“冪的運(yùn)算”章節(jié)起始課
——《8.1 同底數(shù)冪的乘法》教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省南京市南京三中文昌初中 董 潔

【教學(xué)目標(biāo)】

1.通過類比學(xué)習(xí)，明確本章學(xué)習(xí)的主線，體會(huì)學(xué)習(xí)同底數(shù)冪乘法運(yùn)算的必要性。

2.理解同底數(shù)冪的乘法法則的意義，會(huì)正確運(yùn)用法則進(jìn)行計(jì)算。

3.感受并運(yùn)用從特殊到一般、從具體到抽象等數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)現(xiàn)并歸納同底數(shù)冪的乘法法則。經(jīng)歷“觀察、探索、猜想、驗(yàn)證、概括”的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)意識(shí)，培養(yǎng)觀察、發(fā)現(xiàn)和有條理地進(jìn)行語言表達(dá)的能力以及演繹推理的能力。

設(shè)計(jì)意圖：第八章“冪的運(yùn)算”是蘇科版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書》七年級(jí)上冊(cè)第三章“代數(shù)式”的延續(xù)和發(fā)展，也是后續(xù)學(xué)習(xí)整式乘法、因式分解和分式運(yùn)算的基礎(chǔ)。冪的運(yùn)算包括同底數(shù)冪的乘法和除法、冪的乘方和積的乘方。整式的乘法運(yùn)算包括單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘以及多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法，它們最后都可以轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法，而單項(xiàng)式與單項(xiàng)式的乘法又是以冪的運(yùn)算性質(zhì)為基礎(chǔ)的。由此可見，同底數(shù)冪的乘法是一個(gè)基礎(chǔ)和起點(diǎn)，作為章節(jié)起始課，承載著學(xué)習(xí)的思想方法和研究的基本套路的指引作用。

【教學(xué)重難點(diǎn)】

1.教學(xué)重點(diǎn)：通過類比學(xué)習(xí)，明確本章學(xué)習(xí)的主線；同底數(shù)冪的乘法法則的探究和簡(jiǎn)單應(yīng)用。

2.數(shù)學(xué)難點(diǎn)：底數(shù)互為相反數(shù)的冪的乘法；類比同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，歸納同底數(shù)冪的除法、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則。

設(shè)計(jì)意圖：“同底數(shù)冪的乘法法則”從發(fā)現(xiàn)到驗(yàn)證，經(jīng)歷了“觀察——探索——猜想——猜想——驗(yàn)證”的過程，體現(xiàn)了“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)歸納的思想方法。這種研究方法在探索代數(shù)運(yùn)算規(guī)律的時(shí)候經(jīng)常用到。當(dāng)學(xué)生理解和掌握了“同底數(shù)冪的乘法”的研究方法和“路線圖”的時(shí)候，就可以運(yùn)用類比的方法，自主學(xué)習(xí)同底數(shù)冪的除法、冪的乘方和積的乘方，使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)研究。因此，本節(jié)的重點(diǎn)是同底數(shù)冪的乘法法則的探究，通過類比，明確學(xué)習(xí)主線。

經(jīng)過一學(xué)期的學(xué)習(xí)，七年級(jí)的學(xué)生已基本掌握了有理數(shù)的運(yùn)算，對(duì)用字母表示數(shù)的思想方法也有了一定的認(rèn)識(shí)。但對(duì)用字母去歸納總結(jié)同底數(shù)冪的乘法法則還有一定的困難，這對(duì)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯推理與表達(dá)能力都有一定的要求。整體思想和轉(zhuǎn)化思想是初中數(shù)學(xué)中很重要的思想方法，七年級(jí)的學(xué)生將未知轉(zhuǎn)化為已知的能力還有所欠缺。所以，對(duì)于通過相反數(shù)把多項(xiàng)式進(jìn)行整體轉(zhuǎn)化，學(xué)生還是有困難的。

