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    高慧明老師講數(shù)學(1)
    ——曲線軌跡方程的求法綜析

    2019-04-27 02:32:22北京市第十二中學高慧明
    關(guān)鍵詞:法求動點中點

    ■北京市第十二中學 高慧明

    編者的話:數(shù)學在高考中占有重要地位,而數(shù)學試題一般都有不小的難度,該怎樣求解數(shù)學試題呢?方法很重要,我們因此特邀一線數(shù)學名師高慧明老師講解數(shù)學問題,分析解題思路,探究解題規(guī)律,總結(jié)解題方法,以幫助同學們領(lǐng)悟求解數(shù)學問題的關(guān)鍵所在。本期主要講解曲線軌跡方程的求法,請同學們讀讀想想,希望能有所收獲喲!

    本刊特邀欄目專家簡介:

    高慧明首屆全國十佳班主任,北京市高中數(shù)學特級教師,國家教育部課程改革“全國先進工作者”,全國著名高考數(shù)學命題與考試研究專家,國家教育部“國培計劃”全國中小學教師培訓和班主任培訓特邀主講專家,受邀為教育部“國培計劃”做有關(guān)高中數(shù)學課堂教學、班級管理、教師專業(yè)成長等專題報告多場,在全國引起強烈反響。出版?zhèn)€人專著《高考數(shù)學命題規(guī)律與教學策略》《高中數(shù)學思想方法及應(yīng)用》《讓高中生學會學習》《高慧明班級高效管理藝術(shù)》《高慧明數(shù)學教學實踐與研究》(叢書)等多部,應(yīng)邀主編、參編教材和教學著作30余部。

    軌跡問題是平面解析幾何中非常重要的一類問題,它能綜合考查同學們數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)換、分類討論、邏輯推理等方面的數(shù)學思想方法和能力,歷來都是高考命題的熱點。求軌跡方程的方法比較多,但從宏觀上說不外乎兩個途徑:一是利用平面幾何知識或圓錐曲線的定義求軌跡方程,這類題目對計算的要求不高,主要考查觀察、聯(lián)想的能力;二是利用代數(shù)的方法通過消參數(shù)得出軌跡方程,解決問題的關(guān)鍵是對式子的變形。

    一、直接法求軌跡方程

    若動點滿足題設(shè)中明顯的已知等量關(guān)系或易借助平面幾何中的有關(guān)定理和性質(zhì)(勾股定理、垂徑定理、中線定理、連心線的性質(zhì)等)分析出等量關(guān)系,則只需把這種易于表達的關(guān)系“翻譯”成含x,y的關(guān)系式,就能得到曲線的軌跡方程。

    【典例1】設(shè)直線l與拋物線Ω:y2=4x相交于不同兩點A,B。O為坐標原點。

    (1)求拋物線Ω的焦點到準線的距離;

    (2)若直線l又與圓C:(x-5)2+y2=16相切于點M,且M為線段AB的中點,求直線l的方程;

    解析:(1)由拋物線定義得,拋物線Ω的焦點到準線的距離為2。

    (2)設(shè)直線l:x=my+b。

    當m=0時,x=1和x=9符合題意。

    當m≠0時,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

    Δ=16(m2+b)>0,y1+y2=4m,所以x1+x2=my1+b+my2+b=4m2+2b。

    所以線段AB的中點M(2m2+b,2m)。

    所以Δ=16(m2+b)=16(3-m2)>0,得0<m2<3。

    綜上所述,直線l的方程為:x=1,x=9。

    (3)由(2)可知Δ=16(m2+b)>0,y1+y2=4m,y1y2=-4b。

    當b=0時,直線AB過原點,所以Q(0,0),不符合題意。

    綜上,點Q的軌跡方程為x2-4x+y2=0(x≠0)。

    點評:本題第(3)問中,由OQ⊥AB,且A,B,P,Q四點共線,可得OQ⊥PQ,進而可得=0,將此條件進行翻譯,即可得點Q的軌跡方程。

    【典例2】在平面直角坐標系xOy中,已知A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上,若 ≤20,則點P的橫坐標的取值范圍是____。

    解析:(方法一)根據(jù)題意,設(shè)P(x0,y0),則有+=50。

    故2x0-y0+5≤0,易知點P的軌跡為圓O在直線2x-y+5=0上方的部分(包括交點)。

    圖1

    圖2

    點評:本題考查了軌跡方程的求法,其中方法一直接設(shè)出動點P的坐標,并對“點P在 圓O:x2+y2=50 上 ,≤20”進行翻譯,思路較為簡單;而方法二是對“若A,B為兩定點,且=0,則點P的軌跡是以AB為直徑的圓”這一結(jié)論的應(yīng)用,要求考生有一定程度的積累。但本題的重點不是求方程,而是利用方程去分析曲線的性質(zhì),這是命題的一種新趨勢,突出了解析幾何的核心思想——通過探究曲線的幾何特征建立方程,再通過方程性質(zhì)研究曲線的幾何性質(zhì),同學們應(yīng)給予重視。

    二、定義法求軌跡方程

    若動點的軌跡符合某種曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)的定義,則可根據(jù)定義直接設(shè)出所求方程,通過待定系數(shù)法求解。

