深遠空連續(xù)推進動力與施圖林格解的解析

欒恩杰

（國家國防科技工業(yè)局，北京 100048 ）

我在有關的文章中曾經(jīng)提過將深空探測的動力系統(tǒng)作為一個獨立分支進行研究的意見。此文在討論有關的問題時，將采用國際宇航科學院（International Academy of Astronautics，IAA）的“星際科學先導任務項目（Interstellar Precursor Mission，IPM）”[1]的有關內容。因為我覺得“IPM”所涉及的概念相當豐富，對我們的深空探測活動具有很重要的啟示。

1 深遠空探測任務的推進動力應作為空間動力的一個獨立的門類

在確定“深遠空”（Very Far，VF，或者稱其為遠深空）天界時，最近有一些報道將太陽風層頂（100 AU）以外的空間環(huán)境作為星際太空的起端（Heliopause）。并以此表述為飛出太陽系的邊緣。我認為在確立太陽系的邊緣處時，可以延續(xù)在太陽系中太陽—地球、地球—月球間及行星間影響球的概念，比如在地球表面的物體受到地球的引力比太陽對其的引力要大1 600多倍，實際上在距離10倍地球半徑時，其引力只有地球表面的1%。也即處于影響球之內時，只考慮一個主天體的作用，不會影響我們的分析和判斷。按這個意見，我們太陽系與比鄰星系則是兩個相距約2.7×105AU的主天體，在研究我們太陽系的行星運動時，并不必要加入比鄰星的作用，從這個意義上說是否可以按影響球概念定義太陽系的天界。簡單而言之，如果比鄰星的質量與太陽系相同，，其影響球處于2.7×105AU，其一半的距離也在10萬AU，所以有學者認為太陽系的邊緣在10萬AU以上，即使有50 km/s的飛船，飛到這個距離也要1 200多年（），如果我們以這個目標作為現(xiàn)在的人類要實現(xiàn)的目標的話，由于其距離太過遙遠，所需行進時間太過漫長，將使我們望而卻步，起不到任何激勵作用，在太陽系遠深距離（very far space destination）的定義中將科學目標和技術目標綜合考慮，將技術型任務和科學型任務結合起來判斷。IAA的IPM將太陽系的邊界設定在80～100 AU處，也是有一定道理的。在未來先進的深空動力系統(tǒng)得以實現(xiàn)突破，使飛行器飛行速度達到100 km/s以上時，實現(xiàn)500 AU距離的任務也是具有實踐推動性和未來挑戰(zhàn)性的。

在深遠空的行動中，人類將面臨諸多從未遇到過的，或者說很少思索的問題。

首當其沖是深遠空推進動力問題，它和超遠的飛行距離緊密相關?；瘜W推進劑的極限能量是mc2，所以單位質量的極限能量為(3×105×103m/s)2=9×1016J/kg，目前可能達到的單位質量提供的能量在(0.8～1.25)×107J/kg水平，它的噴射速度ve在4～5 km/s左右。這對超遠距離飛行任務所需的時間而言，將是難以承受的，若在三級Mp/M0=0.9的條件下，其終速uτ=3×5×ln(1/0.1)，即34.5 km/s，以這個速度漫游到太陽風層頂（100 AU）處也需13.8年，若要到太陽引力透鏡焦點（500 AU ）則需70年。到達奧爾特云104AU處則要1 380年。如果想在20年內達到500 AU，那航天器飛行速度要達到120 km/s。

若在近地軌道處逃離地球引力，其速度增量是第二宇宙速度與第一宇宙速度之差（VII-VI），即12～8 km/s，?V=4 km/s。它是化學推進劑的噴射速度能夠達到的。

怎樣才能既加快飛行速度，且能消耗更少的質量呢？顯然不能利用火箭的短時間加速（有的書稱為脈沖加速）、以霍曼軌道方式奔向目標，所以IAA的IPM所重點關注的是采用穩(wěn)定、長時間工作的高比沖推力系統(tǒng)，使其達到足夠大的速度增量，以便使任務在可以接受的時間內完成。這種穩(wěn)定、長時間工作的高比沖推力系統(tǒng)，即是我們要重視開發(fā)的深空遠程的推力系統(tǒng)。

從目前掌握的技術來看，有兩種推進系統(tǒng)得到了廣泛重點關注。一個是通過太陽輻射直接驅動的太陽帆推進，這是一種利用航天器所處位置的太空資源，稱為原位資源（Insitu Resource）。這類資源中的主恒星輻射因其與距離的平方呈衰減而變小，但在更遠的將來能否實現(xiàn)星際沖壓噴氣發(fā)動機（Interstellar Ramjet），以就地獲取星際質子（H+），目前仍是一種科幻。另一個是電推進（Electric Thrusters，ET），以采集主恒星光能的光伏電池或航天器自帶的核電反應堆（Nuclear Electric Propulsion，NEP）作為推力的動力，電推進的比沖比化學推進要高得多，目前我們已經(jīng)做到高于液體火箭發(fā)動機（LRE）的10倍以上，其噴射速度（vc）達到40 km/s。

在IAA的“IPM”一書中第4章提到用電力實現(xiàn)太空旅行的概念可能是由施圖林格在二戰(zhàn)期間提出來的（Possibly the first suggestion to apply electric power to space travel was by Stuhlinger during WWⅡ.）。在書中的參考文獻中，只引用了一篇施圖林格（Stuhlinger）的文章，是1964年的《太空飛行的離子推進》[2]他所以提出電推力主要原因是這種推力系統(tǒng)可以獲得比化學能高得多的比沖，他認為核電可以為其提供動力源。

如果說愛因斯坦的質—能關系表示小質量轉化成巨能量，那么利用電推進就是以高噴射速度得到小質量下的大比沖。

2 施圖林格解的解析

施圖林格給出了一個連續(xù)常值推力的方法，也即飛行器所受到的推力不是常規(guī)化學推進劑的短時間加速過程，關機后它將按圓錐曲線軌道運行。用我們習慣的說法，深遠空常值推進系統(tǒng)是長時間處于主動段飛行的飛行器。正是在這個設定下，施圖林格開發(fā)了加速度（速度增量）為常值條件下的方法。有關加速度為常值情況的全面分析，還有待進一步研究，所以它只是一個原始的方法。

