“數(shù)感”在哪里
———由《1000以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》課例想到的

葉 柱（特級教師）

談到“1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”，或者以“數(shù)的認(rèn)識”冠名的其他同類內(nèi)容，教師們大多會說：“要注重數(shù)感的培養(yǎng)”。如果進(jìn)一步追問“何為數(shù)感？”“如何培養(yǎng)？”則又陷入了說不清、道不明的尷尬中。顯然，這是課標(biāo)高層理念在教學(xué)基層現(xiàn)實中“關(guān)注度”與“達(dá)成度”不均衡現(xiàn)狀的真實寫照。為此，筆者擬結(jié)合兩個《1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》課例，就“數(shù)感”的核心概念及其教學(xué)談些想法。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》指出：“數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運算結(jié)果估計等方面的感悟。”顯然，數(shù)感作為一種感悟，其核心指向“數(shù)與數(shù)量”“數(shù)量關(guān)系”“結(jié)果估計”。而至于更進(jìn)一步的內(nèi)容，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 版）》也少有具體闡述。某天，看到史寧中教授談及“數(shù)與數(shù)量”的相關(guān)話題，頗受啟發(fā)。史教授認(rèn)為，數(shù)感培養(yǎng)要側(cè)重于“讓學(xué)生理解數(shù)與數(shù)量之間的關(guān)系”，不僅要讓學(xué)生感悟“數(shù)是對數(shù)量的抽象”（舍去現(xiàn)實背景），還應(yīng)當(dāng)反過來，讓學(xué)生感悟“抽象出來的數(shù)與數(shù)量是有聯(lián)系的”（回歸現(xiàn)實背景）。鑒于上述學(xué)習(xí)所獲及思考所得，筆者對“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中“數(shù)感在哪里？”有了一些粗淺認(rèn)識，現(xiàn)作梳理、表達(dá)。

一、數(shù)感：在“大小”之間

認(rèn)一個人，首先是“高矮胖瘦”之感。同理，識一個數(shù)，首先是“大小多少”之感。因此，在“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，要將“幫助學(xué)生建立對數(shù)的大小感受”放在重要位置。當(dāng)然，這種大小感受，不僅是通過“比較大小”之類的專門課時來落實，更要滲透于單元教學(xué)的每個細(xì)節(jié)中。在筆者看來，這是學(xué)生發(fā)展數(shù)感的基本保障。梳理兩節(jié)《1000 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識》的教學(xué)策略，以下三點值得關(guān)注。

1.“大小”，需要粗略地估。

有時候，在“大小”判別時，模糊約略地估計比精細(xì)準(zhǔn)確地刻畫更能反映一個人的數(shù)感水平。因為，刻畫常憑工具，估計則依賴感覺。因此，在“數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，“估計”是繞不開的重要活動。邵祝琴老師和樊曹陽老師在引入部分，呈現(xiàn)了三杯小棒，請學(xué)生選出數(shù)量為1000 根的那一杯。按理，學(xué)生沒有實際的可用信息，怎么推斷哪杯是1000 根呢？這個活動的實質(zhì)，是讓學(xué)生帶著已有的對數(shù)的“大小”知覺，作出推斷考量。這是其數(shù)感發(fā)展的重要體驗。王清老師的課中，在呈現(xiàn)有序排列、一目了然的235 個小正方體前，先呈現(xiàn)一個玻璃瓶，讓學(xué)生估計裝在里面的小正方體的數(shù)量，再用課件演示驗證。這個“先估后驗”的過程，有利于讓學(xué)生建構(gòu)起“預(yù)判與調(diào)整”的活動經(jīng)驗，進(jìn)而豐富“大小感”。

2.“大小”，需要充分地數(shù)。

在很多“數(shù)的認(rèn)識”課上，教師都會安排一定篇幅的“數(shù)數(shù)”活動。兩個課例的作者也不例外。筆者一直在思考，看似機械的“數(shù)數(shù)”，其育人價值在哪里？王老師在課始說的那句“數(shù)（shù）是數(shù)（shǔ）出來的”，筆者深表贊同。對學(xué)生而言，通過一個一個數(shù)、幾個幾個數(shù)、順著數(shù)、倒著數(shù)、跳著數(shù)等兼具“肌肉記憶”與“思維印痕”的主體實踐，能不斷積累“數(shù)序”體驗，持續(xù)強化“十進(jìn)”觀念，從中逐步建立起更立體、更完滿的“大小感”。鑒于這樣的分析，無論是邵老師和樊老師課中的“十個十個地數(shù)”“百個百個地數(shù)”，還是王老師課中“從235 開始，十個十個往后再數(shù)7 個數(shù)”“從805 開始，一個一個再倒數(shù)6 個數(shù)”，都在循序漸進(jìn)地助推著學(xué)生腦海中數(shù)的“大小感”的穩(wěn)固與發(fā)展。

3.“大小”，需要靈動地探。

王老師課尾的數(shù)軸練習(xí)，讓人眼前一亮。一開始，讓學(xué)生根據(jù)已經(jīng)確定的200 刻度、嘗試確定1000 刻度。這里邊，有“估”的成分，而更深層次的用意在于，學(xué)生可用200 作為“單位”展開測量，進(jìn)而得到5 個“單位”即是1000，由此領(lǐng)會這其中蘊含的數(shù)與數(shù)之間的“倍比”關(guān)系。后面跟進(jìn)的“尋找800、330、303”等學(xué)習(xí)任務(wù)，則將數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)換到“區(qū)間”視角。這樣的課堂練習(xí)，具有較強的探索味，學(xué)生可以帶著自己鮮活的思考探尋策略、尋得答案。就在這個探索的經(jīng)歷中，數(shù)感得以蓬勃生長。

