計(jì)算教學(xué)，不妨跳出教材試一試

藍(lán)雪敏

【摘? ?要】計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題。針對(duì)教師計(jì)算教學(xué)中存在的共性問題，不妨立足教材，剖析原因，審視出路，重構(gòu)教學(xué)。圍繞“方法多樣化與優(yōu)化如何兼顧”“教材呈現(xiàn)錯(cuò)例與學(xué)生生成錯(cuò)例如何取舍”“課時(shí)內(nèi)容之間如何有效銜接”等問題，提出了“凸顯算理，提升算法”“源于學(xué)生，呈現(xiàn)典型”“正視增長(zhǎng)點(diǎn)，串聯(lián)并軌”的改進(jìn)策略，以此賦予計(jì)算教學(xué)新的內(nèi)涵。

【關(guān)鍵詞】計(jì)算教學(xué);教材 ;算法多樣化;錯(cuò)例

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)重要的一個(gè)板塊，涵蓋整個(gè)小學(xué)階段的每一個(gè)學(xué)期。北師大版小學(xué)數(shù)學(xué)教材在計(jì)算教學(xué)的編排中，凸顯“鼓勵(lì)運(yùn)算方法多樣化、關(guān)注運(yùn)算道理的理解、關(guān)注基本運(yùn)算技能的形成”等特點(diǎn)，給學(xué)生的自主學(xué)習(xí)提供了探究的空間，有效地促進(jìn)了學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累。

教材在計(jì)算教學(xué)板塊相對(duì)固定的呈現(xiàn)方式，給一線教師提供了教學(xué)的基本思路與流程，使教師的教學(xué)形成了相對(duì)共性的模式。筆者選擇近幾年計(jì)算教學(xué)調(diào)研中發(fā)現(xiàn)的幾個(gè)共性現(xiàn)象，著眼于教材編寫實(shí)際，跳出教材范例固有的呈現(xiàn)方式，對(duì)計(jì)算教學(xué)進(jìn)行了再思考。

一、方法多樣化與方法優(yōu)化如何兼顧？——凸顯算理，提升算法

【問題凝視】“你最喜歡哪種方法？”

在北師大版教材四年級(jí)上冊(cè)“三位數(shù)乘兩位數(shù)”自主探究后的反饋環(huán)節(jié)，學(xué)生自主探究114×21后，教師組織全體學(xué)生匯報(bào)方法。師生問答式互動(dòng)后，黑板上出現(xiàn)了以下四種方法。

師：這四種方法，你最喜歡哪一種？

生：我喜歡第一種。

生：我喜歡第二種。

生：我喜歡第四種，用豎式計(jì)算。

師（非常尷尬地小結(jié)）：同學(xué)們，其實(shí)用豎式計(jì)算最簡(jiǎn)潔，下面我們就一起用豎式再來計(jì)算114×21。

課上到該環(huán)節(jié)結(jié)束，已花去了大半節(jié)課的時(shí)間。

【成因透視】

每次聽到這樣的教學(xué)片段，下課后筆者都要反問教師：“是不是學(xué)生喜歡哪種方法就用哪種方法？”答案當(dāng)然是否定的。

1.算法多樣化≠算法均衡化。以上四種算法既是教材呈現(xiàn)的方法，也是學(xué)生自主探究過程中能自主得出的方法（教材在三年級(jí)上冊(cè)、三年級(jí)下冊(cè)均有這些方法的呈現(xiàn)）。教學(xué)中，教師在問答式一一交流各種算法的過程中平均使力，沒有側(cè)重點(diǎn)。這種算法均衡化教學(xué)環(huán)節(jié)不僅耗時(shí)，還讓學(xué)生對(duì)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)重點(diǎn)難以把握。

2.算法多樣化≠算法割裂化。教材呈現(xiàn)四種算法，鼓勵(lì)學(xué)生呈現(xiàn)多樣的算法，一方面是給學(xué)生個(gè)性化思維的發(fā)展提供空間，另一方面是要借助算法中的共性來理解豎式計(jì)算的道理（算理），而后者是本節(jié)課教學(xué)的重要目標(biāo)。但在教學(xué)中，教師將四種方法并列且割裂，完全忽視方法之間的溝通與融合。

3.算法多樣化≠算法不優(yōu)化。本課教學(xué)主要目標(biāo)是“理解豎式計(jì)算的道理（算理），能用豎式正確地進(jìn)行計(jì)算”。可見，豎式計(jì)算是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)，而算理的理解是掌握豎式計(jì)算方法的基石。為此，四種方法并不能并駕齊驅(qū)（有的不具普適性，如方法二;有的過程煩瑣，如方法三），此時(shí)算法的優(yōu)化就顯得至關(guān)重要。

