三個(gè)角度探討“正難則反”

顧 俊

反證法是一種常用的間接證明的方法．法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪（Hadamard）對(duì)反證法的實(shí)質(zhì)作過(guò)概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會(huì)導(dǎo)致矛盾．”

用反證法解題的過(guò)程包括反設(shè)、歸謬、存真三個(gè)步驟，即假設(shè)命題的結(jié)論不成立（假定原結(jié)論的反面為真）；從反設(shè)和已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果；由矛盾結(jié)果，斷定反設(shè)不真，從而肯定原結(jié)論成立．其中“矛盾”包括了推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾或與已知條件、臨時(shí)假定矛盾，以及自相矛盾等各種情形．

使用反證法時(shí)要注意適用范圍、表達(dá)步驟，下面我們分三個(gè)層次，分別從反證法中的表達(dá)形式（是什么）、歸謬方向（怎么做）、方法原理（為什么）這三個(gè)角度對(duì)反證法做些探討．

一、證法之初體驗(yàn)——表達(dá)形式

王戎七歲，嘗與諸小兒游，看道邊李樹(shù)多子折枝，諸兒競(jìng)走取之，惟戎不動(dòng)．人問(wèn)之，答曰：“樹(shù)在道邊而多子，此必苦李．”取之信然．

同學(xué)們，你們知道王戎的聰明之處在哪嗎？

王戎的聰明之處在于用了反證法的思維看待這個(gè)問(wèn)題：

已知：道旁李樹(shù)多子折枝．求證：李子是苦的．

證明：（反證法）假設(shè)李子不是苦的，那么一定早被小孩摘光了，但現(xiàn)在樹(shù)上仍有這么多李子，矛盾．所以道旁的李子是苦的．

不摘李子，而想要直接說(shuō)明李子是苦的這個(gè)事實(shí)，我們是不能輕易找到一個(gè)簡(jiǎn)明的敘述方法的．?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言必須簡(jiǎn)潔明確，采用反證法的敘述思路，條理清晰，一目了然．在王戎論證的過(guò)程中，依據(jù)了一個(gè)事實(shí)：李子不苦的話，就一定被小孩子們摘光了．而在數(shù)學(xué)中，我們必須從假設(shè)出發(fā)，用正確的邏輯推理，得出矛盾結(jié)果．

下面我們來(lái)看看幾個(gè)數(shù)學(xué)中的例子：

例1已知函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b），求證：a+b≥0．

證明假設(shè)a+b＜0，則a＜-b，b＜-a，由于函數(shù)f（x）是（-∞，+∞）上的增函數(shù)，從而f（a）＜f（-b），f（b）＜f（-a），兩式相加有f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b），與已知條件f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）矛盾，所以a+b≥0．

例2已知：兩個(gè)不同的平面α和β，在平面α內(nèi)有兩條相交直線a，b（交點(diǎn)為P）和平面β平行，求證：平面α∥平面β．

證明假設(shè)平面α與平面β不平行，則平面α與平面β相交，記交線為l．

因?yàn)閍平行于平面β，a在平面α內(nèi)，平面α與平面β相交于l，所以a∥l．同理b∥l．則過(guò)l外一點(diǎn)有兩條相交直線與l平行，這與公理“過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行”矛盾，所以平面α∥平面β．

以上的數(shù)學(xué)例子，直接證明比較困難，而借助反證法得以順利解決．由于條件與結(jié)論相對(duì)簡(jiǎn)單，根據(jù)反證法的步驟，同學(xué)們能輕松從反設(shè)導(dǎo)出矛盾．那么在處理一些比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，該如何從反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾呢？我們繼續(xù)往下看：

二、證法之細(xì)思量——?dú)w謬方向

古希臘思想家亞里士多德曾經(jīng)斷言：物體從高空落下的快慢同物體的重量成正比，重者下落快，輕者下落慢．1800多年來(lái)，人們都把這個(gè)表面上看起來(lái)確實(shí)“正確”的論斷當(dāng)作真理而信守不移．直到16世紀(jì)，伽利略發(fā)現(xiàn)了這一理論在邏輯上的矛盾，并通過(guò)“比薩斜塔試驗(yàn)”用事實(shí)進(jìn)行了證明．同學(xué)們，你們知道伽利略發(fā)現(xiàn)的邏輯上的矛盾是什么嗎？