二、數(shù)感，在“分合”之間

數(shù)感，是對數(shù)的感知與感悟，是對數(shù)的“懂得”與“知曉”。當(dāng)我們決定去解讀每一個數(shù)的時候，“十進(jìn)制”“數(shù)位”“計數(shù)單位”是無法回避的著眼點。在筆者看來，一個具有良好數(shù)感的人，遇到一個真實的數(shù)，會“條件反射”般地將其分解開來，從數(shù)位、計數(shù)單位等角度來領(lǐng)會其構(gòu)成，確?！岸谩保煌瑫r，對于原本散存的幾個百、幾個十、幾個一，又能“毫無違和感”地將它們拼合，從而“知曉”數(shù)的真正大小。就是在這樣分分合合的過程中，學(xué)生對抽象的數(shù)才有了更內(nèi)在的感覺與感悟。

我們高興地看到，執(zhí)教者都很重視發(fā)揮“數(shù)形結(jié)合”在分合教學(xué)中的強大功能。比如，教學(xué)“235的意義”時，邵老師和樊老師設(shè)計了一個師生合作環(huán)節(jié)，即“老師取小棒，一學(xué)生圈點子，一學(xué)生撥計數(shù)器，一學(xué)生指數(shù)字”，將2、3、5 各自蘊含的數(shù)學(xué)含義以實物直觀、圖像直觀、動作直觀等方式加以生動展示，有效揭示了“2 個百、3 個十、5 個一”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。對于隨后引入的803，教師又組織學(xué)生借助練習(xí)紙、再次經(jīng)歷“分解”式研究的過程，取得了理想效果。再看王老師的課，當(dāng)學(xué)生直面“一瓶未知數(shù)量的小正方體”一籌莫展時，課件有序呈現(xiàn)了“2 片+3 條+5 個”的正方體模型，指引學(xué)生立足線索、建立“合體”，瞬間構(gòu)筑關(guān)于235 的準(zhǔn)確認(rèn)知。而后，又借助計數(shù)器將這種認(rèn)知推向深入。

三、數(shù)感，在“來回”之間

本文開篇處，談到了史寧中教授關(guān)于數(shù)感培育的真知灼見。帶給筆者的啟發(fā)是，“數(shù)感”內(nèi)涵中存在著兩個不可忽略的重要元素，即“抽象意識”與“應(yīng)用意識”。所謂“抽象意識”，是使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)的“來路”：數(shù)是對現(xiàn)實世界中的客觀數(shù)量加以抽象的結(jié)果。所謂“應(yīng)用意識”，是使學(xué)生明確數(shù)的“回路”：每一個所學(xué)的數(shù)都該回應(yīng)生活、對接原型以發(fā)揮實用價值。在這一來一回之間，學(xué)生對數(shù)的感悟會顯得更通透。

1.數(shù)的“來路”：抽象。

上面提到，“數(shù)（shù） 是數(shù)（shǔ）出來的”。我們可以這樣理解，數(shù)（shǔ）著現(xiàn)實生活中客觀存在的諸如一個個、一顆顆、一幢幢等相關(guān)事實，而后便抽象成為數(shù)（shù）。這就是說，數(shù)的來路，是一個符號化的過程，是一個抽象的過程。我們來看邵老師和樊老師的課。作為全課核心研究對象的“1000”“235”“803”三個數(shù)，來自于三杯真實存在的小棒。研究三個數(shù)，其現(xiàn)實背景是“探討三杯小棒分別有多少根”。于是，數(shù)成為了小棒數(shù)量的符號化刻畫。王老師在教學(xué)中也有相應(yīng)體現(xiàn)。面對一瓶頗具原生態(tài)、但數(shù)量無從得知的小正方體，教師引導(dǎo)學(xué)生借助課件加以有序梳理，生成了“2 片+3 條+5個”的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而提取出235這個數(shù)。這個過程，同樣凸顯了數(shù)“源于現(xiàn)實，成于抽象”的符號化來源。長期這樣教學(xué)的理想結(jié)果是，學(xué)生一旦走進(jìn)生活場景，便會自覺產(chǎn)生關(guān)于數(shù)的聯(lián)想。毫無疑問，此時的數(shù)感水平已至高階。

2.數(shù)的“回路”：應(yīng)用。

在數(shù)感培育中，有來有回成通路。王老師教完“1000”后，花了較多篇幅引導(dǎo)學(xué)生體驗“生活中的1000”。課堂現(xiàn)場中，我們感受到，學(xué)生在“觸碰”1000 顆黃豆、1000 張紙、1000 元人民幣、1000米高樓（跑道）后，對數(shù)的概念更清晰了：在數(shù)學(xué)中，1000 的內(nèi)涵是恒定的；在生活中，從質(zhì)量、厚度、體積等角度看，1000 的外延又是極其豐富的。由此，數(shù)回歸生活、刻畫生活的應(yīng)用價值便進(jìn)入了每位學(xué)生的主體視野。這個過程，是數(shù)學(xué)反饋生活的過程，也是數(shù)感得以歷練的載體。未來，假如學(xué)生每看到一個數(shù)，能自覺聯(lián)想這個數(shù)在現(xiàn)實生活中的存在狀態(tài)，其數(shù)感水平定然已達(dá)“不俗”的層次。

綜合全文所述，圍繞“數(shù)感在哪里？”這個核心話題，筆者以為，曾經(jīng)虛無縹緲的“數(shù)感”，其實就隱藏在“大小”“分合”“來回”等具體可見的活動之間。數(shù)感，作為一種感覺，顯然不會拘泥于一個雖明確但狹隘的標(biāo)準(zhǔn)，而是一種張弛有度、兼容并蓄的數(shù)學(xué)思辨。