分?jǐn)?shù)除法算理表征方式的選擇：教師的視角

王敏 吳敏霞 趙雨晴 鞏子坤

【摘? ?要】采用問卷調(diào)查，了解44名教師選擇的“易于學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法算理的表征方式”。調(diào)查結(jié)果顯示：教師認(rèn)為對(duì)學(xué)生而言，直觀表征最容易理解，抽象表征比較容易理解，形式表征最不容易理解。隨著任務(wù)難度增加，教師選擇的分?jǐn)?shù)除法算理表征方式會(huì)發(fā)生變化，即在同一模型（平均分，包含除，下同）中，直觀表征的平均分呈下降趨勢，形式表征的平均分呈上升趨勢，抽象表征的平均分變化不大。教師認(rèn)為我們所提供的由7個(gè)任務(wù)構(gòu)成的學(xué)習(xí)路徑是合理的，符合由易到難的規(guī)律。

【關(guān)鍵詞】教師;分?jǐn)?shù)除法算理;表征方式;學(xué)習(xí)路徑

一、引言

運(yùn)算能力是一項(xiàng)重要的素養(yǎng)。王光明等指出：運(yùn)算正確、合理是運(yùn)算能力的主要特征，理解算理是學(xué)生正確地、迅速地運(yùn)算的基礎(chǔ)[1]。因此，運(yùn)算能力，不僅包括能正確地運(yùn)算，更包括理解算理[2]。

分?jǐn)?shù)知識(shí)是小學(xué)數(shù)學(xué)中很重要的內(nèi)容，“分?jǐn)?shù)除法”又是分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)的重中之重[3]。對(duì)于分?jǐn)?shù)除法而言，掌握法則很容易，而理解算理比較困難[4]。H·Wu指出，教師在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法教學(xué)時(shí)往往要求學(xué)生記住“顛倒相乘”的運(yùn)算法則，這種忽視數(shù)學(xué)基本原則的教學(xué)使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變成死記硬背的學(xué)習(xí)，失去它原有的意義[5]。這導(dǎo)致有些學(xué)生在進(jìn)行分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算時(shí)，出現(xiàn)把被除數(shù)的分子分母顛倒再與除數(shù)相乘的錯(cuò)誤，這是學(xué)生沒有理解分?jǐn)?shù)除法算理導(dǎo)致的[6]。

因而，如何使學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上，掌握法則，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)“算理貫通、理法融合”，是一項(xiàng)重要的研究課題。這就需要我們提供適合的表征分?jǐn)?shù)除法算理的方式，設(shè)計(jì)合理的學(xué)習(xí)任務(wù)序列（即學(xué)習(xí)路徑）[7][8]，以幫助學(xué)生理解算理，提升運(yùn)算能力。鞏子坤團(tuán)隊(duì)通過行動(dòng)研究法，得到了有利于學(xué)生理解算理的學(xué)習(xí)路徑，包括：分?jǐn)?shù)除以整數(shù)[9];一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù) [10] 。

另外，研究顯示：表征是判斷學(xué)生對(duì)某個(gè)數(shù)學(xué)概念是否理解的重要證據(jù)[11]。理解分?jǐn)?shù)除法算理，也就是能用多種表征方式來解釋和說明運(yùn)算法則的合理性。鞏子坤等的研究表明，有四種表征方式（程序表征、直觀表征、抽象表征、形式表征）[12][13][14]。本研究主要選擇后三種。

我們常常說“以學(xué)定教”，就是說，要從學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)與認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā)，設(shè)計(jì)合理的任務(wù)序列即學(xué)習(xí)路徑，采用合適的表征方式。對(duì)于分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)亦然。因此，借鑒鞏子坤團(tuán)隊(duì)設(shè)計(jì)的問卷，從教師的視角，探查在教師的心目中：（1）學(xué)生易于理解的表征分?jǐn)?shù)除法算理的方式是什么？隨著任務(wù)難度的變化，這些表征方式變化的趨勢是什么？（2）合理的學(xué)習(xí)路徑是什么？

