對(duì)一道課本習(xí)題探究解答的優(yōu)化與修正

安徽省淮南市淮南第四中學(xué)(232001)張慶炎

《數(shù)學(xué)通訊》2018.1 下半月(教師)(P45-46)登載了趙登雷的文章《一道課本習(xí)題的探究與感悟》(以下簡稱文[1]).趙老師對(duì)高中數(shù)學(xué)人教A 版必修4 教材中習(xí)題3.2B 組第5題進(jìn)行探究證明及引申.筆者在仔細(xì)品讀后發(fā)現(xiàn)文[1]中的“問題1”證明可以優(yōu)化,而“引申1”的結(jié)論有誤.故以此整理成文,與趙老師及各位同仁交流.

1.文[1]問題1 的解答優(yōu)化.

問 題 1已 知f(α)= sinx α+ cosx α,x ∈{n|n=2k,k ∈N?}(文[1]誤寫成x ∈Z),計(jì)算x=2,4,6,···時(shí),f(α)的取值范圍.猜想當(dāng)x= 2k時(shí),f(α)的取值范圍.

解析由x= 2,4,6 時(shí),f(α)的取值范圍易猜想下面給出證明:

由 于sin2α,cos2α ∈[0,1],2k≥ 2,則sin2k α+cos2k α≤sin2α+ cos2α= 1.另一方面,令t= sin2α,則cos2α= 1-t,t ∈[0,1].f(α)= sin2k α+cos2k α=tk+ (1- t)k.記g(t)=tk+ (1- t)k,t ∈[0,1],令g′(t)=ktk-1- k(1- t)k-1= 0,解得注意到g(0)=g(1)= 1,故即f(α)的范圍為

注:相較于文[1] 采用數(shù)學(xué)歸納法和三角函數(shù)求導(dǎo)求f(α)的范圍,本題運(yùn)用簡單放縮和對(duì)多項(xiàng)式求導(dǎo)更為簡潔和自然,從教學(xué)的角度上說,更利于學(xué)生的理解與接受.

2.文[1]引申1 的解答結(jié)果修正.

引 申 1已 知f(α)= sinx α+ cosx α,x ∈{n|n=2k-1,k ∈N?},計(jì)算x= 1,3,5···時(shí),f(α)的值域,猜想一般結(jié)論并證明.

解析注意到2π顯然為f(α)的一個(gè)周期,文[1]利用三角函數(shù)求導(dǎo),得到可能,最值點(diǎn)0,π,2π,最終得到f(α)= sinx α+cosx α的范圍為[-1,1](解題過程略,詳細(xì)解答可參見文[1]).但在解題過程中有兩處明顯的錯(cuò)誤,

第一,結(jié)論明顯錯(cuò)誤,當(dāng)x=1 時(shí),f(α)=sinα+cosα=而不是[-1,1].

故文[1]引申1 結(jié)論應(yīng)作如下修正:

當(dāng)x= 1 時(shí),f(α)的值域是當(dāng)x≥3 時(shí),當(dāng)k ＞1 時(shí),-1,f(α)的值域是[-1,1].

注:文[1] 出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是未注意到當(dāng)k= 1 時(shí),