感悟思想 加強銜接 促進發(fā)展
——《簡易方程》教材解讀及教學(xué)建議

○朱 宇

人教版教材五年級上冊第五單元《簡易方程》，是小學(xué)階段集中教學(xué)代數(shù)初步知識的單元。本單元的內(nèi)容分為兩節(jié)，第一節(jié)主要內(nèi)容包括用字母表示數(shù)、運算定律、計算公式和數(shù)量關(guān)系，第二節(jié)的主要內(nèi)容是方程的意義，等式的基本性質(zhì)和解簡易方程，列方程解決一些比較簡單的實際問題。

一、教材變化點

1.細(xì)化學(xué)習(xí)目標(biāo)，分散難點。

新教材一方面在第一節(jié)加強用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系的教學(xué)，為學(xué)習(xí)列方程解決實際問題打下了更為堅實的基礎(chǔ)。另一方面，解方程單獨編排，并且解方程的類型更全面，分散難點。具體來說，“用字母表示數(shù)”部分增加了“a-bx”和“ax+bx”兩道例題，用含有字母的式子表示更復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系?！敖夥匠獭辈糠衷黾恿恕癮x+b=c”和“a（x+b）=c”兩道例題，將解方程和列方程解決問題分開編排，有效化解了原來將解方程與列方程解決問題合并而帶來的課堂容量大、難度集中的困境，便于分散教學(xué)難點，確保不同部分的訓(xùn)練重點能夠落到實處。

2.滲透數(shù)學(xué)思想，強化銜接。

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的要求，新教材的編寫不再依據(jù)逆運算關(guān)系解方程，而是突出等式的基本性質(zhì)的運用。因此，新教材增加了原來回避的未知數(shù)出現(xiàn)在減數(shù)、除數(shù)等位置上的方程類型，使得解方程的類型更全面，與中學(xué)里的要求一致。教材以“20-x=9”為例，討論形如“a-x=b”的方程的解法，重點突出轉(zhuǎn)化思想，啟發(fā)學(xué)生直接依據(jù)等式性質(zhì)把原方程轉(zhuǎn)化為“x+b=a”的形式。另外，教材通過及時總結(jié)，不斷強化利用等式性質(zhì)解方程的思考方法。

3.重視基本概念，理性回歸。

原來教材中對一些重要概念、性質(zhì)描述做了部分刪除，一定程度上糾正了“重結(jié)論、輕過程”的不良傾向，但是也造成了認(rèn)知缺陷與理解偏差。因此，新教材對一些在學(xué)習(xí)中無法回避的概念或性質(zhì)進行了適當(dāng)強化。例如，等式性質(zhì)是方程學(xué)習(xí)中的主要知識點，需要讓學(xué)生形成明晰的認(rèn)識。教材借助天平平衡的游戲，按“形象感受—抽象概括—建立模型”的線索，引導(dǎo)學(xué)生理解并概括出等式的性質(zhì)，以理馭法，為解方程的教學(xué)打下扎實的算理基礎(chǔ)。使基本概念明晰化，既有利于數(shù)學(xué)表達的需要，也是學(xué)生建立更為穩(wěn)固的知識體系的重要基礎(chǔ)。

二、年段銜接點

本單元內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)具備了整數(shù)、小數(shù)的四則運算及其應(yīng)用，用字母表示運算定律，用“○”“△”或“□”表示數(shù)等初步的代數(shù)知識的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的。同一學(xué)段后續(xù)學(xué)習(xí)的相關(guān)內(nèi)容有：六年級上冊列方程解與分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)有關(guān)的實際問題，六年級下冊解比例以及運用比例知識解決簡單的實際問題，都與方程的知識密切相關(guān)。

本單元的學(xué)習(xí)既是第一學(xué)段所學(xué)的運算意義和數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，又是進行第三學(xué)段一元一次方程、二元一次方程、方程組的解法與應(yīng)用等代數(shù)知識學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

三、疑難問題與教學(xué)策略建議

1.怎樣理解方程的意義？

本單元教學(xué)重點之一是讓學(xué)生深刻理解方程意義。根據(jù)小學(xué)生的認(rèn)知水平，教材用“屬概念加種差”的方式，按“等式+含有未知數(shù)→方程”的線索教學(xué)方程的意義。

