向量的p-范數及向量序列的收斂性研究

程克玲

(呂梁學院汾陽師范分校 數學與科學系，山西呂梁 032200)

以前我們熟知的實數的絕對值、復數的模、直覺空間中的向量的長度都是范數的概念原型，在內積空間中用內積誘導出的一個范數是一類特殊的范數，它們確實反映了向量長度的幾個基本幾何性質，即非負性、齊次性以及三角不等式.[1]那么，在一般的線性空間中，也有類似的基本幾何性質.

1 向量p-范數的有關定理及證明

定理1[2]對于任意的x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,令

(1)

則‖x‖p是Cn中的一種向量范數，稱為p-范數.

要證明向量的p-范數‖x‖p滿足向量范數的三個公理，需先證明以下結論：

引理1[3](Young不等式) 設實數p，q均大于1，則?a,b∈R,有

(2)

證若ab=0,結論顯然成立.當ab≠0時，構造函數

(3)

由φ′(τ)=τp-1-τ-(q+1)可知，當0<τ<1時，φ′(τ)≤0;當1≤τ<+時，φ′(τ)≥0,因此φ(τ)≥φ(1)=1,取代入式(2)，有

(4)

因此

結論得證.

(5)

證當xk,yk中至少有一個不為0時，結論顯然成立.當xk不全為0，yk也不全為0時，由引理1，有

(6)

于是有

定理3[3](Minkowski不等式) 任取x,y∈Cn,則?p≥1，有

(7)

證當p=1時，式(7)顯然成立.當p>1時，設q為p的共軛指數，于是

(8)

式(8)右端兩項各用Holder不等式得

(9)

Holder不等式與Minkowski不等式是泛函分析中的兩個基本不等式，在向量的范數中也有其相應的表達形式.它對有限或無限維空間均成立，且有離散及連續(xù)兩種類型.[4]下面證明定理1.

(1)正定性.顯然‖x‖p≥0,而x≠0時至少有一個分量不為0，因此‖x‖p>0.

(2)齊次性.?k∈C,?x=(x1,x2,…,xn)T∈Cn,有

(3)三角不等式.由Minkowski不等式，有

于是

‖x+y‖p=‖x‖p+‖y‖p

因此，‖x‖p是Cn中的一種向量p-范數.

2 向量范數的等價性

定義1[5]設V是有限維線性空間，‖x‖α與‖x‖β是V中任意兩種范數，若存在正數k1及k2，使得對任意的x∈V,有

k1‖x‖β≤‖x‖α≤k2‖x‖β

(10)

稱‖x‖α與‖x‖β等價.

引理2n維向量空間V中的任一向量x的范數都是其坐標的連續(xù)函數.

證設V是n維線性空間，e1,…,en為V中的一組基，則對于任意的x∈V有唯一表達式

x=(ξ1e1,…,ξnen)=(e1,…,en)ξ

(11)

|φ(ξ1,…,ξn)-φ(η1,…,ηn)|= |‖x‖-‖y‖|≤‖x-y‖=

(12)

定理4 有限維線性空間中的任意兩種范數都是等價的.

(13)

此為Cn中的一個單位超球面，且S上無零點.

(14)

(15)

其中，ξ為x的坐標向量.

k1‖x‖β≤‖x‖α≤k2‖x‖β

向量范數的等價性在研究向量序列收斂問題時表現出了一致性，即有關按‖?‖α收斂的性質，按‖?‖β也相應成立.

3 向量序列的收斂性

(16)

向量序列不收斂時稱為發(fā)散的.

定理6Cn中向量序列{x(k)}收斂于向量x的充分必要條件是，對于Cn上任一向量范數，都有

(17)

證由范數的等價性，只要對‖?‖證明即可.

xi(k)-xi→0,i=1,2,…,n

因此

‖x(k)-x‖→0

即

因此

xi(k)-xi→0,i=1,2,…,n,k→+

即

4 結語

本文在一般向量范數概念的基礎上，引入了向量的p-范數的概念，并借助Young不等式、Holder不等式和Minkowski不等式對向量p-范數的相關結論給與了證明.本文證明了有限維線性空間中的任意兩種范數都是等價的結論，并對向量序列的收斂性進行了探討.