分離誠(chéng)可貴 轉(zhuǎn)化價(jià)更高*—對(duì)《分離ln x 法解一類函數(shù)問(wèn)題》的補(bǔ)遺

江西省萍鄉(xiāng)中學(xué)(337000) 黃賢鋒

文[1]提出,對(duì)于函數(shù)模型“f(x)=p(x)lnx+q(x)+r”通?？梢圆捎梅蛛xlnx法解決,即通過(guò)等價(jià)變形,將lnx前的系數(shù)變?yōu)槌?shù),然后構(gòu)造新的函數(shù)進(jìn)行研究,使問(wèn)題變得簡(jiǎn)潔.筆者讀后深受啟發(fā),同時(shí)也激發(fā)了研究的興趣.于是在歷年的高考題里尋找相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行驗(yàn)證,筆者發(fā)現(xiàn)文[1]中的分離lnx法并不能很好地解決下面的問(wèn)題.現(xiàn)摘錄于下：

一、分離遇阻

例1 (2014 全國(guó)I 卷理21 題節(jié)選)證明：exlnx+

解析按照文[1]的方法,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明lnx-e-x+令做到此處,我們發(fā)現(xiàn),導(dǎo)函數(shù)比較復(fù)雜,不能很好地求出可疑點(diǎn),也無(wú)法判斷分母的符號(hào).此時(shí)我們的分離lnx法遇到了挑戰(zhàn).為了更好地解決這個(gè)問(wèn)題,筆者決定還是從文[1]中找尋答案.

下面,我們回顧文[1]的幾個(gè)例題.

問(wèn)題1 (2010 高考全國(guó)卷I 理科第20 題節(jié)選)證明：f(x)=(x-1)[(x+1)lnx-x+1]≥0.

問(wèn)題2 (2011 高考全國(guó)卷I 文科第21 題節(jié)選)證明：當(dāng)x＞1 時(shí),

問(wèn)題3 (2016 高考全國(guó)卷II 文科第21 題節(jié)選)若當(dāng)x ∈(1,+∞)時(shí),(x+1)lnx-a(x-1)＞0,求a的取值范圍.

對(duì)于問(wèn)題1,當(dāng)x＞1 時(shí)(x≤1 的情形類似,此處省略),分離lnx,只需證明對(duì)左式求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)對(duì)于問(wèn)題2,當(dāng)x＞1 時(shí)(x＜1 的情形類似,此處省略),分離lnx,只需證明對(duì)左式求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)對(duì)于問(wèn)題3,分離lnx,只需探究時(shí),a的取值范圍,對(duì)左式求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù)

可以發(fā)現(xiàn)文[1]的三個(gè)例題,在分離lnx后,求導(dǎo)所得的導(dǎo)函數(shù)比較“簡(jiǎn)單”(只需研究二次函數(shù)),這也正是分離lnx法最大的優(yōu)勢(shì)所在.而例1 在分離lnx,求導(dǎo)后所得的函數(shù)比較復(fù)雜,要判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),需要研究超越方程,這正是我們無(wú)法用lnx分離法解決例1 的原因.

二、轉(zhuǎn)化出奇

人們認(rèn)識(shí)事物的過(guò)程就是一個(gè)從陌生到熟悉的過(guò)程,數(shù)學(xué)解題也是如此,簡(jiǎn)而言之,就是將陌生的,復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的,簡(jiǎn)單的甚至是已經(jīng)解決的問(wèn)題.

容易發(fā)現(xiàn),在例1 中導(dǎo)致導(dǎo)函數(shù)復(fù)雜的主要原因是原問(wèn)題中的“ex”,于是,我們想將其轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù).結(jié)合f(x)中的項(xiàng)想到利用常用不等式“ex≥ex”進(jìn)行放縮,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明下面給出具體證明.

證明令g(x)=ex-ex,則g′(x)=ex-e,當(dāng)x＞1時(shí),g′(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增; 當(dāng)x＜1 時(shí),g′(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減.則g(x)min=g(1)=0,故ex≥ex當(dāng)且僅當(dāng)x=1 時(shí)不等式取等號(hào).因此令則當(dāng)時(shí),h′(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),h′(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增,則h(x)min=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).由于兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到,不等式得證.

三、應(yīng)用舉例

例2 (2016年高考山東卷理科第20 題節(jié)選)證明：當(dāng)x ∈[1,2]時(shí),f(x)=x+

解析本題lnx前面的系數(shù)已經(jīng)是常數(shù),求導(dǎo)可得如果要解決這個(gè)問(wèn)題,下面將要研究一個(gè)四次函數(shù),這導(dǎo)致我們的解題無(wú)功而返.類似地,我們想要導(dǎo)函數(shù)變得比較簡(jiǎn)單,需要對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化.觀察f(x)的結(jié)構(gòu),容易聯(lián)想到不等式lnx≤x-1,原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明不等式下面給出具體證明.

證明首先證明不等式lnx≤x-1(過(guò)程略),則f(x)≥令則g′(x)=令g′(x)=0,解 得(舍).則g(x)在(1,x1)單調(diào)遞增,在(x1,2)單調(diào)遞減.則g(x)min=min{g(1),g(2)}=g(2)=0,由于兩個(gè)等號(hào)不能同時(shí)取到,故不等式得證.

總之,分離lnx法可以使這類數(shù)學(xué)問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)潔,當(dāng)分離lnx后得到的問(wèn)題仍然比較復(fù)雜時(shí),我們可以想辦法將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)熟悉的,容易解決的問(wèn)題.有的時(shí)候一次轉(zhuǎn)化還不能解決問(wèn)題,此時(shí),我們可以考慮連續(xù)轉(zhuǎn)化,比如下面的問(wèn)題：

練習(xí)(2016年高考遼寧卷理科第21 題節(jié)選)已知證明：當(dāng)0＜x＜2 時(shí),