高中二次函數(shù)解題中數(shù)學(xué)思想的滲透

江蘇省沭陽高級中學(xué) 舒捷安

數(shù)學(xué)思想是對各種特殊科學(xué)認(rèn)識和研究方法的提煉與概括，是數(shù)學(xué)的靈魂與精神所在，而二次函數(shù)貫穿了整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始終，是我們能夠?qū)W好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。對二次函數(shù)問題的高效、準(zhǔn)確解答是有效檢驗我們對二次函數(shù)知識掌握與運用程度的有效途徑，所以說，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)二次函數(shù)解題中的滲透顯得尤為重要，能夠提高我們的解題效率、優(yōu)化二次函數(shù)學(xué)習(xí)效果。我結(jié)合學(xué)習(xí)和解題實踐經(jīng)驗，從以下幾個方面對如何實現(xiàn)高中二次函數(shù)解題中數(shù)學(xué)思想的滲透進(jìn)行一番分析與論述。

一、滲透聯(lián)想思想，求解二次函數(shù)不等式

聯(lián)想思想是數(shù)學(xué)思想的基本內(nèi)容之一，同時也是有效解決二次函數(shù)不等式問題的關(guān)鍵點。我們在二次函數(shù)不等式的解題過程之中，要注意仔細(xì)分析問題的內(nèi)容和給出的條件，充分聯(lián)想問題內(nèi)容、已知條件和所求問題之間內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性，并進(jìn)一步利用已知條件來分析整個二次函數(shù)不等式的問題內(nèi)容，分析和提煉題目中的有用信息，排除各種無用、干擾信息，并進(jìn)行深入的聯(lián)想和想象，從而實現(xiàn)二次函數(shù)不等式或者等式之間的聯(lián)想轉(zhuǎn)換，提高解題效率及準(zhǔn)確率。

例如：函數(shù)f（x）=x2-2ax-3在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)的充要條件是什么？解這道題時，我發(fā)現(xiàn)這道題的已知條件很少，所以我結(jié)合二次函數(shù)的圖像進(jìn)行聯(lián)想分析， 因為二次函數(shù)f（x）=x2-2ax-3不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的子區(qū)間（-∞，a]或[a，+∞）上是單調(diào)區(qū)間，而已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上存在反函數(shù)，所以[1，2] ?（-∞，a]或[1，2] ?[a，+∞），即a≤1或a≥2。

二、滲透對稱思想，求解二次函數(shù)解析式

求解二次函數(shù)解析式是二次函數(shù)問題的基本形式之一，通常求解二次函數(shù)解析式會涉及二次函數(shù)圖像，而對稱思想在二次函數(shù)解析式問題中的滲透和應(yīng)用能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)形的有效結(jié)合，巧妙解決數(shù)學(xué)難題。所以我們在面對求二次函數(shù)解析式問題時，要有意識地將對稱思想滲透到解題過程當(dāng)中，根據(jù)題目給出的要點和已知條件把握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)、變化規(guī)律和特點，從而畫出二次函數(shù)圖像，實現(xiàn)抽象問題向直觀圖像的轉(zhuǎn)化，從中把握知識點的變化情況，有效開闊解題思路，在對稱思想的滲透下實現(xiàn)圖形與數(shù)字的有效結(jié)合，最終快速解決數(shù)學(xué)問題。

例如：“已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a＞0），方程f（x）-x=0 的兩個實數(shù)根 x1，x2滿足，且函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=x對稱，證明。”在解這道題時，首先我對這道題閱

0讀了兩遍，雖然題干中沒有給出相應(yīng)的解題信息，但是我想到了二次函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，所以，第一步我便過對已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得出f（x）-x=ax2+（b-1）x+c。進(jìn)一步分析題意，題干中給出“函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=x0對稱”，而且f（x）-x=0的兩個根 x1，x2滿足，由此可得，且

三、滲透換元思想，求解二次函數(shù)的最值

最值問題是二次函數(shù)的基本題型，在這類題目當(dāng)中，通常都會涉及復(fù)雜的等式或者元素，同學(xué)理解和解答起來有一定的困難。而換元思想主要體現(xiàn)為整體換元思想，是指將具有重復(fù)特征的部分等看作一個整體單元，將其替換為簡單、數(shù)學(xué)的元素，從而完成等式或者不等式的簡化。所以，我們在求解二次函數(shù)最值時，可以充分利用換元思想進(jìn)行復(fù)雜算式的整體換元或替換，轉(zhuǎn)換為我們所學(xué)過的簡單函數(shù)，隨后利用簡單方程的解題方法，即可較為簡便地得出函數(shù)范圍，求出函數(shù)最值問題。

例如：求f（x）=-x2+4x+5（0≤x≤1）的最值。解這道題時，這道題是典型的二次函數(shù)求最值的問題，為了更加快速準(zhǔn)確地解決問題，我采用了換元思想尋找解題思路，首先將f（x）=-x2+4x+5進(jìn)行換元得到-（x2-4x+4）+9，化簡成-（x-2）2+9，顯然，x=2時，f（x）取最大值9是不對的，因為函數(shù)定義域為[0，1]。所以，x=0時，f（x）的最小值為5；x=1時，f（x）的最大值為8。

總而言之，知識是不斷變化發(fā)展的，只有我們掌握了科學(xué)準(zhǔn)確的學(xué)習(xí)方法和解題技巧，才能夠靈活應(yīng)對各種變化。所以，我們不僅要學(xué)習(xí)基本的數(shù)學(xué)知識，更要掌握本質(zhì)的數(shù)學(xué)思想，吸收數(shù)學(xué)思想的精髓，并將換元思想、對稱思想和聯(lián)想思想等數(shù)學(xué)思想針對性地運用和滲透到二次函數(shù)問題的解題過程中，切實提高解題效率，保證解題的正確率，為將來的高考備戰(zhàn)做好準(zhǔn)備，也為未來走向社會做好鋪墊。