并且發(fā)現(xiàn)當3層結(jié)構(gòu)退化為雙層結(jié)構(gòu)時,其解能退化成已有的結(jié)果。另外,對比分析了壓電薄膜3層結(jié)構(gòu)和彈性薄膜3層結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)壓電薄膜比彈性薄膜有更強的抵抗屈曲變形能力。

1 壓電薄膜的基本方程

基于非線性薄板理論和壓電基本理論,假設(shè)壓電薄膜的厚度為hf,長度為L,則壓電薄膜內(nèi)的電勢表示[16]為

(1)

式中:φ(0)為基準電勢;φ(1)為外加電勢;φ(2)為誘導(dǎo)電勢。忽略初始微弱電場,因為壓電薄膜無外加電勢,所以φ(0)和φ(1)為零,誘導(dǎo)電勢與壓電薄膜的彎曲變形有關(guān)。

壓電薄膜內(nèi)的電場強度為

(2)

壓電薄膜的本構(gòu)方程為

(3)

(4)

壓電薄膜的幾何方程為

(5)

式中:εmid,εbend分別為壓電薄膜中平面應(yīng)變和彎曲應(yīng)變,且有ε11=εmid+εbend;u為壓電薄膜x方向的位移;w為壓電薄膜的撓度。

(6)

式中:N,T分別為壓電薄膜內(nèi)的膜力和與彈性軟基底界面間的剪切力,可表示[6]為

(7)

2 3層結(jié)構(gòu)模型描述

如圖1所示,厚度為hf的壓電薄膜夾在厚度分別為Ht和Hb的兩層彈性軟基底中,壓電薄膜的極化方向為其厚度方向。假設(shè)彈性層的厚度相比于壓電薄膜而言無限厚,上彈性層的上自由面和下彈性層的下自由面完好地固定在剛性面上。當壓電薄膜受到的壓應(yīng)力超過屈曲臨界應(yīng)力時,壓電薄膜可能會發(fā)生如圖1所示的褶皺屈曲失穩(wěn)。考慮到壓電薄膜y方向的長度遠遠大于其屈曲的波長和幅值,所以可以簡化為平面應(yīng)變問題。

3 屈曲特征量分析

根據(jù)已有的研究,薄膜和基底間界面的剪切力

圖1 模型描述Fig.1 Model description

可以忽略,且膜力分布是均勻的[6-7]。則壓電薄膜的力電耦合控制方程式(6)可簡化為

(8)

式中:Δp=pt-pb為上下彈性軟基底施加在壓電薄膜的壓力差。

假設(shè)壓電薄膜屈曲變形的撓度和電勢分別為

(9)

式中:A,B分別為幅值;k為波數(shù)。代入式(8)的第2式,得到

(10)

式(10)代入式(8)的第1式,得到

(11)

在平面應(yīng)變下,可以利用彈性力學(xué)Airy應(yīng)力函數(shù)求解Δp=pt-pb?？紤]到彈性軟基底的上下自由表面是固定的,內(nèi)邊界的位移滿足周期性的正弦形式,Airy應(yīng)力函數(shù)可以假設(shè)[12]為

F(x,z)=f(z)cos(kx)

(12)

F(x,z)需要滿足雙調(diào)和方程▽2▽2F(x,z)=0,結(jié)合式(12),得到特征方程為

F(4)-2k2F(2)+k4F=0

(13)

求解方程式(13),得到

F(x,z)=[ekz(C1+C2z)+
e-kz(C3+C4z)]cos(kx)

(14)

式中Ci(i=1,2,3,4)為待定常數(shù)。利用數(shù)學(xué)關(guān)系式

(15)

式(14)可以化簡為

F(x,z)=[D1cosh(kz)+D2sinh(kz)+
zD3cosh(kz)+zD4sinh(kz)]cos(kx)

(16)

式中:D1=C1+C3;D2=C1-C3;D3=C2+C4;D4=C2-C4,其值由邊界條件確定。

彈性基底內(nèi)的應(yīng)力分量為

(17)

平面應(yīng)變問題的彈性本構(gòu)方程為

(18)

對式(18)積分可得位移分量為

(19)

式中:E,ν分別為彈性軟基底的彈性模量和泊松比。注意到彈性軟基底的厚度相比于壓電薄膜而言是無限大的,所以這里忽略壓電薄膜的厚度,則上下兩層彈性軟基底的邊界條件可表示為

z上基底=Ht,u=w=0;z=0,w=Acos(kx),τxz=0

z下基底=Hb,u=w=0;z=0,w=Acos(kx),τxz=0

(20)

將式(20)代入式(17)中的第2式,可得

(21)

從而有

(22)

假設(shè)壓電薄膜所受的初始膜力N0=σ0hf,代入到式(11),可得

(23)

將式(22)代入式(23),可得

(24)

壓電薄膜屈曲的臨界條件是在壓電薄膜內(nèi)的膜力取極小值。求解?σ0/?k=0得到臨界波數(shù)為

(25)

(26)

將式(25)代入到式(24),可得臨界壓應(yīng)力為

(27)

(28)

(29)

利用式(26,27),式(29)可表示為

(30)

4 數(shù)值結(jié)果與討論

數(shù)值分析以PZT-5H壓電材料為例,其相關(guān)的材料參數(shù)如表1所示,由表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)可以計算出壓電薄膜的壓電耦合系數(shù)。

表1 PZT-5H相關(guān)材料參數(shù)Table 1 PZT-5H related material parameters

圖2 屈曲特征量與材料彈性模量比的關(guān)系Fig.2 The relationship between the characteristic of buckling and the ratio of elastic modulus of material

圖3描述了歸一化屈曲幅值與施加給薄膜的初始壓應(yīng)力和屈曲臨界壓應(yīng)力比的關(guān)系。從圖3中可以看出:在初始壓應(yīng)力和臨界壓應(yīng)力之比小于1時,幅值不存在,這時薄膜沒有發(fā)生屈曲變形,之后幅值隨著壓應(yīng)力之比的增加而增加,另外還可以看出壓電薄膜結(jié)構(gòu)的幅值比彈性薄膜結(jié)構(gòu)的幅值大。

圖3 屈曲幅值與應(yīng)力比的關(guān)系Fig.3 The relationship between the buckling amplitude and the stress ratio

5 結(jié) 論

研究了夾在兩層彈性軟基底中壓電薄膜的屈曲問題,從理論上分析得到了壓電薄膜屈曲的臨界應(yīng)變、波數(shù)、波長和幅值的解析表達式,推導(dǎo)出的解析表達式進一步退化成雙層結(jié)構(gòu)形式時,獲得的解與已有文獻的結(jié)果完全一致;數(shù)值分析了屈曲臨界應(yīng)變和臨界波數(shù)隨著材料參數(shù)的變化關(guān)系和屈曲幅值隨著初始壓應(yīng)力變化的關(guān)系。結(jié)果表明:壓電薄膜相比于彈性軟基底越剛硬時,屈曲平衡狀態(tài)下波數(shù)越小,波長越大,屈曲臨界應(yīng)變越小,壓電薄膜更容易發(fā)生屈曲變形。通過對比壓電薄膜3層結(jié)構(gòu)與彈性薄膜3層結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)壓電薄膜相比彈性薄膜,抵抗屈曲變形的能力更強。