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

選擇來自四所不同學(xué)校的44名教師，其中男教師17名，女教師27名;23名教師教過分?jǐn)?shù)除法，21名教師沒有教過分?jǐn)?shù)除法。教齡在0-5年的教師10名，在6-10年的8名，在11-15年的4名，在16-20年的12名，20年以上的10名。

（二）問卷編制

問卷由兩部分構(gòu)成，第一部分是選擇題，一共7個(gè)任務(wù)。任務(wù)1到任務(wù)3為分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，采用平均分模型，即分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（被除數(shù)的分子能夠被整除），單位分?jǐn)?shù)除以整數(shù)，分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（被除數(shù)的分子不能被整除）;任務(wù)4到任務(wù)7為一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，采用包含除模型（任務(wù)4到任務(wù)6為整數(shù)除以分?jǐn)?shù)，分別為1除以單位分?jǐn)?shù)、1除以非單位分?jǐn)?shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù);任務(wù)7為分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)）。每個(gè)任務(wù)有三個(gè)選項(xiàng)，分別是直觀表征、抽象表征和形式表征，請(qǐng)教師選擇最容易理解、比較容易理解和最不容易理解的表征方式，并要求說明選擇時(shí)的理由。

任務(wù)1至任務(wù)7分別為：[23]÷2，[12]÷3，[23÷5]，1÷[13]，1÷[23]，3÷[23]，[45]÷[23]（省略了情境）。

以任務(wù)5為例，玻璃杯的容量是[23l]。現(xiàn)有[1l]牛奶，可以倒入多少玻璃杯？

（1）直觀表征。

圖1? ?直觀表征示意圖

由圖1可以看出： [1÷23=32（杯）]。

（2）抽象表征。

玻璃杯的容量是[23][l]，1[l]牛奶里有多少[23l]呢？

1[l]牛奶里有1個(gè)[23l];還剩[13l]。

[23l]可以裝1杯;剩下的[13l]，是[23l]的一半即[12]，所以可以裝[12杯]。

所以，1[l]牛奶可以裝[1+12=32（杯）]。

所以，[1÷23=32（杯）]。

（3）形式表征。

[1÷23=（1×32）÷（23×32）=（1×32）÷1=1×32=32（杯）]。

問卷第二部分請(qǐng)教師選擇問卷中呈現(xiàn)的分?jǐn)?shù)除法的學(xué)習(xí)路徑是否合理，若不合理，請(qǐng)?zhí)峁┬碌娜蝿?wù)序列。

（三）研究方法

問卷法和訪談法相結(jié)合。在教師完成問卷之后，通過訪談進(jìn)一步了解教師選擇各種表征方式的理由以及對(duì)問卷提供的學(xué)習(xí)路徑的看法。

對(duì)教師的選擇進(jìn)行賦分，最容易理解的表征方式賦為3分，比較容易理解的賦為2分，最不容易理解的賦為1分。對(duì)教師的選擇理由進(jìn)行分類編碼，如表1所示，2-2表示教師認(rèn)為提供的表征方式比較復(fù)雜，學(xué)生不容易理解。

表1? ?理由分類表

[分類 定義 1學(xué)生 1直觀程度 1直觀 表征方式的直觀或抽象程度 2抽象 2知識(shí)遷移 已有知識(shí)的影響，如學(xué)校學(xué)到的知識(shí)及生活中獲得的經(jīng)驗(yàn)等 3知識(shí)應(yīng)用 對(duì)商不變性質(zhì)等知識(shí)的直接應(yīng)用，如模仿或直接代入計(jì)算 2任務(wù) 1簡潔 問卷呈現(xiàn)的不同表征方式的復(fù)雜程度 2煩瑣 ]

對(duì)各個(gè)變量的測量指標(biāo)進(jìn)行信度分析，直觀、抽象、形式表征的cronbach's α系數(shù)分別為0.735、0.778、0.785，均大于0.7，問卷具有較好的內(nèi)部一致性。

三、研究結(jié)果

（一）三種表征方式

1. 三種表征方式的得分情況

對(duì)教師選擇的三種表征的平均分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)（見圖2），發(fā)現(xiàn)教師選擇的直觀表征的得分最高，抽象表征其次，形式表征得分最低。說明教師認(rèn)為直觀表征對(duì)學(xué)生來說最容易理解，抽象表征比較容易理解，形式表征最不容易理解。

