導(dǎo)數(shù)求函數(shù)零點(diǎn)存在區(qū)間取點(diǎn)探析

■浙江省仙居中學(xué)高三(5)班 吳浩蕓

對(duì)于求解函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，不管正向還是逆向，思路都是一致的，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性，然后找到極值，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理，找到符合題目條件的情況進(jìn)行分析。下面舉例說(shuō)明。

例1(2018年全國(guó)新課標(biāo)Ⅱ卷文)已知函數(shù)f(x)=x3-a(x2+x+1)。

(1)若a=3，求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)證明:f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

解：(1)易知，當(dāng)a=3 時(shí)，f(x)在(-∞，3-2)，(3+2，+∞)上單調(diào)遞增，在(3-2，3+2)上單調(diào)遞減。

(2)由于x2+x+1＞0，所以f(x)=0等價(jià)于

又f(3a-1)=-6a2+2a-=＞0，故f(x)有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

探析：計(jì)算f(3a+1)和f(3a-1)這一步非常巧妙，是怎么想到的呢?

例2(2017年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解：(1)易知，若a≤0，f(x)在(-∞，+∞)上單調(diào)遞減;若a＞0，f(x)在(-∞，-ln

a)上單調(diào)遞減，在(-lna，+∞)上單調(diào)遞增。

(2)(i)若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)。

(ii)若a＞0，由(1)知，當(dāng)x=-lna時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(-lna)=1-

①當(dāng)a=1時(shí)，由于f(-lna)=0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn);

綜上，a的取值范圍為(0，1)。

探析：為什么要計(jì)算f(-1)，這一步，是怎么想到的呢?

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x。若a∈(0，1)時(shí)，當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→+∞;當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞;在x=-lna的左右兩側(cè)探求f(x)＞0，可能的選擇很多，既要根據(jù)函數(shù)解析式，考慮取值計(jì)算容易，又要能捕捉常見(jiàn)的不等式。

當(dāng)a∈(0，1)時(shí)，f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ae2x+aex-x-2ex＞-x-2ex，很自然就會(huì)想到，如果令-x-2ex＞0，就會(huì)有f(x)＞0，就探求到了f(-1)。

f(x)=ae2x+(a-2)ex-x=ex(aex+a-2)-x?？紤]到常見(jiàn)不等式ex≥x+1＞x，很自然就會(huì)想到，如果令aex+a-2=1，就會(huì)有f(x)=ex-x＞0，解方程得x=

例3(2016年全國(guó)Ⅰ卷文)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2。

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍。

解：(1)當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增。

(2)(ⅰ)設(shè)a＞0，則由(1)知，f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，+∞)上單調(diào)遞增。

又f(1)=-e，f(2)=a，取b滿足b＜0且b＜ln，則f(b)＞(b-2)+a(b-1)2=a（b2-b）＞0，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)。

(ⅱ)設(shè)a=0，則f(x)=(x-2)ex，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)。

綜上，a的取值范圍是(0，+∞)。

探析：取b滿足b＜0且b＜ln，則f(b)＞(b-2)+a(b-1)2=a（b2-b）＞0，對(duì)于這一步，是怎么想到ln的呢?f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2，a＞0，當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→+∞，所以選取的b應(yīng)小于0，并且越遠(yuǎn)離a，滿足f(b)＞0的可能性越大，可以考慮用部分控制法，請(qǐng)同學(xué)們嘗試一下。

例4(2015年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx。

(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);

解：(1)f(x)的定義域?yàn)?0，+∞)，f'(x)=2e2x-(x＞0)。

當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)＞0，f'(x)沒(méi)有零點(diǎn)。當(dāng)a＞0時(shí)，因?yàn)閑2x單調(diào)遞增，-單調(diào)遞增，所以f'(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增。又f'(a)=2e2a-1＞0，當(dāng)b滿足0＜b＜且b＜時(shí)，f'(b)＜0，故當(dāng)a＞0時(shí)，f'(x)存在唯一零點(diǎn)。

(2)略。

探析：如何選取b，使得f'(b)＜0，是怎么想到和的呢?

因?yàn)閒'(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增。f'(a)＞0，所以選取的b應(yīng)小于a，并且越遠(yuǎn)離a，滿足f'(b)＜0的可能性越大，取，若，得0＜a＜2ln2。-4a＜0，得a＞。又由于2ln 2＞2ln＜1，則=(0，+∞)，所以當(dāng)a＞0時(shí)，＜0至少有一個(gè)成立。其實(shí)b也可以取…如取-8＜0，得0＜a＜4ln 4。當(dāng)a≥4ln4時(shí)，可以利用a的范圍采用參數(shù)放縮法，由于y不含參數(shù)并且遞增，2e-8ln4=2(e-4ln4)＜0。