IAA的IPM給出了這個解的結論。我這里的主要內容是將書中沒有表征的過程和推演過程中涉及的一些概念和方法做一個解析，解析過程中是否存在不準確之處，還請有關學者指正。

2.1 施圖林格方法的原始出發(fā)點是齊奧爾科夫斯基定律。

式中的符號采用IPM文章的寫法：uτ為時間τ時的航天器速度，v為航天器推進系統(tǒng)的排氣速度，M0為航天器總質量，也即

若令M0=Mρ+Mw+ML， 其中Mρ為推進劑質量，Mw為推進系統(tǒng)的干重（不計推進劑系統(tǒng)質量），ML為有效載荷質量（是任務需要的有效部分），

有Mρ=M0-(Mw+ML)，

代入式（1）則

施圖林格解表征的是任務的“有效載荷”比ML/M0，所以我們要將Mw表征為與M0有關的方式。為此定義了推力系統(tǒng)的“功率密度”概念。α為功率密度。

令α≡(功率P)/Mw，

理想狀態(tài)下，推進系統(tǒng)的噴出速度v等于其比沖（Isp），比沖單位為“推力/單位時間消耗推進劑的質量”，m/s。

在α的定義中，功率P應是推進系統(tǒng)在恒定加速度下所貢獻的能量。如果我們是在τ時間內穩(wěn)定地以v速噴出Mρ的推進劑，則其功率P為

所以，α的定義表達式為

將式（3）代入Mρ=M0-(Mw+ML)式中

將其代入式（1），有

有

此式即稱為施圖林格解（Stuhlinger's Salution）。

下面討論一下這個解：

1）施圖格林解給出的是有效載荷比ML/M0與最終速度uτ、噴出速度v及推進劑工作時間τ和推進系統(tǒng)功率密度α這四個參數(shù)的關系。

2）它的分析基礎是齊奧爾科夫斯基定律，從此定律出發(fā)，可以推演出我們工程所需的各參數(shù)之間的關系與規(guī)律。這個解的核心思路是獨立出一個“功率密度α”的參數(shù)。

3）在下面的解析里，將根據(jù)不同的需要形成ML/M0，uτ，τ，及功率P之間的關系表達式。

2.2 距離增量Sτ的精確表達式

在IPM任務中，有關內容反映在4.4節(jié)，題目是通用“精確”解（General ‘Exact'Solution）。這里將從前面導出的施圖林格解出發(fā)，由速度增量?uτ，導出距離增量Sτ。

仍然假定推進劑噴射速度v是平穩(wěn)的常值（也即比沖不變），且推進劑的秒耗量也是平穩(wěn)的。那么推進劑在t時刻的消耗量為

將它代入式（1），有

即

此處的目的是求解Sτ和ML/M0的關系，則應將Sτ的表達式中Mρ/M0轉化成ML/M0。為此仍需用到施圖林格解的參數(shù)定義。將式（4）代入式（6）有

有

2.2.1 小 結

2）功率密度α值隨不同的推進系統(tǒng)而有很大的變化，施圖林格主要是針對核電推進作為背景，對核電推進而言，它可能達到（MW/kg）級，如果在一年的任務中2ατ可以達到1013量級，即

vc達 到107m/s量級。

在這樣的vc下 ，除非v（比沖Isp）與其相近，否則式（5）的第二項是可以忽略的，也即式（5）變成

式（8）即為所有化學推進系統(tǒng)的情況，也即式（8）是式（5）的收斂值。

實際上，在α值的定義中，只是推進系統(tǒng)本身的結構質量Mw比值，如果將所有非有效載荷部分的質量一并考慮在Mw里時α值還是較小的。據(jù)IPM任務描述，核電推進系統(tǒng)α值的保守估計約為0.01～0.02 kw/kg（即為10～20 m2/s3）。美國國家航空航天局（NASA）使用太陽能電池板驅動的太陽能技術的驗證試用發(fā)動機（NSTAR）的α=0.17～0.25 m2/s3。

3）對式（5）進行歸一化處理，并將uτ和作為參數(shù)。表達ML/M0與比沖的關系:

2.3 施圖林格解的應用

在IPM任務中，將有效載荷比ML/M0、最終速度uτ、比沖v（Isp）、推進系統(tǒng)任務時間τ、發(fā)動機特征速度vc、功率P及功率密度、深遠空目標距離Sτ作為研究分析的關鍵參數(shù)，并分析其相應的規(guī)律，我認為弄清楚這些概念是非常重要的。在這個領域，美、蘇（俄）自1950年代以來，積累了大量的研究成果。而弄清楚這些參數(shù)之間的關系，則是這些知識的重要部分。

在上述七個參數(shù)之中，特征速度vc與α和τ相關，而α又與P相關。所以在f(ML/M0)=0的“精確”解里，只含有Sτ，v，τ，α及ML/M0這5個物理量。為描述其中2個量之間的關系，必須將其它的3個變量作為參數(shù)（Parameter），在這3個參數(shù)取值的條件下，得到所需研究的其它兩個變量之關系。

在IPM任務中，將Sτ=73 AU 及520 AU ；α=0.1及0.4；τ=5～28年；作為參數(shù)，求出ML/M0與v(Isp)之間的變化規(guī)律。

f(ML/M0)=0是非線性的方程，可通過迭代方式求解，我將這一過程中的概念說明如下：

首先，將(Sτ-vτ)從方程中移出，然后用vτ除兩邊得到

這是任務距離、任務時間及發(fā)動機比沖的邊際條件，如果出現(xiàn)vτ≤Sτ，則表明發(fā)動機以v的比沖在任務要求的時間τ內到達不了Sτ的距離，也即其載荷比已經(jīng)不可能存在。從表達式中也可看出，是不會小于零的，只有對數(shù)項內為1時，也即時才有的情況。據(jù)此，我們可以稱（）為任務能力被截止的極點（定義為截比J）。而定義為特征值。

