本題試卷答案

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直線方程與圓的方程綜合演練A 卷參考答案與提示

一、選擇題

1.提示:由題意可知點P(2,3)在直線l1和 直 線l2上,所 以則點P1(a1,b1)和P2(a2,b2)滿足直線方程2x+3y=1,所以經(jīng)過點P1(a1,b1)和P2(a2,b2)的直線方程是2x+3y=1。應(yīng)選C。

2.提示:應(yīng)選C。

3.提示:應(yīng)選C。

4.提示:設(shè)動點P(x,y),則kPA=。因為kPA·kPB=-1,所以=-1,即x2+y2=1。又當(dāng)x=±1時,必有一個斜率不存在,故x≠±1。應(yīng)選C。

5.提示:直線l1的方程可化為y=ax+b,l2的方程可化為y=-bx+a(ab≠0)。對于B,由l1可知,a＞0,b＜0,由l2可知,a＞0,-b＞0,即a＞0,b＜0。應(yīng)選B。

6.提示:應(yīng)選C。

7.提示:應(yīng)選A。

8.提示:應(yīng)選D。

9.提示:應(yīng)選A。

10.提示:應(yīng)選C。

11.提示:在等腰直角三角形ABC中(圖略),☉D為外接圓,可知D為AB的中點,因此AD=2,AB=2AD=4。根據(jù)勾股定理可得AC=2 2。由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式可得r=2 2-2。應(yīng)選B。

12.提示:應(yīng)選D。

13.提示:應(yīng)選B。

14.提示:由圓C:x2+y2+2x-4y+3=0關(guān)于直線l:2ax+by+6=0(a,b∈R)對稱,可得圓心(-1,2)在此直線上,則b-a+3=0。由點A(a,b)向圓所作的切線長(設(shè)為AB)取最小值時,圓心與A(a,b)兩點之間的距離(設(shè)為CA)取得最小值,可得|CA|=

15.提示:直線l:ax+by=1 與圓C:x2+y2=1有兩個不同的交點,即直線l與圓C相交,即圓心C到直線l的距離d＜r,則＜1,即a2+b2＞1。又P(a,b)到圓心C(0,0)的距離為a2+b2,所以點P與圓C的位置關(guān)系為P在圓外。應(yīng)選A。

二、填空題

16.提示:所求直線的方程為x+y-2=0。

17.提示:直線l的方程為y= -2x或x+y-1=0。

18.提 示:令x+1=1,得x=0。 由loga(0+1)-2=-2,可得P(0,-2)。由于直線2x+y-1=0 的斜率為-2,則所求直線的斜率為,所以經(jīng)過點P且與直線2x+y-1=0垂直的直線方程為x-2y-4=0。

19.提示:設(shè)平面直角坐標(biāo)系中任一點P(圖略)。四邊形ABCD對角線AC,BD的交點為Q,則點P到點A(1,2),B(1,5),C(3,6),D(7,-1)的距離之和為,故點Q即為所求距離之和最小的點。由AC,BD的方程分別為2x-y=0,x+y-6=0,可得交點Q(2,4)。

20.提示:a=1(負(fù)值舍去)。

21.提示的取值范圍是

22.提示:由題意可得圓心坐標(biāo)為(-1,2),半徑r=13。因為點A到圓心的距離d=12,所以最短的弦長為2=10,最長的弦長是直徑即為26(分別只有1條),還有長度為11,12,13,…,25的各2條,則弦長為整數(shù)的共有32條。

23.提示:圓x2+y2-ax+2y+1=0的圓心為。因為圓與圓x2+y2=1關(guān)于直線y=x-1對稱,則兩圓圓心的中點在直線y=x-1上,解得a=2,所以點C(-2,2)。設(shè)圓心為P(x,y),則 (x+2)2+(y-2)2=|x|,即y2+4x-4y+8=0為所求的軌跡方程。

三、解答題

24.提示:(1)折疊后,折痕為對應(yīng)正方形的一條對角線,易求折痕所在的直線方程為y=-x+1。

(2)當(dāng)k=0時,此時A點與D點重合,折痕所在的直線方程為;當(dāng)k≠0 時,將矩形折疊后A點落在線段DC上的點記為G(a,1)(0＜a≤2),則A與G關(guān)于折痕所在直線對稱。由kOG·k=-1得a=-k,故點G(-k,1), 可 得 線 段OG的 中 點,所以折痕所在的直線方程為,即≤k＜0)。綜上所述,所求折痕所在的直線方程為