可見，“你最喜歡哪種方法？” 這只是一個(gè)毫無實(shí)際意義的問題。

【出路審視】

整數(shù)乘法的豎式計(jì)算在教材編排中分別安排在三年級(jí)上冊(cè)（兩、三位數(shù)乘一位數(shù)）、三年級(jí)下冊(cè)（兩位數(shù)乘兩位數(shù)）、四年級(jí)上冊(cè)（三位數(shù)乘兩位數(shù)）。雖然知識(shí)點(diǎn)分散在不同學(xué)期教學(xué)，但教材在知識(shí)的呈現(xiàn)方式上基本雷同（見下圖）。

第一課時(shí)? ? ? ? ? 第二課時(shí)? ? ? ? ? ? 第三課時(shí)

三上：兩、三位數(shù)乘一位數(shù)

第一課時(shí)? ? ? ? ? 第二課時(shí)? ? ? ? ? ? ?第三課時(shí)

三下：兩位數(shù)乘兩位數(shù)

四上：三位數(shù)乘兩位數(shù)（一課時(shí)）

縱觀教材算法，不外乎三種：一種是拆成乘法分配律的形式分步口算，一種是表格法，還有一種是豎式計(jì)算。這三種方法在算理上是一致的。為此，在三年級(jí)兩次不同階段的學(xué)習(xí)中，教材呈現(xiàn)了各種算法之間的聯(lián)系，但在四年級(jí)，教材沒有再次呈現(xiàn)各種算法之間的聯(lián)系。這就造成教師在知識(shí)銜接的過程中出現(xiàn)了誤區(qū)，反映在教學(xué)中的現(xiàn)象就是另起爐灶，照本宣科，算法割裂，算理缺失。

1.打通算法之間的聯(lián)系，凸顯算理理解。學(xué)生已經(jīng)有了三年級(jí)兩次學(xué)習(xí)計(jì)算知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，無論在算法上，還是在算理的理解上都有了一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在四年級(jí)的學(xué)習(xí)中，教師應(yīng)將重心放在讓學(xué)生自主感悟算法間的聯(lián)系，自主解釋運(yùn)算的道理上。這樣既可以喚醒學(xué)生運(yùn)用舊知去遷移新知，又可以找到知識(shí)間的共性與區(qū)別。

2.比較中感悟豎式計(jì)算的優(yōu)勢(shì)，凸顯算法提煉。如何讓學(xué)生體會(huì)豎式計(jì)算的優(yōu)勢(shì)，從而進(jìn)一步體會(huì)到算法提煉的必要性？借助比較，學(xué)生在不斷地對(duì)比中感悟、體驗(yàn)豎式計(jì)算，在不斷地實(shí)踐中提煉算法。

為此，不妨跳出教材呈現(xiàn)的方式，將上述教學(xué)片段作如下修改。

【片段重構(gòu)】

學(xué)生自主探究后，教師將四種算法同時(shí)呈現(xiàn)在黑板上，并出示反饋交流要求。

1.這些方法你有不理解的嗎？如果有，請(qǐng)和同桌討論。

2.仔細(xì)研究這些方法，哪幾種方法有相同的地方？請(qǐng)和同桌說一說。

3.在相同的這些方法中，你認(rèn)為哪種方法最具有優(yōu)勢(shì)，為什么？

4.對(duì)與眾不同的方法，你有什么想說的？

交流的4個(gè)問題指向不同的維度：?jiǎn)栴}1喚醒學(xué)生舊知，無須全班交流;問題2指向算理的理解;問題3指向基于算理理解基礎(chǔ)上的算法提煉;問題4指向方法二不具普適性，更突顯豎式計(jì)算的優(yōu)勢(shì)（適合任何兩個(gè)整數(shù)的相乘）。

二、教材呈現(xiàn)錯(cuò)例與學(xué)生生成錯(cuò)例如何取舍？——源于學(xué)生，呈現(xiàn)典型

【問題凝視】“淘氣也做了幾道題，你覺得他做對(duì)了嗎？”