圖2? ?三種表征平均分統(tǒng)計(jì)圖

2.三種表征方式的水平

為了分析教師選擇的三種表征的差異性情況，通過傅萊德曼（Friedman）檢驗(yàn)分析表征的水平，結(jié)果顯示三種表征得分具有顯著性差異[X2（2）=10.686，p<.05]。成對(duì)比較分析顯示，教師選擇直觀表征和抽象表征（[p=0.236]），抽象表征和形式表征（[p=0.450]）均不存在顯著性差異，即直觀表征和抽象表征、抽象表征和形式表征分別在同一個(gè)水平;直觀表征和形式表征（[p<.05]）存在顯著性差異，即直觀表征和形式表征不在同一個(gè)水平。

由此可見，教師認(rèn)為對(duì)學(xué)生而言，直觀表征與形式表征水平相差較大，直觀表征與抽象表征、抽象表征與形式表征差距較小。形式表征得分最低，說明形式表征最不容易理解。因此，總體來看，形式表征處于最高理解水平，抽象表征在中等水平，直觀表征處于最低理解水平。

（二）不同任務(wù)的三種表征方式

1. 不同任務(wù)三種表征方式的得分情況

計(jì)算每個(gè)任務(wù)下直觀表征、抽象表征、形式表征三種表征的平均分（見圖3）。可以看出，在同一模型中，直觀表征的得分呈下降的趨勢，形式表征的得分呈上升的趨勢，而抽象表征的得分一直處于比較平穩(wěn)的狀態(tài)。說明同一模型中，隨著任務(wù)難度增加，教師選擇的最容易理解的表征方式由直觀表征漸漸轉(zhuǎn)向形式表征。

圖3? ?不同任務(wù)三種表征方式的得分情況統(tǒng)計(jì)圖

2. 不同任務(wù)三種表征方式的水平

通過傅萊德曼（Friedman）檢驗(yàn)分析每個(gè)任務(wù)下教師三種表征水平的差異性情況，結(jié)果顯示，任務(wù)1-4和任務(wù)7下教師選擇三種表征得分具有顯著性差異[任務(wù)1、2、3、4、7的[X2（2）]值分別為：[44.909，][24.045，6.045，31.955，10.686] ，所有[p<.05]]。任務(wù)5和任務(wù)6，結(jié)果顯示保留原假設(shè)，表明對(duì)于這兩個(gè)任務(wù)，教師選擇的三種表征都在同一個(gè)水平。

成對(duì)比較分析顯示，任務(wù)2和任務(wù)4，三種表征兩兩均不在同一個(gè)水平（所有[p<.05]）。任務(wù)1，抽象表征和形式表征（[p=0.057]）在同一個(gè)水平，直觀表征和抽象表征、形式表征（[p<.05]）均不在同一個(gè)水平。任務(wù)3，直觀表征和抽象表征（[p=0.497]）在同一個(gè)水平，形式表征和直觀表征、抽象表征（[p<.05]）均不在同一個(gè)水平。任務(wù)7，直觀表征和抽象表征（[p=0.859]）在同一個(gè)水平，形式表征和直觀表征、抽象表征（[p<.05]）均不在同一個(gè)水平。

綜上，從任務(wù)1到任務(wù)3，表征水平由直觀表征與另兩種表征均不在同一個(gè)水平，轉(zhuǎn)變?yōu)橹庇^表征與抽象表征在同一水平。說明隨著任務(wù)越來越難，三種表征之間水平差距逐漸減小。從任務(wù)4到任務(wù)7同樣如此。任務(wù)7，形式表征已經(jīng)處于最低理解水平，說明隨著難度增加，教師認(rèn)為形式表征更利于學(xué)生理解。

3. 學(xué)習(xí)路徑

被調(diào)查的44名教師中，有43名教師認(rèn)為可以按照任務(wù)1-7的順序進(jìn)行教學(xué)，只有一位教師認(rèn)為不可以，但卻沒有提供新的順序。有9名教師提供了簡化方案。教師提供的簡化方案大致是任務(wù)1、任務(wù)3、任務(wù)4、任務(wù)6、任務(wù)7的順序，也是按照分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的順序進(jìn)行編排。