（1）在操作中建立等式模型。

等式是方程概念的生長點，為了認(rèn)識方程，需要建立等式的概念。首先把天平兩邊平衡的現(xiàn)象抽象成等式，借助直觀情境體會等式的含義。接下來根據(jù)各個天平平衡或者不平衡的狀態(tài)，在相等與不相等的比較中，進一步體會等式的含義。特別是含有未知數(shù)的等式（或不等式），需要借助天平的直觀，體會等號兩邊相等（或不相等），進一步加深對等式的認(rèn)識。

（2）在分類中獲得方程概念。

“含有未知數(shù)”和“等式”是方程的兩個顯著特征，我們以此讓學(xué)生識別方程的形式特點。為了保證分類的效果，要為學(xué)生提供豐富的材料，如等式或不等式，沒有未知數(shù)的等式和含有未知數(shù)的等式，在這些感知材料中，先讓學(xué)生找等式，再從等式中根據(jù)自己的判斷進行分類。在等式中找方程，目的是讓學(xué)生聚焦核心問題，初步體會等式包含方程，為后面集合圖的理解做鋪墊。

（3）以數(shù)學(xué)化體會方程意義。

首先，破解關(guān)于“等號”的錯誤認(rèn)知。學(xué)生一直認(rèn)為等號左邊表示運算，右邊表示答案。要克服這一定勢的消極影響，教師要有意識地幫助學(xué)生初步建立“等號”的“結(jié)構(gòu)性觀念”，例如等號兩邊都有運算，等號右邊也是一個代數(shù)式，幫助學(xué)生形成完整的方程概念。其次，增加一些列方程的練習(xí)。例如根據(jù)線段圖列方程，再解釋列出的方程的具體含義，感受方程“含有未知數(shù)、表達相等關(guān)系的等式”這一本質(zhì)特征。還可以增加一些用純文字表述的題，讓學(xué)生感知方程的作用和學(xué)習(xí)方程的必要性，加強對數(shù)量關(guān)系的理解，為后面學(xué)習(xí)用方程解決實際問題做鋪墊。

2.利用等式的性質(zhì)解方程，需要注意什么？

（1）感知等值變換。

從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗出發(fā)，結(jié)合具體的問題情境，通過觀察、比較和分析，由具體到抽象,初步理解等式的性質(zhì)。例如，在“等式的性質(zhì)1”教學(xué)活動中，通過實物操作，在平衡的天平兩邊加上（或減去）同樣重量的物品，由此概括出：平衡的天平兩邊加上（或減去）同樣重量的物品，天平仍然保持平衡。在直觀體驗和形象思考的基礎(chǔ)上，初步得出結(jié)論:等式兩邊同時加上或減去同一個數(shù),其結(jié)果仍然是等式。

（2）充分舉例驗證。

在經(jīng)過天平游戲感知到天平的等值變換后，可以增加“舉例”的環(huán)節(jié)，有助于學(xué)生對等式的基本性質(zhì)理解更加深刻。教師可引導(dǎo)學(xué)生舉例子說說等式有沒有同樣的性質(zhì)。如：例如5+4=9→（5+4）+7=9+7，（5+4）-7=9-7，（5+4）+a=9+a……在此過程中學(xué)生充分感知等式的相關(guān)性質(zhì)，并為解方程的等值變換打下堅實的基礎(chǔ)。

（3）根據(jù)意義求解。

由方程的意義入手，在學(xué)生看圖列出方程的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生對方程的解進行“自定義”：x的值是多少時，方程左右兩邊才能相等？由此引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)求方程中未知數(shù)的值，通常先要想辦法使得方程的一邊只剩下未知數(shù)x，整個過程就是等式性質(zhì)的運用。教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生不僅說出自己是怎樣推算的，還要啟發(fā)他們說出推算的依據(jù)。

（4）體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想。

形如A-x=B，A÷x=B的方程一直是解方程教學(xué)的難點。例如解方程：20-x=9，學(xué)生根據(jù)等式的性質(zhì)，產(chǎn)生了負(fù)遷移20-x-20=9-20，發(fā)現(xiàn)等式右邊不夠減，解方程無法進行。實際上，解方程的過程體現(xiàn)了把復(fù)雜問題逐步簡單化的思想，由此可知，解方程的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化，將新問題轉(zhuǎn)化為可以解決的問題。20-x=9，根據(jù)等式的性質(zhì)完全可以求解,只要在方程的兩邊同時加上x，使方程成為20=9+x，再根據(jù)相等關(guān)系的對稱性，改寫成9+x=20。由此學(xué)生體驗運用等式的性質(zhì)，將新類型方程轉(zhuǎn)化為基本方程，滲透轉(zhuǎn)化和推理的思想。