例如：求在Sτ=73 AU ，τ=8年的任務要求時，設α=0.1 kw/kg，比沖v=100 km/s的載荷比ML/M0。

首先計算截比值

有了截比J=0.565，則可以迭代求解

式中

則

代入上式

經(jīng)迭代有ML/M0=0.22時左式值為0.564，誤差值在0.001位上可以接受這個結果。

1）當比沖為150 km/s時

說明從v=100 km/s提高到v=150 km/s時，ML/M0是上升的。

說明從v=150 km/s到v=250 km/s ，ML/M0沒有提升。在此段比沖的影響不大。

3）再取v=300 km/s時

說明從v=250 km/s 到v=300 km/s ，ML/M0是下降的。

它表明在v=150 km/s到v=250 km/s之間有一個ML/M0的極值點。

4）如果我們取v=200 km/s時

可以從這個例子中看到在8年左右的旅行時間情況下，確實存在一個比沖值，使達到最大。

動力飛行時間τ和比沖v是特征值的關鍵參數(shù)，在τ比較?。ū热鐜啄辏r，α值比較重要，也即發(fā)動機的功率密度影響比較大。如果τ比較大（比如20年），則α值的重要性就低得多。我們可以通過兩個例子說明這個結果。

若令τ=8年、Sτ=73 AU 、v=500 km/s， α1=0.1和α2=0.2兩個值時的ML/M0來比較。

此時的特征值

可以看出在τ=8年，時間比較短的條件下，從0.1變化到0.2時，ML/M0從0.035變化到0.43達到12倍。影響是很大的，α對載荷比的作用很大。

若令τ=20年、Sτ仍為73 AU 、v=500 km/s，α1=0.1和α2=0.2時的兩個值時的ML/M0來比較，此時的特征值為

看出在τ = 20年時，α從0.1變化到0.2時，ML/M0從0.8變化到0.865，只變化約8%左右。

所以α的作用在任務時間長的時候，其重要性降低。

2.4 關于任務時間

對于深遠距離的任務，只有采用新型的推進系統(tǒng)，否則難以在可以接受的時間內完成任務。這個可接受的時間“IPM任務”中稱為“人的平均工作年限”（Mean Human Job Time，MHJT）。這個可接受是指一個人，而不是一個團隊，從確定任務到完成任務（接收到第一批數(shù)據(jù)）的時間超出了領導這個項目主要專家的工作年齡，認為是不可接受的，一般可以按20～30年以內為好。

下面分析任務時間與α值和v的關系對深遠空任務的影響，我們以Sτ為73 AU 到730 AU作為例子來研究。

在有載人的深遠空任務中，必須要有較大的載荷比，為此目的，必須有比沖更高的推進系統(tǒng)。

以Sτ=73 AU、v=50 km/s為例，分析任務時間τ與功率密度α的關系。

此時施圖林格解表達式為

令上式的ML/M0為任務需求，作為參數(shù)確定并取0.1值來分析。

將ML/M0=0.1代入上式式中只含α和τ兩個量，以為變量（量綱為kw/kg）迭代求解

在v=50 km/s時，因其比沖比較小，所以特征值L也比較小，為

從α=1～α=104，其L從。

而τ往往是10年左右，則L值在4×10-3～4×10-7，所以，在α＞1時L趨于極小量時特征表達式取飽和值E

即當ML/M0=0.1時，其E的飽和值為0.255 8。

由J=E，知亦近似為常值，

τ的單位是“s”，的單位為“km”，則（年）vτ

ML/M0=0.1，v=50 km/s，α從1～104的范圍內Sτ與τ的對應關系，是將E=0.255 8代入，（年），也即Sτ與τ是線性關系，這就是因為此時特征值L趨于極小。

相應有

即在v=50 km/s，Sτ、ML/M0確定的情況下工作時間τ與α的相關性減弱，幾乎是一條直線。的相關性極大。

這是在v=50 km/s下的情況，如果比沖增加到350km/s時，情況是不一樣的，我們來討論這個情況。

當v=350 km/s時，令ML/M0仍為0.1，Sτ仍為參數(shù)，設Sτ為730 AU （其規(guī)律與73 AU時相同），求任務時間τ與功率密度α的關系。α量綱為kw/kg。

此時截比

特征值

施圖林格解表達式為

令ML/M0的任務需求為0.1時，上式為

式中只含α和τ兩個量，以α為變量迭代求解τ。

表明當α從0.1變化到1時，τ從29.3年降到16.44年。

當α=10時，迭代有τ=13.73年，

當α=100時，經(jīng)迭代得τ=13.346年

也即τ=13.35年。即是我們前面得到的結果，當L≈0時，E為飽和值0.255 8。

所以其曲線是飽和的，但這個飽和值是在α＞100時。

上述解析過程說明，當比沖Isp較小時（如 50 km/s），任務時間τ與功率密度α的關系不大，幾乎是飽和的水平線。它與有效載荷比及任務距離相關。當比沖Isp比較大時（如350 km/s），在α＜1的情況下，τ隨著α的增加而下降；在α＞1的情況下，τ與α的提高無甚大影響，也是一個飽和線。

2.5 關于推力系統(tǒng)的功率與比沖

從式（6）出發(fā)

在實際的系統(tǒng)中，ML/M0＜1是必然的，前面已經(jīng)交待過，且，即，這也是必然的。

在研究功率P與比沖v的關系時，將初始質量M0作為參數(shù)，因功率，

代入式（6）中，

（可稱Q為特征參數(shù)，無量綱）

由J=E可以迭代求出Q，而特征參數(shù)Q里包含有功率P和比沖v，也即在τ和M0為參數(shù)條件下可以得到功率P與比沖v(Isp)的關系。

以Sτ=73 AU、τ=20年、M0=10 kg的任務作為一個例子來求解功率P與比沖v的關系。

首先求截比

（v的單位為km/s）

以v=500、300、150、50四點為變量求解其相應的功率值

則當M0=10 kg，τ=20年時有

將

代入，且以m/s為單位。則

v(500 km)2=(500)2×106m/s

有

當M0變化時，因各參數(shù)皆沒變化，所以功率P與M0成正比增加。

若Sτ仍為73 AU， τ為8年時，

其截比

（v以km/s為單位）

仍將M0作為參數(shù)，計算P與v的關系。

令M0值為10 kg時

截比J=

將v=500、300、150及50 km/s代入，有

表1Table 1 The relationship between the intercept ratio J and the specific impulse v

表1Table 1 The relationship between the intercept ratio J and the specific impulse v