    【典例3】如圖3,已知圓(x-2)2+y2=9的圓心為C。直線l過點M(-2,0)且與x軸不重合,l交圓C于A,B兩點,點A在點M,B之間。過M作直線AC的平行線交直線BC于點P,則點P的軌跡方程是____。

    圖3

    解析:如圖3所示,因為AC,BC都是圓C的半徑,所以|AC|=|BC|,又AC//PM,所以∠PBM=∠BAC=∠BMP,所以|PM|=|PB|。

    由于|PM|-|PC|=|PB|-|PC|=|BC|=3<|MC|,所以點P為以M(-2,0),C(2,0)為焦點的雙曲線的右支(除頂點外)。故點P的軌跡方程為>0)。

    點評:熟悉一些基本曲線的定義是用定義法求曲線方程的關(guān)鍵,求解過程中需注意定點的軌跡是曲線還是曲線的一部分,在寫軌跡方程時一定要除去不符合條件的點。

    【拓展延伸】圓及圓錐曲線的第二定義在解題中往往也有意想不到的作用,現(xiàn)歸納如下:

    (1)圓:到兩定點距離之比等于λ(λ>0,且λ≠1)的動點的軌跡是以點圓心,長為半徑的圓;

    (2)橢圓:平面上到定點的距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(0<e<1)的點的集合(定點不在定直線上);

    (3)雙曲線:平面上到定點的距離與到定直線間距離之比為常數(shù)e(e>1)的點的集合(定點不在定直線上)。

    其中運用第二定義得到的點的軌跡也叫“阿波羅尼斯圓”,在高考中已熱考多年,有興趣的同學可以了解一下。

    三、相關(guān)點法求軌跡方程

    若動點滿足的條件不便直接轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系,但動點P是隨著另一動點P'的運動而運動的,而P'的運動規(guī)律已知(該點坐標滿足某已知曲線方程),則可以設(shè)出P(x,y),用x,y表示出相關(guān)點P'的坐標并代入已知曲線方程,即可得到動點P的軌跡方程。

    【典例4】如圖4所示,已知Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=6,在三角形所在的平面內(nèi)有兩個動點M和N,滿足的取值范圍是( )。

    圖4

    解析:分別以AB,AC所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(4,0),C(0,6)。

    設(shè) N(x0,y0),因為,即N是MC的中點,所以x=2x0,y=2y0-6。

    代入方程x2+y2=4,得(2x0)2+(2y0-6)2=4,整理得+(y0-3)2=1,所以點N的軌跡方程為x2+(y-3)2=1,即點N的軌跡是以(0,3)為圓心,1為半徑的圓,易得的取值范圍是[4,6]。故選B。

    點評:相關(guān)點法也可稱為代入法,其關(guān)鍵在于找到動點和其相關(guān)點坐標間的等量關(guān)系。如本題中,將翻譯為點N是線段MC的中點,利用中點坐標公式建立M,N兩點間的等量關(guān)系。

    四、參數(shù)法求軌跡方程

    有時動點滿足的幾何條件不易得出,也無明顯的相關(guān)點,但卻發(fā)現(xiàn)這個動點的運動常常受到另一個變量(斜率、截距、角度等)的制約,可嘗試分別建立動點橫、縱坐標與這個變量的函數(shù)關(guān)系,通過消參得到軌跡的普通方程。

    【典例5】設(shè)M、N、T為橢圓上的三個點,M、N在直線x=8上的射影分別為 M1,N1。

    (1)若直線MN過原點O,直線MT、NT的斜率分別為k1,k2,求證:k1k2為定值。

    (2)若M、N不是橢圓長軸的端點,點L坐標為(3,0),△M1N1L與△MNL的面積之比為5,求MN中點K的軌跡方程。

    解析:(1)設(shè) M(p,q),N(-p,-q),

    故直線MN經(jīng)過點F(2,0),設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),K(x0,y0),

    ①當直線MN垂直于x軸時,弦MN的中點為F(2,0)。

    ②當直線MN與x軸不垂直時,設(shè)MN的方程為y=k(x-2),則:(3+4k2)x2-16k2x+16k2-48=0。

    綜上所述,點K的軌跡方程為(x-1)2+=1(x>0)。

    點評:在利用參數(shù)法求出軌跡方程后,應(yīng)注意檢驗其是否符合題意,既要檢驗是否增解(即以該方程的某些解為坐標的點不在軌跡上),又要檢驗是否丟解(即軌跡上的某些點未能用所求的方程表示),其檢驗方法為研究運動中的特殊情形或極端情形。如本題第(2)問用直線MN的斜率k表示出x0,y0后,注意到k≠0,從而可得x0>0,y0≠0。

    對于軌跡方程問題,方法的選擇尤為重要,同學們一定要認真分析所給條件,選擇合適的方法求解,一般優(yōu)先選用直接法、定義法。在求出曲線方程的方程之后,應(yīng)仔細檢查有無“不法分子”摻雜其中,將其剔除。另一方面,又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”仍逍遙法外,要將其“捉拿歸案”,以確保軌跡方程的純粹性及完備性。但是這里請讀者一定要注意,從現(xiàn)在的考試形式分析的話,此類問題的重點不在求方程上,而是要能利用所求方程去分析曲線的性質(zhì),本文的部分例題對此有所體現(xiàn),望讀者能認真體會,有所感悟。

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