圖解法求解動平衡問題的條件探究

謝志剛

摘? ?要：用圖解法求解動平衡問題直觀、簡捷，深受師生喜愛。但是，長期以來都存在著這一方法只有在“一個力的大小和方向不變，第二個力的方向不變”的條件下才能使用的片面認(rèn)識。文章通過理論分析及典型例證的方式說明其適用條件為“三個力的大小和方向中有任意三個影響因素確定”時就可以用圖解法，或者“三個力的大小和方向中能確定的影響因素不夠三個，但還有其他的已知條件”時也可用圖解法求解。

關(guān)鍵詞：圖解法;動態(tài)平衡;適用條件;影響因素

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2019）12-0058-3

求解平衡問題的方法很多，其中圖解法是一種直觀、簡捷的方法，在處理動態(tài)平衡問題時深受師生喜愛。但是該方法并不是萬能的，只有滿足一定的條件才能應(yīng)用該方法處理問題。那么，其適用條件到底是什么呢？下面我們通過理論分析并結(jié)合一些典型例題的求解來探究其適用條件。

實際上許多人都習(xí)慣性地認(rèn)為圖解法的適用條件是：物體受三個力而處于動態(tài)平衡狀態(tài)時，其中有一個力的大小和方向不變，第二個力的方向不變。比如，下面這個例題的求解：

例1 一物體放于水平面上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)為μ，物體的質(zhì)量為m，現(xiàn)對物體加一斜向上的拉力，該力與水平面的夾角為多大才能使物體在水平面上勻速運動時拉力最小，該最小拉力為多少？重力加速度為g。

該題可用解析法通過函數(shù)求極值解出。雖然受四個力而處于平衡狀態(tài)，但也可以將圖1中的地面支持力與滑動摩擦力合并成一個力R，畫出R、F、G這三個力所構(gòu)成的封閉矢量三角形，由于tanα=■=■=μ，可見力R的方向與豎直方向的夾角α始終不變，這樣就滿足了上面所說的條件，其動態(tài)圖如圖2所示。很容易看出：當(dāng)F⊥R時F有最小值，即θ=α=arctanμ時Fmin=mgsinα=■。

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圖1? 物體受力圖? ? ? ? ? ?圖2? 受力的矢量三角形

由這個例題可以看出，上面所說的條件滿足時是一定能用圖解法求解的，那么當(dāng)上面的條件不滿足時就一定不能使用圖解法了嗎？下面我們詳細(xì)分析。

在處于動態(tài)平衡的三個力中，如將每個力的大小和方向分別作為一個影響因素，則共有六個影響因素，由前面的條件可知，“一個力的大小和方向不變，第二個力的方向不變”，說明有三個影響因素確定，那么，是否只要其中的任意三個影響因素確定就可以用圖解法求解動平衡問題呢？下面我們從還可能存在的這五種情況分別分析。

（1）當(dāng)三個力的大小確定時

當(dāng)三個力的大小確定時，則矢量三角形的每個邊長就確定。由余弦定理可知，每個內(nèi)角也是確定的。當(dāng)一個力的方向發(fā)生變化時，其他力的方向也隨之發(fā)生相同的變化。用圖解法時，只需畫出矢量三角形，相當(dāng)于整體一起轉(zhuǎn)動。因太簡單，不再舉例說明。

（2）當(dāng)三個力的方向確定時

當(dāng)矢量三角形的三個邊的方向確定時，如果某個力的大小發(fā)生改變，仍要形成封閉的矢量三角形，又要保證各力的方向不變，即三個內(nèi)角大小不變。由正弦定理知，其他邊所代表的力的大小也發(fā)生相應(yīng)的變化，相當(dāng)于整體放大或縮小。

例如，如圖3所示的三根繩在結(jié)點O處聯(lián)結(jié)，用力拉直使O點處于靜止?fàn)顟B(tài)，當(dāng)拉力F1方向不變大小增大時，三個力的方向保持不變，由動態(tài)圖可知：其余兩個力的大小也相應(yīng)增大。

（3）當(dāng)兩個力的方向及第三個力的大小確定時

為了方便，我們直接以例題的形式進(jìn)行分析和說明。

例2 在圖3所示的例題中，保持結(jié)點O的位置不動，在上面兩根繩都拉直的情況下（設(shè)兩繩間夾角為鈍角），下面一根繩的拉力F1保持大小不變、方向由F3的反向延長線逆時針緩慢轉(zhuǎn)到F2的反向延長線的過程中（如圖4所示），F(xiàn)2、 F3的大小怎么變化？

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圖3? 三繩聯(lián)結(jié)情形? ? ? ?圖4? 改變圖3中F1的方向

分析 由于力F1的大小不變，因此我們以結(jié)點O為圓心，以F1的大小為半徑作一個圓周。當(dāng)其沿F3的反向延長線方向沿圓周逆時針緩慢轉(zhuǎn)到F2的反向延長線方向的過程中，在保證F2、F3沿圖5所示方向不變的情況下作出封閉的矢量三角形。在任一矢量三角形中（如圖5所示），由于F2、F3的方向不變，故其夾角θ不變，■比值不變。當(dāng)F1的方向變化時，α、β角發(fā)生相應(yīng)的變化，由正弦定理可以判斷出F2、F3的大小變化情況。其動態(tài)圖如圖5所示，在F1方向變化的過程中，α一直增大、β一直減小，可見F3逐漸減小到零，而F2先增大后減小到與F1等大。顯然這種情況圖解法也可以求解。