?vJ 項目0.59 01 0 3 10.38 05 0 5 2數(shù)據(jù)0.17 51 0 0 30.1 530 1 1

由式（11）

（此處v以m/s 為單位：計算P時v以m/s單位計算，即為(v×103)2=v2×106，所以P的單位是（w））

同樣由于P與M0成正比關系，所以隨M0的增加，P呈等比上升的趨勢。

下面討論一下Sτ為540 AU 、τ為24年時的情況（M0仍為10 kg）：

在τ=24年的任務要求時

說明在比沖小于107 km/s，是無法到達任務距離的。所以在小于100 km/s以下，不應有數(shù)據(jù)，也即這樣的條件下在24年內是達不到的。

我們以τ=24年，M0=10 kg為參數(shù)，v仍取500、300、150及50 km/s為變量，此時的截比

（此處v以km/s為單位）

則有

出現(xiàn)J50＜0，不在任務可行范疇（截比小于0，任務被截止）。

（此處v以m/s為 單位，即v2表示為(v×103)2=v2×106）

有

同理它隨M0的增加量比例提高。

2.6 關于最終速度uτ與比沖的關系。

由式（5）可得

可知

這里面含有v、ML/M0、α、τ和uτ這5個變量，此處要求的是uτ與v之間的關系。

為此我們將α、τ作為參數(shù)，而將其Sτ、α、τ條件下的ML/M0作為中間待求量，則可得到在這些約束下的最終速度uτ與比沖v(Isp)的關系。

在這個例子中，特征值為

在Sτ任務距離要求下，由式（9）可以求出對應的ML/M0。

當v=150 km/s時

由式（9）對應的ML/M0=0.31，代入式（14），得uτ=-150[ln(0.446 4+0.31)-ln(1+0.446 4)]=97.2 km/s，同樣的過程可得表2數(shù)據(jù)。

表2 式(14)中的UτTable 2 Uτ in formula (14)

由v=150 km/s到v=500 km/s比沖下的Sτ=73 AU、τ=8年、α=0.1 kw/kg約束的最終速度uτ曲線可參考文獻[1]中的圖4-3。我們從看到，當v從50 km/s到100 km/s增加時，J從0.131變到0.566，變化幅度為0.44左右，但從200 km/s增加到500 km/s時，J從0.782變到0.913，其變化幅值僅為0.13，所以uτ在大于200 km/s之后變化幅值較慢，幾乎是一條直線。

再以τ=28年為例，Sτ仍為73 AU、 α仍為0.1 kw/kg，這時的特征值

當v=50 km/s時

由式（9）對應的ML/M0=0.58，代入式（14），

得uτ=-50[ln(0.014 17+0.58)-ln(1+0.014 17)]=26.73 km/s，按同樣的過程得到表3。

表3 式(14)中UτTable 3 Uτ in formula (14)

這個從50 km/s到500 km/s比沖下的Sτ=73 AU、τ=28年、α=0.1 kw/kg約束的最終速度uτ與v(Isp)的關系即為參考文獻1中的圖4-3的τ=28年的曲線。

這個最終速度的求解問題在齊奧爾科夫斯基公式中已經(jīng)完整表達，這里只是經(jīng)過施圖林格對其中推進系統(tǒng)裝置的功率密度定義后將變形為關于有效載荷比的施圖林格解的形式。

2.7 有關有效載荷比的歸一化解

為了繪制一個統(tǒng)一的圖，將uτ和v都用特征速度進行歸一化處理，即，這種歸一化處理，并不改變ML/M0的值。

以v?為橫坐標、以u?為參數(shù)、以載荷比ML/M0為縱坐標，得到歸一化的表達式。

選取v?為0.01、0.02、0.05、0.2、1和10這6個點及u?=0.01、0.02、0.05、0.1的值求解ML/M0：

可以看出當v?=1時ML/M0比和v?=0.2都要大，也即當比沖v?接近特征速度時，其載荷比近為極大值。

按同樣的過程，求得u?=0.02的載荷比的變化情況，見表4。

表4 式(15)中ML/M0Table 4 ML/M0 in formula (15)

也表明v?1時ML/M0出現(xiàn)極大值。

下面討論當ML/M0趨于極小情況下的u?、v?關系。

因ML/M0取值在（1，0）之間，即不可能沒有有效載荷，也不可能全部都是有效載荷，即0＜ML/M0＜1。

為了繪制ML/M0與v?的關系圖，我們可以將小于0.04作為ML/M0的最小邊值來考慮。

當u?=0.05，v?=0.015時

同樣可求u?為各值下v?值見表5。

在v?＞1時，其ML/M0取下降趨勢，在這一段ML/M0＜0.04時的u?、v?的對應關系計算如下當u?=0.1，v?=9.9時

同樣可得到v?＞1情況下的相應u?見表6。

表6 式(15)，ML/M0 ＜ 0.04、u＊ ＞ 1時，u＊與v＊關系Table 6 The relationship between u＊ and v＊， when ML/M0 ＜0.04, u＊ ＞ 1 in formula (15)

我們這樣一個點一個點的求取，就是為了說明ML/M0存在一個極值點，在v?=1的兩旁有兩個使ML/M0近似趨向于零的v?值。

對于ML/M0在每個u條件下都有一個v使其達到最大值，而這個v近似等于發(fā)動機的特征速度也即當比沖vvc時其載荷比為最大值。這在上述的演算中得到了說明。

在u?（uτ/vc）較大時，其極值表現(xiàn)得較為突出，即兩側的ML/M0與(ML/M0)max的差異比較明顯。在u?＞0.05之后，任務選擇時，對uτ和vc的組合值要慎重設計，否則會因u?越大而ML/M0變小，浪費質量。

此處，vc=Isp（近似值）取極大值是在上述具體數(shù)據(jù)下明顯反映出來的，但我們沒有給出解析式說明，據(jù)“IPM”介紹，這個研究結果出現(xiàn)得比較早，但經(jīng)常被人們遺忘（this result is old and offen forgotten）。