25.提示:(1)m∈(-∞,5)。

(2)由x2+y2-8x-12y+36=0,可得(x-4)2+(y-6)2=16,所以圓心為(4,6),半徑為4,則兩圓心之間的距離d=5。因為兩圓的位置關(guān)系是外切,所以d=R+r,即,解得m=4。

(3)由圓心C(1,2),可得圓心C到直線l的距離,所 以 ( 5-m)2=,即5-m=1,解得m=4。

26.提示:(1)k=± 3。

(2)由題意可知,O,P,C,D四點共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上。設(shè)點則圓的方程為,即。又C,D在圓O:x2+y2=2上,所以弦CD所在的直線方程為,即。由解得所以直線CD過定點

(3)設(shè)圓心O到直線EF,GH的距離分別為d1,d2,則d21+d22=|OM|2=,所以

27.提示:(1)所求直線方程是x=1 或3x-4y-3=0。

(2)直線l1與圓C相交,斜率必定存在,且不為0,可設(shè)直線l1的方程為kx-y-k=0。由可得點。因為直線CM⊥l1,所 以,可得點。 故,即|AM|·|AN|為定值。

點、直線、平面之間的位置關(guān)系綜合演練B卷參考答案與提示

一、選擇題

1.提示:對于A,直線m,n可能平行、異面或相交,A 錯誤。對于B,直線m與n可能平行,也可能異面,B 錯誤。對于C,m與n垂直而非平行,C錯誤。應(yīng)選D。

2.提示:分析知A,B,C 中位置不能確定,均不正確。應(yīng)選D。

3.提示:應(yīng)選B。

4.提示:應(yīng)選A。

5.提示:對于A,因為M,N分別是BC1,CD1的 中 點,點N∈平 面CDD1C1,點M?平面CDD1C1,所以直線MN是與平面CDD1C1相交的直線。又直線C1D1在平面CDD1C1內(nèi),故直線MN與直線C1D1不可能平行,A 錯誤。 對于B,易知正方體中NB≠NC1,且點M是BC1的中點,可知直線MN與直線BC1不垂直,B不正確。對于C,假設(shè)MN⊥平面ACD1,可得MN⊥CD1,因為N是CD1的中點,所以MC=MD1,這與MC≠MD1矛盾,故假設(shè)不成立,C 不正確。對于D,分別取B1C1,C1D1的中點為P,Q,由點M是BC1的中點,可得PM∥CC1且,同理可得QN∥CC1且QN=。由此可得PM∥QN且PM=QN,所以四邊形PQNM為平行四邊形,所以PQ∥MN。在正方體中,CC1⊥PQ,PQ⊥AC,因為AC∩CC1=C,AC?平面ACC1,CC1?平面ACC1,所以PQ⊥平面ACC1。因為PQ∥MN,所以MN⊥平面ACC1,D正確。應(yīng)選D。

6.提示:應(yīng)選D。

7.提示:當(dāng)P與D1重合時,CP∥BA1,即所 成 角 為0°;當(dāng)P與A重 合 時,CA∥A1C1,△A1BC1為正三角形,即所成角為60°。又異面直線所成角為(0°,90°],故選D。

8.提示:應(yīng)選A。

9.提示:應(yīng)選D。

10.提示:在A 中,若m?α,則直線m和平面β可能垂直,也可能平行或相交,A 不正確。在B 中,直線m與直線n的關(guān)系不確定,可能平行,也可能相交或異面,B 不正確。在C中,若m⊥β,則m∥α或m?α,又m?α,故m∥α,C 正確。在D 中,缺少條件n?β,D 不正確。應(yīng)選C。

11.提示:當(dāng)直線l與平面α相交時,直線l與該平面內(nèi)任意一條不過交點的直線均為異面直線,A 正確。該平面內(nèi)不存在與直線l平行的直線,B 錯誤。該平面內(nèi)有無數(shù)條直線與直線l垂直,C 錯誤。平面α內(nèi)的直線與直線l可能異面,D 錯誤。應(yīng)選A。