3.怎樣尋找題目中的等量關(guān)系？

（1）強化解決問題的教學(xué)。

實際上，尋找等量關(guān)系沒有固定的思維模式。三、四年級已有的解決問題的經(jīng)驗就是探索等量關(guān)系的可用資源。在列方程解決問題的教學(xué)中，要喚起學(xué)生已有的解決問題的策略體驗，選擇適宜的形式整理實際問題里的數(shù)學(xué)信息，正確理解題意。例如可以利用從條件向問題或者從問題向條件推理的經(jīng)驗，分析數(shù)量之間的關(guān)系，為提取等量關(guān)系奠定基礎(chǔ)。

（2）抓住關(guān)鍵詞句和常用公式。

有些題目會明顯地出現(xiàn)建立等量關(guān)系的詞，如“等于”“相當(dāng)于”“相同”等。有些題目，隱含著學(xué)生熟知的某一個公式，例如“長方形面積=長×寬”“路程=速度×?xí)r間”等。這些題目中等量關(guān)系的線索比較明顯。要引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成標(biāo)記題目中關(guān)鍵字句的習(xí)慣，既提高了審題能力，又增強了理解能力。

（3）根據(jù)變化尋找等量關(guān)系。

二氯甲烷（CH2Cl2，ACS級），百靈威有限公司；無水Na2SO4、NaCl（ACS級），阿拉丁試劑有限公司；C7—C30直鏈正構(gòu)烷烴，美國Sigma-Aldrich公司；乙酸乙酯、丁酸乙酯、己酸乙酯、乳酸乙酯、丁二酸二乙酯、乙酸己酯、丁酸己酯、己酸己酯、乙酸、丁酸、乳酸、己酸、異戊醇、正己醇、糠醛、苯乙醇、苯乙酸乙酯、苯甲酸乙酯、苯乙醛、苯甲醛、4-甲基愈創(chuàng)木酚、4-乙基愈創(chuàng)木酚、苯酚等，GC標(biāo)準(zhǔn)品，日本TCI公司。

我們可以從變化的關(guān)系中尋找相等的量或者不變的量，建立等量關(guān)系。數(shù)量發(fā)生變化的題目，往往是比較復(fù)雜的問題，要仔細(xì)梳理數(shù)量關(guān)系，分清事件發(fā)生與發(fā)展過程的主次和先后。在分析、抽象、概括的過程中，教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生使用摘錄關(guān)鍵條件、畫線段圖等方法，突出幾何直觀手段的作用，運用合適的思維工具，尋找數(shù)量變化的線索，思考變化背后的規(guī)律，教學(xué)中可以適當(dāng)安排變式練習(xí)，尋找不同素材問題的異同點，幫助學(xué)生積累列方程并建立模型的經(jīng)驗。

資料存盤

1.《簡易方程》課標(biāo)解讀。

課程標(biāo)準(zhǔn)在“學(xué)段目標(biāo)”的第二學(xué)段中提出：“能用方程表示簡單的數(shù)量關(guān)系，能解簡單的方程?！?/p>

課程標(biāo)準(zhǔn)在“課程內(nèi)容”的第二學(xué)段中提出：“在具體情境中能用字母表示數(shù)；結(jié)合簡單的實際情境，了解等量關(guān)系，并能用字母表示；能用方程表示簡單情境中的等量關(guān)系，了解方程的作用；了解等式的性質(zhì)，能用等式的性質(zhì)解簡單的方程?！?/p>

方程這個名詞，最早見于我國古代算書《九章算術(shù)》。我國大約在2000年前的《九章算術(shù)》第八章中，將數(shù)學(xué)問題用算籌排列起來，有幾個未知數(shù)就列出幾個等式，用算籌列成方陣的形式，所以叫做方程。300多年前，法國數(shù)學(xué)家笛卡爾用x、y、z代表未知數(shù)，用運算符號和等號把字母與數(shù)字連接起來，就形成含有未知數(shù)的等式。后來經(jīng)過不斷的簡化和改進，方程逐漸演變成現(xiàn)在的表達形式。