2.8 關于ML=0時的極限速度

在最終速度u的表達式（14）中，其比沖是關鍵的參數(shù)，可以得到它的極值解析式=0。

將其結果推演如下，由式（14）可得

其中

將第二項移到等式另一端則有

此式即為u達到極值的條件，這個結果是Stuhlinger得到的。

將式（16）再代回到式（14），即將式（14）中

用式（16）的右端表達式表示，得到其umax的表達式為

umax是在α和τ作為參數(shù)，而不是作為變量的條件下求得的。

將ML/M0從式（17）中重整有

即

以上表述的就是在最終速度達到umax的時候，發(fā)動機參數(shù)α、比沖v和工作時間τ下的ML/M0的值，即任務的載荷比能力。

對于極端情況，當有效載荷為零的時候，它的最終速度將是個什么情況，也即最極限的狀態(tài)下，ML=0。

這時由式（5）

我們仍對其求導得到極值速度uτmax，

如果umax用表示時（也即比沖是特征速度的0.505倍，使u達到極值時的速度）。

所以uτmax=1.60v是載荷比為0時的極限速度。

上述討論的是當ML→0時的情況，由M0=Mw+ML+Mρ，當ML→0時M0=Mw+Mρ。

這個狀態(tài)的物理描述，就是有效載荷ML已經(jīng)不單獨存在于Mw和Mρ之外。而是納入到之中，也可以說ML不再與Mw分離，它成為動力系統(tǒng)的一部分，它的質量已納入到Mw之中，并反映在發(fā)動機的功率密度α參數(shù)表達里。

這個解釋，用質量定義的表達里就是

至此得到了如下關系：

當ML→0時，有Me=Mw，此時的終速最大值uτmax=1.60v（1.6倍比沖）。

將u=1.60v代入有

上述質量關系是從ML→0時取得的，但其結果是極具價值的，反過來討論，也即在Mρ=0.8M0，或推進劑是干重的4倍左右時火箭的最終速度取極值，其速度可到1.60倍比沖，而此時的比沖值為0.505倍的特征速度。

在uτmax=1.60v中，v是表達在之中的，

其Mρ/MW已經(jīng)上面的運算得到近似為

而在前面式（18）中

將ML→0代入

這兩種方法得到的解中，以1.131 3為精確解，因式（18）是在時得到的，所以1.33則為近似解，相差近17%。

上述結論是圖林格施在1964年給出去的，我感覺他不但給出了結論，而且貢獻了方法。這點對我們的啟發(fā)則更大，這也是我們“工程方法”論研究值得關注的地方。

當將ML的質量納入總干重里時，如果任務要求的ML已經(jīng)確定下來，則要在其它的干重質量上減重，如果發(fā)動機的MW項或火箭其它的質量降不下來，則ML就難以實現(xiàn)了。這是在工程權衡中值得重視的地方。

在齊奧爾科夫斯基公式或施圖林格的變形表達式中，其最終速度uτ只與推進系統(tǒng)的質量相關，所以其它一切概念的引入實質上都是質量關系的變形。

也即(V?)2的物理定義是推進系統(tǒng)干重與推進劑質量之比的物理量。

當v?增加時，表明的相對量在增加，而推進劑Mρ的量相對在減少，所以在獲得一定的速度uτ下其載荷比要下降。這點在前面分析的趨勢中v?＞1之后的下降段可以明確地看到。

一個發(fā)動機的α值和τ是相關的，也即它與任務時間要求相關，這點我們要進一步討論。

我們驗證一下ν?=1、u?=0.2時的載荷比ML/M0為0.637（參見式（15））。因為我們所講的v?為，則通過施圖林格的解得到的和通過齊氏公式得到的結果必然是一致的。

∴u?=0.2

這兩者的結果是相同的。

3 深空探測的軌道轉移方式

行星際飛行的基本條件是飛出地球，然后才能討論飛往其它行星。所謂飛出地球，從動力學而言，就是地球的引力勢已經(jīng)近乎為零。

當飛行器的主動力工作結束，它只受空間某個主星體作用時，其“推引比ρ”為零，ρ≡a(t)/g(R(t))。

其中，a(t)表示非引力作用引起的加速度，在光帆作為推力器時它就是光壓產生的加速度，此時也稱ρ為“壓引比”（Lightness Number），在IPM任務的中譯本中稱為“明度”。

g(R(t))是空間中存在的星體對飛行器產生的引力加速度。

所以我將其形象地稱為推力和引力之比。在只有g(R(t))的作用下，它的運動規(guī)律完全附合我們在地球引力場中所研究的結果：

式中ri、 θ為軌道極坐標參數(shù)的矢徑和近點角；μ為主星的引力常數(shù)；rp、e是軌道的形狀、近拱點和偏心率；h為角動量（E為“比機械能”，即單位質量具有的能量）。

因能量是守恒的，在軌道動力學分析時，往往選擇特征點（如rp、ra兩點）來分析是方便的。

這個表達式對任何主星情況下都是適用的，只是改變其引力常數(shù)μ。

當e=1時，能量E=0

ri、Vi都隨著θ角的變化而改變著，而（1+ecosθ）項將從“2”變?yōu)椤?”，其r將趨于無窮，軌道是隨著θ的增加而越來越遠的拋物線。

由E=0有

這個近地點的速度Vp就是r可以趨于無窮的軌道速度，在深空探測中它可以完成向遠程空間輸送航天器脫離主星引力的基本任務。但由于此時的能量已經(jīng)為零，所以它沒有剩余能量飛向深遠太空，我們稱這個速度為逃逸速度。對深遠太空而言它可以完成逃逸任務。

在e＞1時，能量E＞0

所以，不會出現(xiàn)θ=180°的狀態(tài)，這是一條開放的雙曲線。在直角坐標系描述下，此點是以縱軸為對稱的一實一虛兩條對稱曲線，其中一條是不實現(xiàn)的，只是實軌道的一個影像。但在計算雙曲線的半長軸時，我們還要用到這個概念（虛的遠地點）。講到這里我想加一句文外之話，在軌道動力學的研究中，其軌道的幾何特征表現(xiàn)得很充分且有神來之意，所以我曾講過，我們應當有一章專門講講“軌道的幾何學”。

雙曲線的奇點出現(xiàn)在(1+ecosθ)=0處，這時的θ=arccos(-1/e)，記作θ∞，它是在r→∞時的近點角。

由于θ是在0°～180°之間，所以有在雙曲線幾何里稱θ∞為漸近線近點角，也稱δ=2θ∞-180°為兩漸近線的轉向角。

因E＞0，航天器的總能量大于主星引力勢且有剩余能量，靠其剩余能量可以飛向更深遠的空間，但前提是g(R(t))不對其影響，而對于太陽系行星際飛行，其太陽的g(R(t))是存在的。