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圖5? F1變化到不同位置的矢量三角形

（4）當(dāng)一個力的大小和方向及第二個力的大小確定時

例3 某同學(xué)利用如圖6所示的裝置來驗證力的平行四邊形定則，其中m1、m2已知，重力加速度為g，各接觸面均光滑。當(dāng)彈簧測力計的示數(shù)為F時，結(jié)點O平衡。如果增大彈簧測力計的拉力F，當(dāng)系統(tǒng)再次平衡后，OB與豎直方向的夾角如何變化？

分析：FB=F，當(dāng)F增大時，由平衡條件知，O點將向右上方移動，因而AO段繩將逐漸向水平方向靠近，即圖7中FA與豎直方向的夾角增大。因此，我們以m1g這個力矢量的箭頭為圓心，以大小恒等于m2g的力FA為半徑畫一個圓，當(dāng)FA逆時針轉(zhuǎn)動少許時畫出其動態(tài)圖如圖7所示。由于初始位置不能確定，當(dāng)FA逆時針轉(zhuǎn)動少許時，F(xiàn)B與豎直方向的夾角可能增大，可能減小，也可能不變。可見這種情況圖解法仍能求解。

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圖6? 題目示意圖? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖7? 動態(tài)圖

（5）當(dāng)兩個力的大小及第三個力的方向確定時

例4 如圖8所示，三根輕繩系在結(jié)點O處，左、右兩根輕繩通過兩固定的光滑定滑輪O1、O2分別與兩個質(zhì)量為m1、m2的物塊相連，中間繩子懸掛質(zhì)量為m的物塊而靜止于如圖8所示的位置。此時結(jié)點O比定滑輪O1高，當(dāng)緩慢增大m的質(zhì)量時，繩OO2與豎直方向的夾角怎樣變化？

分析：由平衡條件知F1=m1g、F2=m2g，這兩個力大小不變，作圖時每個力都要首尾相連而構(gòu)成封閉的矢量三角形。因此，以這兩個大小確定的力首尾相連處的點為圓心，以這兩個力的大小為半徑畫兩個圓周，這兩個圓的圓周上各點就是這兩個力的箭頭和箭尾的可能位置。再根據(jù)第三個力的方向F3是豎直向下的，將其畫在圖中構(gòu)成封閉矢量三角形。初始位置如圖9中Ⅰ所示，隨著m增大即F3的增大，依次經(jīng)歷圖9中Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ位置。由動態(tài)圖可知F2與豎直方向的夾角先增大后減小，可見這種情況還是可用圖解法求解。

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圖8? 題目示意圖? ? ? ? ? ? 圖9? 動態(tài)圖

由上面的各種情況可知：在三個力中只要有任意三個影響因素確定，則一定能通過圖解法求解動平衡問題。其他情況，當(dāng)已知的影響因素不夠三個，但還已知另外的其他條件時，能否用圖解法呢？我們再來看看下面的兩個例子

例5 如圖10所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N，初始時OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α>■），現(xiàn)將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角不變，在OM由豎直被拉到水平的過程中（? ? ? ）

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

分析：該題中物體受三個力而處于動態(tài)平衡狀態(tài)，可以由正弦定理求解（解法略）。用圖解法能否求解呢？很顯然不滿足上面所說的條件，只有一個力的大小和方向確定，另外兩個力的大小和方向都不確定。可是我們注意到題中還有一個已知條件：第二個力與第三個力之間的共點夾角α不變，如果將這三個力也畫成一個封閉的矢量三角形，即是這兩個力的首尾相連夾角θ（θ=π-α，為銳角）也不變。在動態(tài)變化圖中，由于θ及其所對應(yīng)邊的大小、方向都不變，相當(dāng)于一個圓中的一個弦（或圓?。┘捌渌鶎?yīng)的圓周角不變，故封閉的矢量三角形的三個頂點就在同一圓周上。由于重力的大小和方向不變，對應(yīng)圓周上就是一個固定的弦，它所對的圓周角就是θ，是不變的。又因為θ為銳角，故重力G這根弦不能過直徑。畫出動態(tài)圖依次經(jīng)歷如圖11中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ所示位置，可以看出，在F1由豎直緩慢變到水平的過程中，F(xiàn)1是先增大后減小，F(xiàn)2是一直增大到最大值，故該題應(yīng)選A、D選項。

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圖10? 題目示意圖? ? ? ? ? 圖11? 動態(tài)圖

由例5可知，雖然不滿足上面的條件，但還有其他已知條件時，也能用圖解法求解。

綜上所述，在動平衡問題中，能使用圖解法的條件并不是“一個力的大小和方向不變，第二個力的方向不變”，而應(yīng)當(dāng)是三個力的大小和方向這六個影響因素中只要任意確定三個影響因素時，一定可用圖解法求解。另外，若已知的影響因素不夠三個，但還有其他已知條件時，仍可能用圖解法求解動平衡問題。同時，我們也可以看到使用這一方法時，畫好矢量三角形和圓周很重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄧宏偉.較復(fù)雜動態(tài)平衡問題的解題策略[J].中學(xué)物理，2013，37（10）：65.

（欄目編輯? ? 羅琬華）