四、討論與分析

（一）最容易與最不容易理解的表征方式

以下對(duì)教師選擇三種表征時(shí)給出的理由類型進(jìn)行分析。將每種理由被提供的次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，如圖4。

圖4? ?三種表征理由分布圖

可以發(fā)現(xiàn)大多數(shù)教師選擇直觀表征是因?yàn)楫媹D比較直觀，清晰明了。選擇抽象表征是因?yàn)檎Z言解釋是學(xué)生經(jīng)常接觸到的，利于知識(shí)遷移。選擇形式表征是因?yàn)樯滩蛔円?guī)律直接應(yīng)用比較方便，并且一部分教師認(rèn)為形式表征比較抽象，所以相對(duì)直觀表征和抽象表征，形式表征比較困難。

（二）不同任務(wù)表征方式的變化趨勢

隨著任務(wù)的變化，直觀表征的得分越來越低。為深入了解教師選擇的理由，選取一位教師的訪談內(nèi)容，如下（T1表示訪談?wù)?，T2表示被訪談教師）：

T1：對(duì)于任務(wù)5：[1÷23]，你說1除以一個(gè)非單位分?jǐn)?shù)雖然直觀，但不是整數(shù)倍，所以有困難。這是指什么？

T2：反應(yīng)快的學(xué)生，會(huì)認(rèn)識(shí)到這個(gè)[13]正好是半杯，但是反應(yīng)慢的就不知道[13]l到底是多少杯。實(shí)際上要用[13÷23]，因?yàn)橐槐荹23]l，[13]l是[23]的一半。這個(gè)圖讓他自己畫的話，就困難，這時(shí)用圖反倒不好理解。

從上述訪談中，可以發(fā)現(xiàn)對(duì)于分?jǐn)?shù)除以整數(shù)的任務(wù)，當(dāng)被除數(shù)的分子不能被整數(shù)整除時(shí)，圖形并不好畫。直觀表征雖然能夠清晰地看出問題的答案，但有時(shí)在操作過程中難以實(shí)施。

抽象表征得分一直變化不大。教師選擇抽象表征是因?yàn)檎Z言解釋是一種常見的方式，所以抽象表征的得分并不會(huì)隨任務(wù)難度不同而發(fā)生明顯波動(dòng)。

形式表征得分在同一模型中的得分越來越高。教師認(rèn)為在前面任務(wù)中有所鋪墊了，那么商不變規(guī)律符合學(xué)生知識(shí)遷移的思維習(xí)慣，更容易理解。所以在后面的任務(wù)中才會(huì)逐漸選擇形式表征，如下面這段訪談?dòng)涗洝?/p>

T2：我覺得這三種方法運(yùn)用于商不變性質(zhì)一看就知道。因?yàn)槲沂谴蛲▉砜紤]的，從任務(wù)1開始為商不變性質(zhì)做了鋪墊，所以說到任務(wù)5的時(shí)候再用商不變規(guī)律就很自然了。

可見形式表征作為一種理解算理的方法，是在學(xué)生具備了一定的認(rèn)知基礎(chǔ)后，才比較容易被接受。所以教師在前幾個(gè)任務(wù)中并沒有傾向于選擇形式表征。

（三）學(xué)習(xí)路徑

教師基本認(rèn)為可以按照分?jǐn)?shù)除以整數(shù)、整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的順序進(jìn)行教學(xué)。教師認(rèn)為這是“從易到難的順序”“7個(gè)任務(wù)的設(shè)計(jì)比較完善”。學(xué)生學(xué)過整數(shù)除以整數(shù)，對(duì)除法的理解就是平均分，因此從分?jǐn)?shù)除以整數(shù)可以理解為將分?jǐn)?shù)平均分開始，再到整數(shù)除以分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律。

五、結(jié)論與建議

（一）結(jié)論

（1）教師對(duì)三種表征方式的選擇變化分成兩段，呈類似趨勢。

在同一模型中，隨著任務(wù)難度增加，直觀表征的平均得分呈下降趨勢，形式表征逐漸上升，抽象表征變化不大。教師選擇的最容易理解的表征方式從直觀表征轉(zhuǎn)向形式表征。