雙曲線軌道下的總能量

我們仍沿用ra、rp這兩個特殊點來計算其能量，

雙曲線幾何學的半長軸a有

即

當r→∞時

v∞稱為雙曲線軌道下的剩余速度，v∞表示E，

將E和V逃逸代入（20）式，有

即

這個關系是雙曲線軌道下任何一點都滿足的，是一個比能量的關系（消去了質量項）。它表明雙曲線軌道的總能量包括兩部分：一個是超出主星中心引力逃逸所需的能量v逃逸2及超出這個逃逸能量的剩余部分。對于每個任務的不同，形成的雙曲線的形狀不同（即半長軸a），v∞是不同的。稱v∞2為特征能量，它只與主星的引力常數(shù)μ和軌道半長軸有關，記為C3（）。

因為C3是逃逸后剩余的能量，所以要由深空探測任務給出特征值C3的需求，并在工程實踐中要有充分的運載能力來保證，C3(運載)＞C3(任務)。

C3的形成是運載火箭所賦予的，從工程角度說它是任務所需求的。式（21）表明C3的大小可以從軌道的幾何表達里唯一確定（即半長軸a）。

在當今的深空探測工程中，仍然是以化學推進系統(tǒng)產生巨大的推力將航天器送入逃逸軌道（對地球而言就是雙曲線軌道），然后由航天器上的動力系統(tǒng)實現(xiàn)對目標星體的速度增量。如果我們有足夠推力的運載火箭，可以實現(xiàn)C3(火箭)≥C3(任務需求)的條件下，則可以大大減少航天器本身的推力系統(tǒng)的壓力。

以火星探測軌道需求，火箭提供給航天器的能量應滿足

例如，對某一次具體的任務，若入軌時火箭提供的速度為11.473 km/s，

即運載火箭能夠給探火星航天器的特征能量是

但對于深遠空探測任務而言，只利用大推力火箭實現(xiàn)需求速度往往是難以辦到的，因為它的比沖難以得到足夠的大。而施圖林格的連續(xù)推力系統(tǒng)是加速度積分的機理，它是在任務時間（MHJT）內完成目標的較為有希望的方案。

從已經(jīng)實現(xiàn)的人類探測太陽系行星的工程來看，還沒有實現(xiàn)在MHJT的理想時間內完成所關心的深遠目標星的探測期望，飛行器還是需要幾十年的巡航時間過程。

以我們現(xiàn)在的火箭能力，如果在日地影響球邊緣處（距地92 500 km）使航天器具備C3，那它按這個速度奔向火星的話，它要在太陽的引力勢內飛行，所以C3仍然是進入環(huán)繞太陽的大橢圓路徑；如果火箭在日地影響球邊緣處使航天器具有逃逸太陽的能量，則這時的剩余能量則可以直奔太陽系邊緣而去，而不受太陽引力勢的作用，那么這個速度應當是多少呢？

我們先計算在地面脫離地球的能量

在地表處地球自轉的牽連速度

要想脫離地球引力勢，其速度一定要大于（11.18～0.465）k m/s。在日地影響球半徑（rSOI=9.25×105km）時，地球引力勢和太陽引力勢分別為

可見此時太陽的作用是地球的2 000倍，所以此時只考慮太陽的作用是合理的。

怎樣實現(xiàn)從原軌道向目標星軌道的大橢圓轉移呢？

如果設定這個轉移時刻是準確的，則在航天器飛行到目標星的預測點時，目標星也正好到達該點，兩者交會。太陽系內各行星的運動規(guī)律我們已經(jīng)充分掌握，所以這個假定在工程上是可以實現(xiàn)的。但深空探測對空間飛行體的跟蹤與觀測要求要比近地空間活動更高，在下面討論的轉移軌道問題中，精確的外測保證是十分重要的條件。

當航天器已經(jīng)脫離了地球的引力勢，我們的分析就只是太陽和航天器的兩體問題。若此時航天器的位置是A，目標星的期望到達點是B。（也即是兩者交會點的期望值。）

我們的任務就是要構建一個大橢圓軌道，使其成為霍曼軌道上的兩個點，且目標星位置正是近點角為π的遠地點B。（見圖1）

圖1 新構建的大橢圓軌道Fig.1 The large elliptical transfer orbit

將新構建的軌道參數(shù)寫作rn、θn、hn、en，其拱線為目標星的期望點B與主星中心的連線，已知的參數(shù)是θnA，rA、rB以及主星的引力常數(shù)μ。

從軌道方程

其中hn和en是兩個待求量

得到

將en代入rB式，有

得到en和hn就得到了這個新構建的從A點到B點的一個大橢圓軌道。

這是從軌道的幾何關系里求得的，但這個軌道能否實現(xiàn)，要看工程上能不能使值達到這個能量需求。

A點的能量需要也即軌道的需求速度，A點的速度VA可以分解為對矢徑的徑向和垂向兩部分組成，

其中垂向

徑向Vnr是矢徑rn方向的速度，也即

則所需的速度矢量與航天器和主星中心的連線的夾角（稱為飛行路徑角）γ的正切值tanγ=Vr/V⊥，則

以上討論的就是在太陽系的行星際探測中大橢圓轉移的方式。不論其初始軌道時的狀態(tài)為何，最終都要滿足我們分析的狀態(tài)。

工程實踐上就要在測控系統(tǒng)的支持下完成V⊥,Vr及飛行路徑角γ的實現(xiàn)。

針對連續(xù)推力的施圖林格方案，在g(R(t))的作用相對a(t)已經(jīng)很小時，比如在太陽帆方案時，太陽帆飛行器的質量比較輕。

下面我們就連續(xù)推力的太陽帆的有關問題作為例子來討論。

太陽光直射太陽傘反射面時，它的平面功率密度為1368 w/m2（地表面處）

功率是力與速度之積，而光速是已知的，所以其地表處的太陽光壓P可以表示為

其中：SO為太陽輻射功率（1 368 w/m2）；c為光速（以3×105km/s計）。則地球表面的太陽光壓為

我們講的“壓引比”，則是太陽帆上的太陽輻射壓力與太陽帆所受太陽引力的比值（The lightness number，which is the radio of solar radiation pressure force on the sail to solar gravilation force on the sail）。這個定義與“推力引力比”的概念是一樣的，如果不是太陽帆，而是其它的推力系統(tǒng)，則這個比值則可統(tǒng)稱為“推引比”，即ρ=ac(t)/g(R(t))，其中ac=P/m，如果都以太陽帆面積A作為衡量的基準，則P是單位面積上分攤的動力（P/A，單位是N/m2），而m則是單位面積的質量，即有