【教學(xué)過程】

一、教學(xué)情境

問題1：我們?cè)谛W(xué)學(xué)習(xí)了數(shù)的運(yùn)算，包括哪些運(yùn)算？是按什么順序?qū)W習(xí)的？在我們前面學(xué)習(xí)的整式的運(yùn)算中，學(xué)習(xí)了哪些運(yùn)算？類比數(shù)的運(yùn)算的學(xué)習(xí)過程，你能猜猜我們接下來會(huì)學(xué)習(xí)整式的哪種運(yùn)算嗎？

問題2：下面有四個(gè)整式，從中任選兩個(gè)構(gòu)造乘法算式：

-a，a2，a3+b，a-ab。

問題3：請(qǐng)將上述答案中的乘法算式進(jìn)行分類，并說出你的分類標(biāo)準(zhǔn)。

設(shè)計(jì)意圖：在本節(jié)課的開始階段，問題1通過類比數(shù)的運(yùn)算，引出本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容；問題2的目的是讓學(xué)生從整體感知和了解整式乘法的類型，為后續(xù)將整式的乘法運(yùn)算全部化歸為冪的基本運(yùn)算（包括同底數(shù)冪的乘法與除法，冪的乘方和積的乘方）做好鋪墊。

二、探索活動(dòng)

【活動(dòng)1】

問題1：運(yùn)用乘方的定義計(jì)算下列各式：

（1）102×103； （2）a3×a5； （3）10m×10n。

問題2：通過對(duì)以上計(jì)算過程的觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？你能用一個(gè)含有字母的式子來表達(dá)你的發(fā)現(xiàn)嗎？

am·an=am+n（m，n是正整數(shù)）。即：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。

問題3：你能證明所寫式子為什么正確嗎？你所寫的式子中含有的字母可以取任何數(shù)嗎？有什么范圍限制嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)1的3個(gè)問題是逐步從具體到抽象地探索同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算性質(zhì)的三個(gè)層次。第一層次，冪的底數(shù)和指數(shù)都是具體的數(shù)。第二層次，冪的指數(shù)是具體的數(shù)，底數(shù)是用字母表示，或是冪的底數(shù)是具體的數(shù)，而指數(shù)是用字母表示的。第三層次，冪的底數(shù)和指數(shù)都是用字母表示的。意在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體問題發(fā)現(xiàn)結(jié)論，通過一般推演來驗(yàn)證自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程。后續(xù)同底數(shù)冪的除法、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算性質(zhì)的探索都采用這種過程，從而發(fā)展學(xué)生的合情推理和演繹推理的能力。在讓學(xué)生表述自己的發(fā)現(xiàn)的過程中，培養(yǎng)學(xué)生有條理地表達(dá)的能力。最后剖析法則的使用條件，培養(yǎng)學(xué)生思考的完整性。

【活動(dòng)2】

問題1：下列各式中，哪些是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算？

（1）23×25； （2）（-3）3×（-3）8； （3）59×79；

（4）a3+a3； （5）-b2·b5； （6）（x-y）2·（x-y）3。

設(shè)計(jì)意圖：活動(dòng)2的問題1的設(shè)置目的是辨析同底數(shù)冪的乘法法則適用的條件：一是底數(shù)相同，二是做乘法運(yùn)算。底數(shù)可以是一個(gè)數(shù)、一個(gè)字母，也可以是一個(gè)多項(xiàng)式。

問題2（例題）：計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示。

（1）23×25； （2）（-3）3×（-3）8；

（3）-b2·b5； （4）（x-y）2·（x-y）3；

（5）x·x3·xm+1。

解：（1）23×25＝ 23+5＝ 28；

（2）（-3）3×（-3）8＝（-3）3+8＝（-3）11＝-311；

（3）-b2·b5＝-b2+5＝-b7；

（4）（x-y）2·（x-y）3＝（x-y）2+3＝（x-y）5；

（5）x·x3·xm+1＝x1+3+（m+1）＝xm+5。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}2是問題1的延續(xù)，也是作為例題出現(xiàn)的。給出了應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法法則進(jìn)行計(jì)算的范例。第（1）小題是底數(shù)為正整數(shù)的情形，第（2）小題是底數(shù)為負(fù)數(shù)的情形；第（3）小題是底數(shù)是字母的情形；第（4）小題是底數(shù)是多項(xiàng)式的情形；第（5）小題是將法則推廣到三個(gè)同底數(shù)冪相乘的情形，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)將法則推廣到三個(gè)以上的同底數(shù)冪相乘的情形。