（2）教師選擇的最容易理解的表征方式隨著任務(wù)不同有所不同。

任務(wù)1到任務(wù)4，教師選擇的最容易理解的表征方式是直觀表征。從任務(wù)5開始漸漸認(rèn)為形式表征比較容易理解，到任務(wù)7認(rèn)為形式表征最容易理解。所以對(duì)于分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)，并不能選擇一種表征方式一以貫之。

（3）7個(gè)任務(wù)構(gòu)成的學(xué)習(xí)路徑有其合理性。

任務(wù)1-7的教學(xué)順序?qū)⒔虒W(xué)難點(diǎn)，即分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行了合理拆分，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)除法的各種情況進(jìn)行逐一分析、總結(jié)、探究，從而降低教學(xué)難度，有利于學(xué)生的理解。

（二）建議

問卷中提供的任務(wù)序列得到了44位被試者的一致認(rèn)可，說明該任務(wù)序列是可行的。而對(duì)于不同的任務(wù)，可以選擇不同的表征方式進(jìn)行教學(xué)。

任務(wù)1到任務(wù)4中，直觀表征和抽象表征得分高于形式表征;建議教師對(duì)于完成這些任務(wù)，首選直觀表征，其次選擇抽象表征。

任務(wù)5和任務(wù)6中，直觀表征得分最高;任務(wù)5形式表征的得分超越抽象表征。建議教師此時(shí)開始鋪墊商不變規(guī)律，即任務(wù)5和任務(wù)6選擇直觀表征，輔之以形式表征解釋算理。

任務(wù)7，屬于分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)，是7個(gè)任務(wù)中難度最大的。形式表征得分最高。建議教師首選形式表征，輔之以抽象表征解釋算理。

參考文獻(xiàn)：

[1]王光明，范文貴.《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》解析與教學(xué)指導(dǎo)叢書[·]新版課程標(biāo)準(zhǔn)解析與教學(xué)指導(dǎo)（小學(xué)數(shù)學(xué)）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3]葛敏輝. 理解視域下“分?jǐn)?shù)除法”計(jì)算教學(xué)認(rèn)知起點(diǎn)的調(diào)查分析[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教師， 2018（3）.

[4]徐斌. 形象支撐 溝通聯(lián)系 理解本質(zhì)——六年級(jí)上冊(cè)“分?jǐn)?shù)除法”教材解析與教學(xué)建議[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2015（Z4）：53-56.

[5]H.Wu.The Mis-Education of Mathematics Teachers[J].Notices of the AMS， 2011，Volume 58（3）：372-384.

[6]鞏子坤. 有理數(shù)運(yùn)算的理解水平及其教與學(xué)的策略研究[D].重慶：西南大學(xué)，2006.

[7] Andreas Schulz，Timo Leuders. Learning trajectories towards strategy proficiency in multi-digit division – A latent transition analysis of strategy and error profiles[J]. Learning and Individual Differences，2018.

[8]Hui Jin，Jamie N. Mikeska，Hayat Hokayem，Elia Mavronikolas. Toward coherence in curriculum， instruction， and assessment： A review of learning progression literature[J]. Science Education，2019，103（5）.

[9]鞏子坤，盧子苓，靳培英，等.分?jǐn)?shù)除以整數(shù)學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的實(shí)證研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2019（2）：75-81.

[10]李津. 基于學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].杭州：杭州師范大學(xué)，2016.

[11]原登慧，李俊.理解遠(yuǎn)不止于會(huì)計(jì)算[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（1）：55-57.

[12]鞏子坤.理解視閾下的分?jǐn)?shù)除法課程目標(biāo)的實(shí)證研究[J].教育探索，2010（1）：70-73.

[13]鞏子坤.“小數(shù)乘法運(yùn)算”課程目標(biāo)：基于學(xué)生的理解水平[A]. 全國數(shù)學(xué)教育研究會(huì)，2010：9.

[14]鞏子坤.學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)乘法的基礎(chǔ)研究[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2017（10）：66-71.

（杭州師范大學(xué)理學(xué)院? ?311121

杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教師教育學(xué)院? ?311121）