其中：σsail為太陽帆的面質量密度；mPL為航天器有效載荷質量；A為太陽帆的面積。

在實際工程上還要考慮太陽帆的反射率、為控制合理溫度而增加的太陽帆結構涂層的發(fā)射率等，還有太陽光入射方向與太陽帆法線的太陽光壓角等因素要在q⊥上得到反映，即形成有效光壓Peff。在垂直入射時，

若Peff按2×4.56μN/m2計算，

A為100 m2，σsail=10 g/m2，mPL=10 kg

則在地球附近可獲得的加速度為

如果仍保持太陽帆的總質量不變，而將σsail從10g/m2降到1g/m2。則因太陽帆總質量不變，所以其帆的面積將擴大10倍；相應的mPL/A將縮小10倍，其加速度將為

所以σsail是極其重要的技術參數(shù)。

在G.L.Matiloff的“Deep-Space Probes，2nded，中給出了另一種表達式[3]

其中：ρsail為太陽帆對日光的發(fā)射率；S為單位時間照射到太陽帆單位面積的太陽能S=SO/r2，r為太陽距地球表面距離r0與航天器距太陽距離r之比，以AU為單位；c為光速；σs/c為壓引比。

在這個表達式中，光壓為(1+ρsail)S/c·r2，我們把加速度AS/C整理為兩部分

第一部分是自然參數(shù)，太陽輻照S，光速c和距太陽之距r；

第二部分是與太陽帆航天器相關的物理參數(shù)，帆的反射率ρsail和航天器的帆面積的分攤質量σs/c。

定義ηs/c(1+ρsail)/σs/c為“壓引比”，

（1+ρsail）項表示太陽帆具有的光壓，而σs/c則表示是受到引力作用的質量項。是光壓與引力之比，這也是將其稱為壓引比的原因。

如果我們將“外太陽系”理解為仍在太陽引力范疇，這里的行星體仍以太陽為主星，環(huán)繞太陽運行。而不是指“太陽系外”的其他星系。這就把“Outersolar System”和“Outer Space”分開了。（但這點只供參考）

在20～30年的“MHJT”可承受時間內要求到達200 AU處。則航天器的平均飛行速度不能小于7 AU/年，

逃逸太陽的速度

因地球的公轉速度是可以利用的。

速度增量

對于一個脫離太陽引力的航天器，首先要具備逃逸地球的能力，所以從地球出發(fā)的航天器應具有的能力應為

這就是從地球表面出發(fā)脫離太陽引力的第三宇宙速度。

這對目前的火箭能力而言是難以實現(xiàn)的。

美國新地平線實現(xiàn)的C3?160 km2/s2，它要奔赴100 AU處需37年以上。

即使我們采用太陽帆或利用太陽能的電推進系統(tǒng)，都會因為隨著飛離太陽的距離增加而衰減。這也給航天器攜帶高比沖的連續(xù)推力系統(tǒng)方案加了權。還有一個問題是，如果有對目標星體的環(huán)繞探測或駐留特殊點的探測要求時，一定要具備航天器的制動能力。我們在前面有關連續(xù)推力過程中沒有涉及制動階段（Braking Stage）的問題。

在太陽帆技術的研制方面，我認為材料的研制是關鍵，特別是帆載荷σ，這是個關鍵參數(shù)。

以石墨烯的應用為例，其面質量密度是有希望達到1 g/m2的。碳原子間距約為0.14 nm ，所以在1m2的面積內，可布有51×1018個碳原子（1m2/(0.14×10-9)2m2）；

原子質量單位1u?1.66×10-27kg=1.66×10-24g

碳原子為12個原子質量單位，則1 m2的質量為51×1018×12×1.66×10-24g/m21mg/m2，如果能采用這個輕質材料的資源，根據(jù)太陽帆工作狀態(tài)下的熱量、剛度、展開強度等工程要求而增加其它的聚合物，是可以在1g/m2的指標下，有所作為的。

NASA在1999年提出的星際探測方案中，質量只有幾百千克，其中有效載荷25 kg，太陽帆直徑400 m。初始橢圓軌道近日點0.25～0.3 AU，航天器在此處展開太陽帆，借助近太陽的輻射壓，此處是地球（1 AU）處的16～11倍。報告稱，它可以讓航天器在大約20年內到達太陽風層頂（200 AU處）。

以上說明的是連續(xù)推力系統(tǒng)的深空探測問題。還有一種方案是選擇相應的機會，利用空間天體的g(R(t))做動力，這種方式被稱為行星際探測的借力飛行問題。

就其深空探測的軌道實現(xiàn)而言大致包括3種可采用的方式：連續(xù)推力系統(tǒng)，脈沖推力的大橢圓轉移和空間的借力飛行。

關于連續(xù)推力系統(tǒng)中受到重視的是太陽帆離子推子和核動力，有關這些方面的技術研究要引起關注。

后 記

施圖林格提出實現(xiàn)太空船的電力推動問題可能是在二戰(zhàn)期間，但他在《離子推進的空間飛行》一書中所引用的文章《Possibilities of Electrical Space Ship Propulsion》是在1954年發(fā)表，不知他是否還有更早時間發(fā)表的文章中談及電力推進的概念。

我得到IPM（Interstellar Precursor Mission）是在2013年IAA會議上，由中國宇航出版社出版，主編是（美）Claudio Bruno及（美）Gregory Mattoff，中譯本譯者是陳杰、殷前根先生。

看過之后，啟發(fā)諸多，總想把其中的幾個重要的概念性東西（比如施圖林格精確解的推導；精確解中應當單獨提出來的幾個概念；太陽帆的壓引比及最終速度uτ的分析等）解析一下，今天算初步做了一點討論。