問題3：下面的計(jì)算是否正確？如有錯(cuò)誤，請(qǐng)改正。

（1）x3·x3＝ 2x6； （2）x4·x2＝ x8；

（3）a2+a2＝a4； （4）3m×32m＝93m（m是正整數(shù)）。

請(qǐng)就上述的問題，歸納法則使用時(shí)需要注意的地方。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}3設(shè)置了學(xué)生常犯的4種典型錯(cuò)題，讓學(xué)生自我辨析，達(dá)到以錯(cuò)糾錯(cuò)的目的，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解和掌握法則。

問題4：計(jì)算下列各式，結(jié)果用冪的形式表示。

（1）（-5）3×53； （2）34×9×81；

（3）（x-2y）2·（2y-x）3；

（4）（-1）2n+1·（-1）2n。

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}4中第（1）（3）小題的設(shè)置是幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)——底數(shù)互為相反數(shù)的冪的乘法運(yùn)算。其中，第（1）小題是底數(shù)為數(shù)的情形，第（3）小題是底數(shù)為多項(xiàng)式的情形。而第（2）（4）小題的設(shè)置是為了讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)化歸的思想方法。

設(shè)計(jì)意圖：本例題的設(shè)置是讓學(xué)生熟悉同底數(shù)冪的乘法在實(shí)際生活中的應(yīng)用，體會(huì)所學(xué)內(nèi)容的必要性。

四、小結(jié)思考

三、嘗試解決

例題：一顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的速度是7.9×103m/s，求這顆衛(wèi)星運(yùn)行1h的路程。

解：因?yàn)?h＝3.6×103s，所以這顆衛(wèi)星運(yùn)行1h的路程為：

（7.9×103）×（3.6×103）

＝（7.9×3.6）×（103×103）

＝2.884×107（m）。

答：這顆衛(wèi)星運(yùn)行1h的路程是2.884×107m。

1.今天我們一起發(fā)現(xiàn)、歸納了一個(gè)新的法則，你能說出它的內(nèi)容嗎？

2.我們是如何發(fā)現(xiàn)和歸納這個(gè)法則的？

3.在運(yùn)用這個(gè)法則的時(shí)候，需要注意些什么？

4.同底數(shù)冪的除法、冪的乘方和積的乘方也是計(jì)算單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘的基礎(chǔ)，它們的法則又是什么呢？請(qǐng)同學(xué)們類比本節(jié)課的研究方法，嘗試著自己研究一下。

【教學(xué)感悟】

本節(jié)課是第八章“冪的運(yùn)算”章節(jié)起始課。起始課的教學(xué)要讓學(xué)生明確本章內(nèi)容研究的基本套路。作為“起始課”，需要交代所研究的問題背景，引入的基本概念的源頭在哪里。所以，在本節(jié)課的開始設(shè)置了讓學(xué)生猜測(cè)將會(huì)學(xué)習(xí)哪種整式運(yùn)算的問題，并通過類比數(shù)的運(yùn)算，自然地引出了本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容。因?yàn)椤捌鹗肌?，所以教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生感受本章數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、發(fā)展的基本過程，體會(huì)研究這類數(shù)學(xué)問題的基本套路，進(jìn)而提高學(xué)生提出問題、解決問題的能力?；顒?dòng)1中的3個(gè)問題的設(shè)置，就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)從具體到抽象、由特殊到一般的研究方法。最后的小結(jié)與思考，是提示學(xué)生用類比的方式繼續(xù)研究。通過這樣的學(xué)習(xí)，才能達(dá)到使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、學(xué)會(huì)研究的目的，讓數(shù)學(xué)起到育人的作用。