12.提示:對于A,若m∥α,n∥α,則m與n可能平行,可能相交,也可能異面,A 錯誤。對于B,在正方體ABCD-A'B'C'D'中(圖略),設(shè)平面ABCD為平面α,平面CDD'C'為平面β,直線BB'為直線m,直線A'B為直線n,則m⊥α,n∥β,α⊥β,但直線n與m不垂直,B錯誤。對于C,設(shè)過m的平面γ與α交于a,過m的平面θ與β交于b,由m∥α,m?γ,α∩γ=a,可得m∥a,同理可得m∥b。所以a∥b。因為b?β,a?β,所以a∥β。又α∩β=l,a?α,所以a∥l,所以l∥m,C正確。對于D,在正方體ABCDA'B'C'D'中,設(shè)平面ABCD為平面α,平面ABB'A'為平面β,平面CDD'C'為平面γ,則α∩β=AB,α∩γ=CD,BC⊥AB,BC⊥CD,但BC?平面ABCD,D 錯誤。應(yīng)選C。

13.提示:若α⊥β,m?α,n?β,則可能m⊥n,m∥n或m,n異面,A 錯誤。若α∥β,m?α,n?β,則m∥n或m,n異面,B 錯誤。若m⊥n,m?α,n?β,則α與β可能相交,平行或垂直,C錯誤。若m⊥α,m∥n,則n⊥α,再由n∥β可得α⊥β,D 正確。應(yīng)選D。

14.提示:應(yīng)選B。

15.提示:應(yīng)選C。

16.提示:根據(jù)異面直線的定義,分析正方體中各棱的位置關(guān)系,與一條棱異面的棱有4 條,由此得到螞蟻的位置。 由正方體ABCD-A1B1C1D1可知,與直線AB異面的有直線A1D1,B1C1,CC1,DD1,即4 條。螞蟻從A點出發(fā),走進的第n+2 條棱與第n條棱是異面的,如AB→BC→CC1→C1D1→D1A1→A1A,所以按照此走法,每次要走6條棱,才回到起點。因為2016÷6=336(個)循環(huán),所以這只螞蟻走過第2016條棱之后的位置是在A處。應(yīng)選B。

二、填空題

17.提示:因為直線l⊥平面β,平面α⊥平面β,所以直線l∥平面α或l?平面α。

18.提示:m∥n或m,n異 面,①錯 誤。易知②正確。m∥β或m?β,③錯誤。α∥β或α與β相交,④錯誤。答案為②。

19.提示:對于①,若α∥β,m⊥α,l?β,則m⊥l,①正確。對于②,若α⊥β,則m∥l,m⊥l或m與l異面,②錯誤。 對于③,若m⊥l,則α⊥β或α與β相交,③錯誤。對于④,若m∥l,m⊥α,則l⊥α,又l?β,所以α⊥β,④正確。答案為①④。

20.提示:利用線面平行與垂直的性質(zhì)及直線與平面所成的角,可知①正確,②正確,③錯誤,④錯誤。答案為①②。

21.提示:因為EF∥平面AB1C,所以EF∥AC。 又E是AD的中點,所以F是CD的 中 點。 在Rt △DEF中,由DE=DF=1,可得EF= 2。

22.提示:答案為②④⑤。

23.提示:A,M,C1三點共面,且在平面AD1C1B中,但C?平 面AD1C1B,C1?AM,因此直線AM與CC1是異面直線,同理可知,AM與BN是異面直線,AM與DD1是異面直線,①②錯誤,④正確。M,B,B1三點共面,且在平面MBB1中,但N?平面MBB1,B?MB1,因此直線BN與MB1是異面直線,③正確。答案為③④。

24.提示:答案為①③④。

25.提示:①C1M和AC是異面直線,①錯誤。 易知②正確。 ③因為ABCDA1B1C1D1是正方體,所以四邊形ACC1A1是平行四邊形,所以AC∥A1C1,所以∠BC1A1是BC1與AC的 所 成 角。 由 于BC1=A1C1=A1B,所 以∠BC1A1=60°,③正確。④由BC1∥MN,且長度不相等,可延長C1M,BN交于O點,因為O∈C1M,O∈BN,所以O(shè)∈平面A1B1C1D1,O∈平面ABB1A1。又因為平面A1B1C1D1∩平面ABB1A1=B1A1,所以O(shè)∈B1A1,④正確。答案為②④。

三、解答題

26.提 示:(1)易 證EH∥FG且EH≠FG,則四邊形EFGH是梯形。

(2)由(1)知EF與HG相交,設(shè)EF∩HG=K。因為K∈EF,EF?平面ABC,所以K∈平面ABC。 同理可知,K∈平面ACD。又平面ABC∩平面ACD=AC,所以K∈AC,即EF和GH的交點在直線AC上。故AC,EF,GH三條直線相交于同一點。