在北師大版教材五年級(jí)上冊(cè)“除數(shù)是小數(shù)的除法”練習(xí)設(shè)計(jì)中的錯(cuò)題分析環(huán)節(jié)，學(xué)生完成第一層次的鞏固練習(xí)之后，教師出示教材練習(xí)中的“森林醫(yī)生”（見下圖），用“淘氣也做了幾道題，你覺得他做對(duì)了嗎？”（淘氣是北師大版教材設(shè)置的主要人物之一，其扮演著與學(xué)生一起學(xué)習(xí)的角色，從一年級(jí)起就開始伴隨學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程）引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)例分析中進(jìn)一步明晰算理，鞏固算法。

①? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ②? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?③

【成因透視】

計(jì)算教學(xué)在第二層次的練習(xí)中設(shè)計(jì)錯(cuò)例分析，且錯(cuò)例來源于教材中的習(xí)題（教材在練習(xí)中常常會(huì)設(shè)計(jì)“森林醫(yī)生”錯(cuò)例題型），這已是教師的常規(guī)思維，家常課中司空見慣，公開課中也屢見不鮮。

筆者不禁要問，教材編寫的計(jì)算錯(cuò)例，在教師任教班級(jí)學(xué)生的計(jì)算中一定會(huì)出現(xiàn)嗎？如果出現(xiàn)，是否具備典型性？如果沒有出現(xiàn)，那么是否會(huì)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移？

1.教材呈現(xiàn)的錯(cuò)例≠學(xué)生生成的錯(cuò)例。在多次的教學(xué)調(diào)研中，筆者發(fā)現(xiàn)，教材呈現(xiàn)的錯(cuò)例與學(xué)生學(xué)習(xí)中生成的錯(cuò)例并不完全吻合，有些錯(cuò)例甚至學(xué)生根本不會(huì)出現(xiàn)。如上圖中的第③小題，這種錯(cuò)例與學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀極其不匹配。不難理解，教材面向全國(guó)，統(tǒng)一教材與學(xué)生存在的差異兩者之間會(huì)有矛盾。因此，教師脫離學(xué)生實(shí)際，試圖借助教材錯(cuò)例分析來鞏固算理和算法，有時(shí)會(huì)適得其反，甚至?xí)?duì)學(xué)習(xí)能力相對(duì)比較弱的學(xué)生產(chǎn)生負(fù)遷移。

2.教材呈現(xiàn)的錯(cuò)例≠學(xué)生典型的錯(cuò)例。計(jì)算教學(xué)中學(xué)生算錯(cuò)不可避免。若仔細(xì)分析，必會(huì)發(fā)現(xiàn)學(xué)生一些具有典型性的錯(cuò)例。如上圖中的第①小題就是學(xué)生的典型錯(cuò)例，而第②、第③小題就不具有典型性。因此，以教材的錯(cuò)例展開分析，對(duì)于學(xué)生而言，未必具有針對(duì)性，實(shí)效性也就可想而知。

可見，“淘氣做的幾道題是否正確”與學(xué)生無關(guān)，學(xué)生應(yīng)該關(guān)注自己做的幾道題是否正確。

【出路審視】

計(jì)算教學(xué)中的錯(cuò)例分析，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生理解算理，鞏固算法。如能從學(xué)生的練習(xí)中選取錯(cuò)例素材加以有效使用，必會(huì)在課堂40分鐘內(nèi)提高學(xué)生計(jì)算的正確率。

1.模仿練習(xí)中尋找錯(cuò)例，掌握典型錯(cuò)因。在第一層次的基礎(chǔ)練習(xí)中，著眼于理解算理和鞏固算法的目標(biāo)，設(shè)計(jì)與例題完全一致的題型，讓學(xué)生在模仿中練習(xí)。統(tǒng)一的題型必會(huì)出現(xiàn)雷同的錯(cuò)誤，這恰恰能暴露學(xué)生思維的共性，凸顯典型錯(cuò)因。在典型錯(cuò)因處教師及時(shí)介入分析，學(xué)生及時(shí)進(jìn)行糾錯(cuò)，必能取得事半功倍的效果。

2.變式練習(xí)中尋找錯(cuò)例，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。計(jì)算教學(xué)中，教師要善于借助已有的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，反思以往學(xué)生學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)和常見的易錯(cuò)易混淆點(diǎn)，以此為切入口，設(shè)計(jì)一組變式練習(xí)（與例題題型不同，但算理與算法都相同），借助變式練習(xí)中學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)例，幫助學(xué)生尋找錯(cuò)因，以此突破學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，進(jìn)一步鞏固算法。

【片段重構(gòu)】

為此，上述教學(xué)片段，不妨跳出教材編寫的錯(cuò)題，作如下修改。

1.基礎(chǔ)練習(xí)

①11.7÷0.9? ?②3.6÷0.4? ?③0.75÷0.25? ?④6.21÷0.03

2.變式練習(xí)