為了能得到施圖林格的原著《Ion Propulsion for Space Flight》全文，我請國家國防科工局科技與質量司及中國航天科技集團有限公司系統(tǒng)研究院的同志幫忙，他們費了不少功夫，總算找到，并復印給我。據(jù)說原本已經(jīng)很陳舊，共373頁，署名ERNST STUHLINGER（George C.Marshall Space Flight Center National Aeronalics and Space Administration）。在這里感謝同志們的幫助，使我看到了原著，也讓我思考了不少東西。特別是施圖林格從齊奧爾科夫斯基公式中提出“功率密度”，并展開一系列推演的思路，是具有科技方法論意義的。

我希望在研究深空探測的推力系統(tǒng)和工程的實施方案時能關注施圖林格的方法和成果，并能有所創(chuàng)新和發(fā)展。

附錄：

在施圖林格的原著和IPM的任務中有若干圖表，這些圖表的形成我用“計算任務書”的形式表達如下，供有興趣者參考。

（任務書1）：求有效載荷比與比沖的關系

以ML/M0為縱軸（最小值0，最大值1.0，分格間隔0.2），logv?為橫軸（v最小值0.01、最大值為10，分格按步長0.01），以uτ?為參數(shù)，計算=或=(1+v?)e-uτ?/v?-v?2。

uτ?分別為0.01，0.02，0.05，0.1，0.2，0.3，0.5，0.6，0.7，0.8，0.81時,v?=0.01～10，步長0.01，計算ML/M0并對每個uτ?下的數(shù)據(jù)連成曲線。（得到文獻1之圖4-1）

（任務書2）：

任務距離Sτ=73 AU

以ML/M0為縱軸（最大值為1.0，分格間隔0.1），為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

以α=0.1×10-3km2/s3為固定參數(shù)，24×0.315×108s ，28×0.315×108s 條件下，變量v由50～100km/s，步長50 km/s的，J=1-，

求解：

得到ML/M0，按每一τ值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻1之圖4-2）。

（任務書3）：

任務距離Sτ=73 AU

以ML/M0為縱軸（最小值0.3，最大值為1.0，分格間隔0.1），v為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

與任務書2相同，將τ=20×0.315×108s作為固定參數(shù)，在α分別為0.1 kw/kg （0.1×10-3km2/s2）、0.2 kw/kg 、0.3 kw/kg 、0.4 kw/kg作為參數(shù)條件下，以v為變量，v從50～500 km/s、步長50 km/s，

求解：

得到ML/M0，按每一α值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻1之圖4-5）。

（任務書4）：

任務距離Sτ=540 AU

以ML/M0為縱軸（最小值0，最大值為0.3，分格間隔0.05），v為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

以α=0.1×10-3km2/s3為固定參數(shù)，

在τ=22×0.315×108s 、24×0.315×108s 、28×0.315×108s情況下，以v為變量，v從50～500 km/s、步長50 km/s，計算施圖林格通用精確解，

求解：

解出相應ML/M0，按每一τ值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻1之圖4-6）。

（任務書5）：

任務距離Sτ=540 AU

以ML/M0為縱軸（最小值0，最大值為0.6，分格間隔0.1），v為橫軸（最小值50 km/s，最大值500 km/s，分格間隔50 km/s），

以τ=24×0.315×108s 為固定參數(shù)，在α=0.1×10-3km2/s2、、0.2×10-3km2/s2、0.3×10-3km2/s2、0.4×10-3km2/s2情況下，以v為變量，v從50～500 km/s、步長50 km/s，求解施圖林格通用精確解：

解出相應ML/M0，按每一α值下的ML/M0連成一條曲線。

（得到文獻1之圖4-7）。

（任務書6）：任務時間τ（年）與功率密度α的關系

Sτ分別為73、100、540、730 AU，

τ以年計，v以km/s計，時

計算施圖林格通用精確解：

求解L，因J、L中含有ML/M0、α、τ、v、Sτ五個參數(shù)，此題可以按4種組合分別計算。

1）v=50 km/s，ML/M0=0.1，

Sτ分別取73、100、540、730 AU，

求τ與α的關系。

施圖林格解：

令α依次取0.1、1、10、100、1 000、10 000，可得到相應的τ。

以τ為縱坐標（最小值0，最大值為100，分格間隔20），以log?=為橫坐標作圖（最小值0.1，最大值為10 000，分格間隔log?=1，即從-1～4）。

變換Sτ則得到另一條關系線。

此圖有對應Sτ的4條關系線。

該圖即為文獻1之圖4-8。

2）v=50 km/s，ML/M0=0.6，

其余過程同1。

作圖：其縱軸τ最小值為0，最大值為320，分格間隔40；α最小值為0.1，最大值為10 000，分格間隔log?=1。

得到的關系即為文獻1之圖4-9。

3）v=350 km/s，ML/M0=0.1，

其余過程同1。

作圖：縱軸最小值0，最大值40，分格間隔10；橫軸最小值0.1，最大值為10 000，分格間隔

log?=1。

得到的關系即為文獻1之圖4-10。

4）v=350 km/s，ML/M0=0.6，

其余過程同1。

作圖：τ縱軸最小值為0，最大值為70，分格間隔10；α橫軸最小值為0.1，最大值為10 000，

分格間隔log?=1。

得到的關系即為文獻1之圖4-11。

（任務書7）：求解功率P與比沖v的關系

求解步驟如下：

1）首先求截比J

在τ=20年、Sτ=73 AU任務條件下，

令vi=50 km/s～500 km/s、步長50 km/s，

則J是一個簡單的計算，可得下表：

求解Qi

3）由

4）以M0分別為10、100、1 000、10 000及100 000 kg計算相應的Pi，（M0，vi，Qi已取值）

5）以logP為縱軸，以v為橫軸，畫出P與v的關系

作圖：縱軸logP的最小值為1，最大值為7，（即1.E+0.1～1.E+0.7），橫軸v最小值50km/s，

最大值500 km/s，步長50 km/s），

則得到文獻1之圖4-12。

6）以Sτ=73 AU、τ=8年任務條件下重復上述（1～5）

步驟，作圖的各坐標標度與上面相同。

得到文獻1之圖4-13。

7）以Sτ=540 AU 、τ=24年任務條件下重復上述（1～5）

步驟，作圖的各坐標標度與上面相同。

得到文獻1之圖4-14。