邏輯上的矛盾：假定較重的物體下落較快．不妨設(shè)甲物體比乙物體重，我們把二者捆在一起，讓它們自由下落，一方面，根據(jù)假定，因?yàn)樗鼈儽燃孜矬w更重，所以應(yīng)比甲物體單獨(dú)下落快；另一方面，兩個(gè)重、輕不同物體捆在一起下落，重的要快，輕的要慢，快的被慢的拖拽，故它們下落速度比甲物體單獨(dú)下落慢．前后矛盾，可見(jiàn)假定較重的物體下落較快是錯(cuò)誤的．

在使用反證法時(shí)，要從反設(shè)出發(fā)，導(dǎo)出矛盾，不一定要面面俱到，只要能經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理，得到一處矛盾即可判定反設(shè)不正確．同學(xué)們來(lái)找找伽利略發(fā)現(xiàn)的邏輯上的矛盾還可能是什么，并說(shuō)一說(shuō)“物體從高空落下，輕者下落快，重者下落慢”這句話邏輯上的矛盾．

例3求證：函數(shù)y=sinx的正周期不小于2π．

證明一假設(shè)T是函數(shù)y=sinx的周期，且0＜T＜2π，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有

sin（x+T）=sinx成立．令x=0得sinT=0，即T=kπ，k∈Z．

又因?yàn)?＜T＜2π，故T=π，從而對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin（x+π）=sinx，

所以，函數(shù)y=sinx的正周期不小于2π．

證明二 假設(shè)T是函數(shù)y=sinx的周期，且0＜T＜2π，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin（x+T）=sinx成 立．令得，即cosT=1，從而T=2kπ，k∈Z，這與0＜T＜2π矛盾．所以，函數(shù)y=sinx的正周期不小于2π．

例4設(shè)f（x）=x2+ax+b，求證：中至少有一個(gè)不小于．

由①×（-1）+②可得-1＜3+a＜1，所以-4＜a＜-2；

由②×（-1）+③可得-1＜5+a＜1，所以-6＜a＜-4，a的范圍前后矛盾．

命題結(jié)論中含有“否定形式”“最大（最?。薄爸炼啵ㄖ辽伲睍r(shí)，常用反證法．歸謬方向可以是由反設(shè)推出的結(jié)論與反設(shè)本身矛盾（如例3證明二），也可以是導(dǎo)出的結(jié)論間自相矛盾（如例3證明一、例4），因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們要細(xì)分析、多體悟，方能掌握反證法的精髓．

最后讓我們來(lái)了解一下反證法能成功的秘密所在．

三、證法之深探究——方法原理

古代有一個(gè)迷信神的國(guó)家，死囚在正式處決之前，還有一個(gè)由神來(lái)決定生死的程序．辦法是：由專職獄吏在兩張小紙條上分別寫上“活”“死”兩字，密封后交專人保管．第二天，由死囚抽取一張，若抽到活字，即可免死．有一次，一個(gè)死囚的仇人買通了寫紙條的獄吏，在兩張紙條上都寫上死字．湊巧這死囚預(yù)先從一位朋友那里得到了這一消息，他心中大喜．第二天，他抽紙條后，死罪赦免，終于得救了．這是怎么回事呢？

分析 真相原來(lái)是這樣的：主持抽簽獄吏宣布抽簽辦法后，死囚飛快抽了一張紙條，立即塞進(jìn)嘴里嚼爛吞入腹中，獄吏慌忙斥問(wèn)死囚：“你抽得的紙條上，寫的是死字還是活字？快說(shuō)！”死囚答道：“紙條我吞了，表示是死是活我都認(rèn)了．究竟神要我死還是要我活，您看看剩下的紙條上寫的什么字就清楚了．”在場(chǎng)的見(jiàn)證人急于知道結(jié)果，齊聲說(shuō)：“對(duì)”！因剩下的紙條上寫的是死字，證明死囚抽的是活字，死囚獲赦了．巧用矛盾律和排中律，活了一條命．

反證法的依據(jù)是邏輯思維規(guī)律中的矛盾律和排中律．矛盾律：在同一個(gè)思維過(guò)程中，兩個(gè)互相矛盾（包括互相否定）的命題不能同時(shí)都是真的，其中必有一個(gè)是假的；排中律：兩個(gè)互相否定的命題不能同時(shí)都是假的，其中必有一個(gè)是真的．

牛頓曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦唬币话銇?lái)講，反證法常用來(lái)證明的題型有：命題的結(jié)論以“否定形式”“至少”或“至多”“唯一”“無(wú)限”形式出現(xiàn)的命題；或者直接證明時(shí)思路難尋、表達(dá)晦澀，而否定結(jié)論則更明顯（即為正難則反）．

同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中勤思考、多總結(jié)，方能領(lǐng)悟反證法的精妙所在，使用起來(lái)才更得心應(yīng)手．