27.提示:(1)取PD的中點為G。

因為F是CE的中點,所以FG是梯形CDPE的 中 位 線。 因 為CD=3PE,所 以FG=2PE,FG∥CD。因為CD∥AB,AB=2PE,所以AB∥FG,AB=FG,即四邊形ABFG是平行四邊形,所以BF∥AG。 又BF?平 面ADP,AG?平 面ADP,所 以BF∥平面ADP。

(2)延長AO交CD于M。

因為BA⊥AD,CD⊥DA,AB=AD,O為BD的中點,所以四邊形ABMD是正方形,則BD⊥AM,MD=2PE。所以,所以四邊形DMFG為平行四邊形,所以FM∥PD。 因 為PD⊥平 面ABCD,所 以FM⊥平 面ABCD,所 以FM⊥BD。 因 為AM∩FM=M,所 以BD⊥平 面AMF,即BD⊥平面AOF。

28.提示:(1)在棱C1D1上取點N,使D1N=A1M=1。 因為D1N∥A1M,所以MN∥A1D1∥AD,所以四邊形AMND為平行四邊形,所以AM∥DN。

過C1作C1E∥DN交CD于E,所 以DN∥平面BC1E,AM∥平面BC1E,所以平面BC1E即為所求,此時CE=1。

(2)由(1)知,AM∥平面BC1E,所以VM-BC1E=VA-BC1E=VC1-ABE=6。

29.提示:(1)因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,PC⊥底面ABCD,且PC=2,所以PC⊥BC,PC⊥DC,所以S△PCD=S△PCB=1,PB=PD= 5。

因為AB⊥CB,AB⊥PC,所以AB⊥平面PCB,所 以AB⊥PB,所 以S△PAB=。同理可得,

又S正方形ABCD=1,所以SP-ABCD=S正方形ABCD+S△PAB+S△PAD+S△PCD+S△PCB=3+ 5。

(2)在棱PC上存在點E,且當(dāng)E是PC的中點時,AP∥平面BDE。

令A(yù)C與BD交于點O,在△ACP中,O,E分 別 為AC,PC的 中 點,所 以O(shè)E∥AP。又OE?平面BDE,AP?平面BDE,所以AP∥平面BDE。

30.提示:(1)取AC的中點為O。

因為BA=BC,所以AC⊥OB。 因為AD=CD,所以AC⊥OD。

因為OD∩OB=O,所 以AC⊥平 面OBD。又BD?平面OBD,所以AC⊥BD。

(2)由題意可知,當(dāng)四面體ABCD的體積最大時,平面DAC⊥平面ABC。

因為DO⊥AC,所以DO⊥平面ABC。又OB?平面ABC,所以DO⊥OB。

因為DA=DC=3 2,AC=6,AB=BC=5,所以O(shè)D==3,OB==4,所以DB=OB2+OD2=5。因為BC=5,所以在等腰△BCD中,CD邊上的高,所以

設(shè)點A到平面BCD的距離為d,所以,即,所以,即點A到平面BCD的距離為

31.提示:(1)作DH⊥EF,垂足為H。

因為平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,所以DH⊥平面EBCF。又因為EG?平面EBCF,所以EG⊥DH。當(dāng)x=2時,AE=2,BG==2,所以BE=BG。因為EH=AD==BG,EF∥BC,∠EBC=90°,所以四邊形BGHE為 正 方 形,所 以EG⊥BH。 又 因 為BH、DH?平面DBH,且BH∩DH=H,所以EG⊥平面DBH。故EG⊥BD。

(2)因為AE⊥EF,平面AEFD⊥平面EBCF,平面AEFD∩平面EBCF=EF,所以AE⊥平面EBCF。

結(jié)合DH⊥平面EBCF,得AE∥DH,所以四邊形AEHD是矩形,得DH=AE,故以F,B,C,D為頂點的三棱錐D-BCF的高為DH=AE=x。 因 為S△BCF=BC·,所以三棱錐D-BCF的體積V=f(x)=。所以當(dāng)x=2時,f(x)取最大值

(3)由(2)知當(dāng)f(x)取最大值時,AE=2,故BE=2,結(jié)合DH∥AE,可得∠BDH或其補角是異面直線AE與BD所成的角。在Rt △BEH中,BH=。因為DH⊥平面EBCF,BH?平面EBCF,所以DH⊥BH。在Rt△BDH中,BD=, 所 以cos∠BDH=,即異面直線AE與BD所成角的余弦值為