掃描三角函數(shù)中的解題誤區(qū)

■王紅娟

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因其概念性較強，解題方法靈活等特點，如果審題不清，概念理解不到位，忽視隱含條件等，很容易導(dǎo)致解題出錯。下面列出幾種常見的解題誤區(qū)，并對誤區(qū)進行剖析，以防止類似錯誤再次發(fā)生。

誤區(qū)1：忽視同角三角關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系

例1已知求m的取值集合。

錯 解：因 為 sin2θ +cos2θ =1，所 以解得m=0或m=8。故m 的取值集合為｛0，8｝。

剖析：上述解法忽視時正、余弦函數(shù)的取值符號。

正 解：因 為 sin2θ +cos2θ =1，所 以解得m=0或m=8。當(dāng)m=0時，sinθ=與已知矛盾；當(dāng)m=8時符合題意。綜上可知，m的取值集合為｛8｝。

警示：同角三角函數(shù)關(guān)系中既要注意正、余弦函數(shù)值的符號，還要注意sinθ，cosθ之間的內(nèi)在聯(lián)系（滿足平方關(guān)系）。

誤區(qū)2：圖像變換中忽視整體變量觀念

錯解：y=sin變換成y=sin2x是把每個x值擴大到原來的4倍，再把y=sin2x的每個x向右平移得到應(yīng)選A。

剖析：三角函數(shù)圖像變換有先周期后相位和先相位后周期兩種方法。上述解法忽視了變換順序，且缺少整體變量的觀念。

正解：將的圖像上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮小為原來的得到y(tǒng)=sin2x的圖像，再將y=sin2x的圖像的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向右平移π 6個單位，可得到函數(shù)的圖像。應(yīng)選D。

警示：三角函數(shù)的平移變換和伸縮變換，因先后順序不同，平移的量也不同。

誤區(qū)3：忽視三角函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性

例3已知函數(shù)f（x）=求 函 數(shù) f （x）在 區(qū) 間上的最大值和最小值。

錯解：由可得所以即函數(shù)f（x）的最大值為1，最小值為-1。

剖析：上述解法認為余弦函數(shù)在上是單調(diào)的。

正解：由可得所以當(dāng)即時，f（x）有最小值，可得f（x）min=-1；當(dāng)2x即時，f（x）有最大值，可得 f （x）max=2。故 函 數(shù) f（x）在上的最小值為-1，最大值為2。

警示：余弦函數(shù)y=cosx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。解答本題的關(guān)鍵是分清函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)的區(qū)間。

誤區(qū)4：忽視對參數(shù)正負的討論

例4已知函數(shù)+a+b的定義域是值域是求a，b的值。

錯解：由可得所 以則

剖析：上述解法認為參數(shù)a＞0，從而導(dǎo)致漏解。

正解：由0≤x≤可得所以當(dāng)a＞0時，由當(dāng)a＜0時，由

故a=2，b=-5或a=-2，b=1。

警示：求函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）的最值，要注意參數(shù)A的正負，即應(yīng)對參數(shù)A分類討論。

誤區(qū)5：對正、余弦函數(shù)的對稱性理解不透

例5已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均為正常數(shù)）的最小正周期為π，當(dāng)時，函數(shù)f（x）取得最小值，則下列結(jié)論正確的是（ ）。

A.f（2）＜f（-2）＜f（0）

B.f（0）＜f（2）＜f（-2）

C.f（-2）＜f（0）＜f（2）

D.f（2）＜f（0）＜f（-2）

錯解：由題意可知周期所以ω=2，這時fx（）=Asin（2x+φ）。當(dāng)函數(shù)f（x）取得最小值，則

剖析：依據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸的意義，要比較f2（），f（-2），f0（）的大小，只需判斷2，-2，0與最近的最高點處的對稱軸的距離的大小即可。

正解：易得當(dāng)即（k∈Z）時，fx（）取得最大值。要比較f2（），f（-2），f0（）的大小，只需判斷2，-2，0與最近的最高點處的對稱軸的距離大小，易知0，2與比較近，-2與比較近，所以當(dāng)k=0時當(dāng)k=-1時所以f2（）＜f（-2）＜f0（）。應(yīng)選A。

警示：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)值在圖像中的具體位置進行判斷的，這也凸顯函數(shù)圖像的應(yīng)用價值。