例析平衡中的“自鎖效應(yīng)”問題

張超

摘? ?要：共點力的平衡是高考的熱門考點之一?！白枣i效應(yīng)”問題是共點力的平衡中特別的一種類型。對于該類問題，學(xué)生往往無從下手或方法不當(dāng)。文章旨在通過例題解析，總結(jié)出解決“自鎖效應(yīng)”問題的核心思路與方法，以供參考。

關(guān)鍵詞：力的平衡;自鎖效應(yīng);臨界問題

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2019）12-0052-2

共點力平衡中的自鎖問題，其力學(xué)的實質(zhì)是物體發(fā)生相對滑動需要克服的最大靜摩擦力與物體間正壓力同步按相同比例增大，使得動力總不能克服最大靜摩擦力，從而發(fā)生“自鎖效應(yīng)”。詳見例題。

例題 如圖1所示，質(zhì)量為m的小物塊放置在一斜面上（斜面固定），當(dāng)斜面調(diào)整為傾角為30°時，物塊恰能沿斜面勻速下滑，對小物塊施加一個大小為F的水平向右的恒力，恰能使得小物塊沿斜面勻速向上滑動（滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）。若將斜面的傾角增大并且大于某一臨界角θ0時，不論水平恒力F為多大，都不能將物塊沿斜面向上推動，求：（1）物塊與斜面間的動摩擦因數(shù);（2）臨界角θ0的大小。

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圖1? 物塊在斜面上

解 （1）物塊勻速下滑，根據(jù)平衡條件有

mgsin30°=μmgcos30°，得μ=■。

（2）設(shè)斜面傾角為α，物體能沿斜面勻速上滑，則有Fcosα=mgsinα+f;FN=mgcosα+Fsinα。

其中，f=μFN。解得F=■。

當(dāng)cosα-μsinα→0，即cotα→■時，F(xiàn)→∞，故臨界角θ0=α=60°。

“不論水平恒力F為多大，都不能使物體沿斜面向上滑行”表明本題是一道典型的“自鎖效應(yīng)”例題。由分析過程，我們不難總結(jié)發(fā)現(xiàn)：解決“自鎖效應(yīng)”問題的方法實質(zhì)是平衡中的臨界與極值問題，臨界狀態(tài)可理解為“剛好發(fā)生”和“剛好不發(fā)生”某種現(xiàn)象的狀態(tài)。求解時，一般先根據(jù)平衡條件及有關(guān)知識列出方程，而后采用極限法求極值。接下來，利用上述方法解析一道“自鎖效應(yīng)”的生活實例問題“變式”。

變式：如圖2所示是家庭常用的拖把模型，設(shè)拖把頭質(zhì)量為m，拖桿的質(zhì)量可以忽略不計，地板與拖把頭間的滑動摩擦因數(shù)為μ，如使用該拖把在水平地面上拖地，設(shè)拖桿與豎直方向的夾角為θ，且拖地時需要沿拖桿方向推拖把。（已知重力加速度為g）則：（1）若拖把頭在地板上勻速拖動，求解人對拖桿的推力。（2）若存在一臨界角θ0，當(dāng)θ≤θ0時，無論沿著拖桿方向的推力是多大，都無法讓拖把從靜止開始拖動（設(shè)能讓拖把從靜止剛好開始運動的水平推力與此時拖把對地板的正壓力的比值為λ），請求出這一臨界角的正切tanθ0。

解：（1）根據(jù)平衡條件可得

Fsinθ=f（1）

Fcosθ+mg=N（2）

f=μN（3）

聯(lián)立（1）（2）（3）式得

F=■mg（4）

（2）若無論沿著拖桿方向的推力是多大，都無法讓拖把從靜止開始拖動，則

Fsinθ≤λN（5）

由（1）（5）式得sinθ-λcosθ≤λ■（6）

當(dāng)F→∞，有sinθ-λcosθ→0（7）

故這一臨界角的正切tanθ0=λ（8）

希望通過上述兩題的解析，學(xué)生能掌握解決“自鎖效應(yīng)”問題的核心思路與方法。在常規(guī)教學(xué)中，物理教師應(yīng)有意識地滲透數(shù)學(xué)思維方法，更好地培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]朱木清.物理教學(xué)中數(shù)學(xué)能力培養(yǎng)探討[J].教學(xué)考試，2018（3）：67-68.

（欄目編輯? ? 羅琬華）