靈活選擇轉(zhuǎn)軸解決大學(xué)物理中剛體的滾動(dòng)問(wèn)題

【摘 要】剛體的滾動(dòng)可視為質(zhì)心的平動(dòng)和剛體繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)的合成，也可以把滾動(dòng)的瞬間看作剛體繞通過(guò)支點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。本文分別選取這兩種不同轉(zhuǎn)軸對(duì)剛體的滾動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行解答。

【關(guān)鍵詞】大學(xué)物理;剛體;平行軸定理

中圖分類號(hào)： G642;O313.3-4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2019）35-0100-001

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.35.046

0 引言

物理學(xué)是研究物質(zhì)的基本結(jié)構(gòu)、基本運(yùn)動(dòng)形式、相互作用的自然科學(xué)[1]。以物理學(xué)基礎(chǔ)為內(nèi)容的大學(xué)物理課程，是理工科專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)課。大學(xué)物理中經(jīng)常研究物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在解決同一問(wèn)題時(shí)，由于解決途徑的不同、研究方法的不同或者參考系的選取不同等，往往有多種解法。這種一題多解的方法在鞏固和加深所學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力與創(chuàng)新能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣方面起著重要作用[2]。例如同一個(gè)物理問(wèn)題，解題時(shí)通過(guò)慣性系與非慣性系的靈活選取，既能簡(jiǎn)化問(wèn)題，又能增進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解[3]。本文通過(guò)靈活選取不同的轉(zhuǎn)軸，巧妙解決了教材中有關(guān)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的經(jīng)典例題，有助于啟發(fā)學(xué)生對(duì)物理問(wèn)題的深入思考。

1 剛體滾動(dòng)問(wèn)題的兩種方法

以教材中例題為例[4]，如圖1所示，斜面長(zhǎng)l=1.5m，與水平面的夾角θ=5°。有兩個(gè)物體分別靜止地位于斜面的頂端，然后由頂端沿斜面向下滾動(dòng)，一個(gè)物體是質(zhì)量m1=0.65kg、半徑為的實(shí)心圓柱體，另一物體是質(zhì)量為、半徑的薄壁圓柱筒。它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經(jīng)歷多長(zhǎng)時(shí)間？

圖1 物體受力分析圖

解法一：物體由斜面頂端滾下，可視為質(zhì)心的平動(dòng)和物體繞通過(guò)質(zhì)心的轉(zhuǎn)軸所做的轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)合成。由于圓柱體和圓筒的質(zhì)量密度都是均勻的，因此他們的質(zhì)心C都在軸線上。只因?yàn)閮烧叩男螤畈煌?，故而他們的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量并不相等。如圖所示它們受到重力mg、支持力N、和摩擦力Ff的作用。由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程可得

mgsinθ-Ff=maC（1）

而以過(guò)質(zhì)心C的軸為轉(zhuǎn)軸，可由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得

FfR=Jcα（2）

式中Jc和α分別為對(duì)通過(guò)質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度。對(duì)剛體滾動(dòng)來(lái)說(shuō)。質(zhì)心的加速度ac與圓柱體表面相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的加速度a相等，再由角量和線量的關(guān)系可得

a=ac=Rα（3）

（1）（2）（3）式聯(lián)立可求得

a=■（4）

已知實(shí)心圓柱體相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc1=m1R2/2，圓柱筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc2=m2R2。把它們代入（4）式可得實(shí)心圓柱體的加速度a1和空心圓柱筒的加速度分別為

a1=2gsinθ/3，a2=gsinθ/2（5）

由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的公式，容易求得它們到達(dá)斜面底部所經(jīng)歷的時(shí)間分別為

t1=■，t2=■（6）

由（5）式和（6）式，代入已知數(shù)據(jù)可求得：t1=2.3s，t2=2.6s。

解法二：物體滾下的任一瞬間，可以看做物體繞平行于質(zhì)心轉(zhuǎn)軸且穿過(guò)物體與斜面接觸點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸（以下稱轉(zhuǎn)軸P）的轉(zhuǎn)動(dòng)。由于支持力N和摩擦力Ff均通過(guò)此轉(zhuǎn)軸，因此這兩個(gè)力的力矩為零。那么根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有

mgRsinθ=Jpα（7）

式中Jp、α分別為物體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和角加速度。

由于物體質(zhì)心在其幾何中心，則離轉(zhuǎn)軸P為R，所以質(zhì)心的加速度

α=Rα（8）

（7）式和（8）式聯(lián)立可得

a=■（9）

根據(jù)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理，若已知過(guò)質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Jc，則過(guò)任何與質(zhì)心軸線相平行的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大?。篔=Jc+md2，其中d為兩平行軸之間的距離[5]。可得Jp=Jc+mR2。已知實(shí)心圓柱體相對(duì)于質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc1=m1R2/2，圓柱筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jc2=m2R2。因此有實(shí)心圓柱體相對(duì)于轉(zhuǎn)軸P的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jp1=3m1R2/2，圓柱筒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jp2=2m2R2。把它們代入（9）式可得實(shí)心圓柱體的加速度a1和空心圓柱筒的加速度a2，結(jié)果同（5）式一致。

由（5）式和（6）式，代入已知數(shù)據(jù)可同樣可以求得：t1=2.3s，t2=2.6s。

2 總結(jié)

由于剛體的滾動(dòng)既可以視為質(zhì)心的平動(dòng)和剛體繞通過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)的合成，又可以看作是剛體繞通過(guò)支點(diǎn)的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。以一種看法是兩種運(yùn)動(dòng)的合成，因此解法一需要列出質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程和轉(zhuǎn)動(dòng)定律兩個(gè)基本方程，而解法二只需列出轉(zhuǎn)動(dòng)定律的方程，使解題過(guò)程大大簡(jiǎn)化。

【參考文獻(xiàn)】

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