①6.39÷0.3? ?②52.5÷0.25? ?③9.744÷4.8

基礎(chǔ)練習(xí)部分以學(xué)生練習(xí)中生成的典型錯(cuò)例為素材，尋找錯(cuò)因，鞏固算法。變式練習(xí)第①題學(xué)生常見的兩種豎式轉(zhuǎn)化“63.9÷3”“639÷30”，通過對(duì)比交流凸顯算法關(guān)鍵點(diǎn)“轉(zhuǎn)化時(shí)以除數(shù)的小數(shù)位數(shù)為準(zhǔn)”，第②、第③兩題則對(duì)應(yīng)學(xué)生特別易錯(cuò)的“商中間或末尾有0”的情況，尋找學(xué)生錯(cuò)例展開教學(xué)，突破難點(diǎn)。

三、 第一課時(shí)與第二課時(shí)如何合理有效銜接？——正視增長(zhǎng)點(diǎn)，串聯(lián)并軌

【問題凝視】每一課時(shí)，學(xué)生都從零起點(diǎn)開始嗎？

下表中的教學(xué)環(huán)節(jié)來源于北師大版教材四年級(jí)下冊(cè)小數(shù)加減法（借助元角分模型理解算理）的教學(xué)中。這是一次區(qū)域賽課，兩位分別執(zhí)教第一、二課時(shí)的教師在新課展開、板書設(shè)計(jì)等環(huán)節(jié)相似度極高。類似這樣固定模式、照搬教材、一切從零起點(diǎn)開始的教學(xué)思路，也普遍存在于一線教師的家常課中。

[課時(shí) 第一課時(shí) 第二課時(shí) 教材

編排 算式與問題 11.5+3.2

請(qǐng)用自己的方法算一算

反饋交流中形成板書 1.6+12.8

請(qǐng)用自己的方法算一算

反饋交流中形成板書 板書

【成因透視】

在計(jì)算教學(xué)的編排中，教材非常重視學(xué)生算法的多樣化，幫助學(xué)生積累問題解決的策略和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此在每一課時(shí)的編排中，都體現(xiàn)了一些共性內(nèi)容，如上表中的兩課時(shí)。在實(shí)際的教學(xué)中，如果教師都循著教材編排的內(nèi)容，依樣畫葫蘆來呈現(xiàn)每一節(jié)課，久而久之，學(xué)生對(duì)知識(shí)的積累將會(huì)是碎片化的、孤立割裂的。

1.忽視起點(diǎn)，使新知增長(zhǎng)點(diǎn)不凸顯。上述課例中，學(xué)生在第一課時(shí)已經(jīng)借助“元角分”模型充分理解了算理，感悟并提煉了算法（小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊），這應(yīng)該也必須成為第二課時(shí)的起點(diǎn)。在第二課時(shí)的學(xué)習(xí)中，教師忽視學(xué)生的起點(diǎn)，以相同的方式來設(shè)計(jì)新課展開環(huán)節(jié)，會(huì)讓學(xué)生對(duì)“新知增長(zhǎng)點(diǎn)”體會(huì)不深，同時(shí)也會(huì)讓學(xué)生對(duì)探究環(huán)節(jié)失去興趣。

2.忽視溝通，使知識(shí)間不串聯(lián)。知識(shí)的學(xué)習(xí)不應(yīng)該是碎片化孤立存在的，必要的溝通聯(lián)系能促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知完整性、系統(tǒng)性的形成。類似上述課例中兩課時(shí)之間不銜接、不對(duì)比、不溝通的現(xiàn)象，會(huì)讓學(xué)生對(duì)知識(shí)的積累只停留在最表層，知識(shí)點(diǎn)零散碎片化，無法深入到知識(shí)的核心本質(zhì)。

【出路審視】

正視學(xué)生的起點(diǎn)，巧妙借助學(xué)生的起點(diǎn)，不僅能讓學(xué)生理解得更深刻，還能讓學(xué)生體會(huì)到知識(shí)間的聯(lián)系，達(dá)到對(duì)知識(shí)本質(zhì)的理解。

1.巧用遷移，在知識(shí)增長(zhǎng)處使力。遷移是學(xué)習(xí)中常用的一種方式，適度的正遷移能有效促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解、對(duì)技能的提升。教師要善于找到知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別，正確把握學(xué)生的起點(diǎn)，在新知增長(zhǎng)點(diǎn)上巧用正向遷移，讓學(xué)生對(duì)接知識(shí)間的聯(lián)系，自主構(gòu)建新知。

2.善用比較，在知識(shí)本質(zhì)處并軌。比較也是學(xué)習(xí)中常用的一種方式，有效的比較能幫助學(xué)生找到知識(shí)之間的共性與不同，能促進(jìn)學(xué)生深入挖掘知識(shí)間的本質(zhì)所在。教師要遵從教材知識(shí)螺旋上升的編排特點(diǎn)，適時(shí)適度地在課時(shí)之間、單元之間、學(xué)段之間設(shè)計(jì)一些比較練習(xí)，幫助學(xué)生建立知識(shí)的串聯(lián)，在核心本質(zhì)處讓碎片化的知識(shí)并軌，構(gòu)建完整的知識(shí)系統(tǒng)。

【片段重構(gòu)】

為此，上述課例中的第二課時(shí)，不妨跳出教材編寫的范例，作如下修改。

回顧梳理：通過一個(gè)微視頻梳理回顧第一課時(shí)的算理與算法。

構(gòu)建新知：借助學(xué)習(xí)單，學(xué)生自主構(gòu)建新知。

出示問題情境后，給出下列學(xué)習(xí)單。

1.算一算：先列式，再用豎式計(jì)算。

2.說一說：和同桌說一說豎式計(jì)算中每一步的道理。

3.比一比：與上節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)有什么相同和不同的地方？

對(duì)比溝通：比較練習(xí)中挖掘知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系。

先用豎式計(jì)算，再想一想：小數(shù)加減的豎式計(jì)算與整數(shù)加減的豎式計(jì)算有什么相同和不同的地方？

①125+89? ?②1.25+8.9? ?③231-67? ?④14.8-6.75

構(gòu)建新知環(huán)節(jié)充分利用學(xué)生的起點(diǎn)，有效突破“進(jìn)位（滿十向前一位進(jìn)一）”這一新知增長(zhǎng)點(diǎn)的理解。通過比一比，溝通兩課時(shí)在算理與算法上的相同和不同處。對(duì)比溝通環(huán)節(jié)將學(xué)生已學(xué)的整數(shù)加減、小數(shù)加減（借助元角分模型）在教材中的分布情況作簡(jiǎn)單梳理回顧，讓學(xué)生體會(huì)到“相同數(shù)位上的數(shù)對(duì)齊”和“小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”，本質(zhì)上就是相同單位（計(jì)數(shù)單位）上的數(shù)對(duì)齊，進(jìn)而感悟就是相同單位（計(jì)數(shù)單位）個(gè)數(shù)的加與減。

四、深度聚焦

計(jì)算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)永恒的主題，教材是教師實(shí)施教學(xué)中最可依靠且最為直接的素材資源，學(xué)生是教學(xué)中的主體。圍繞永恒的主題，如何將教材編寫內(nèi)容與學(xué)生學(xué)習(xí)需要兩者之間最大程度地進(jìn)行匹配，這是教師必須思考的。

一、關(guān)注教材，更要關(guān)注學(xué)生

教材提供的素材具有普適性和通用性，但也會(huì)因不同地域?qū)W生的差異而凸顯其素材針對(duì)性不強(qiáng)的弊端。教師在使用教材的過程中，要站在學(xué)生的立場(chǎng)，充分考慮學(xué)生的起點(diǎn)、學(xué)生思考的難點(diǎn)、學(xué)生容易混淆的錯(cuò)點(diǎn)，以學(xué)生的實(shí)際現(xiàn)狀對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行合理的取舍，讓教材真正為學(xué)生的有效學(xué)習(xí)服務(wù)。

二、用好教材，更要用活教材

每一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)的不同，決定了教材每一課時(shí)內(nèi)容相對(duì)的獨(dú)立性。教師在使用教材的過程中，不僅要著眼于課時(shí)內(nèi)容，還要著眼于單元整體內(nèi)容，更要著眼于整個(gè)學(xué)段的同一領(lǐng)域內(nèi)容。要善于將課時(shí)內(nèi)容放在單元內(nèi)容里思考，放在學(xué)段同一領(lǐng)域內(nèi)容里思考，找準(zhǔn)知識(shí)背景、知識(shí)發(fā)展過程、知識(shí)核心本質(zhì)等。只有這樣，才能將教材真正用好，才能有能力將教材用活。

站在學(xué)生立場(chǎng)，打破教材固有模式，跳出教材來思考教材，計(jì)算教學(xué)必能彰顯新的內(nèi)涵。

（浙江省衢州市龍游縣教育局教研室? ?324400）