數(shù)學(xué)絕對(duì)有用

Humphrey Liu 譯

高德納教授是斯坦福大學(xué)名譽(yù)退休教授，“算法分析之父”，若干計(jì)算機(jī)程序系統(tǒng)的創(chuàng)造者，字型設(shè)計(jì)系統(tǒng)Metafont的創(chuàng)造者，也是《計(jì)算機(jī)程序設(shè)計(jì)藝術(shù)》一書的作者——此書是計(jì)算機(jī)程序員的圣經(jīng)．

高德納教授參與了我發(fā)起的“科學(xué)中的數(shù)學(xué)”項(xiàng)目．以下是高德納教授對(duì)我所問的十個(gè)問題而提供的慷慨回復(fù)．

1．描述你念書的時(shí)候數(shù)學(xué)課是怎樣的？

我們這代人（在美國威斯康辛州）在二年級(jí)學(xué)乘法表，五年級(jí)學(xué)分?jǐn)?shù)，九年級(jí)學(xué)代數(shù)，十年級(jí)學(xué)平面幾何，十一年級(jí)學(xué)復(fù)雜算術(shù)，十二年級(jí)學(xué)立體幾何．我提出的很多數(shù)學(xué)問題老師們都無法回答，所以我的大部分時(shí)間只能用于思考其他學(xué)科（英文，拉丁文，物理，化學(xué)，生物，音樂）的問題．但在我家，父親有一臺(tái)機(jī)械式加法乘法計(jì)算器，我很喜歡玩它．我花了數(shù)百小時(shí)用于畫形如sqrt（x+a）-sqrt（x+b）（sqrt表示開方運(yùn)算，其中a，b可以取不同的值）的函數(shù)圖象，由于使用了不同顏色的鉛筆，所以我可以將不同的圖象畫在同一張紙上．

2．你在學(xué)校學(xué)的數(shù)學(xué)對(duì)你以后的生活有用嗎？

絕對(duì)有用．我在數(shù)學(xué)課上學(xué)的東西沒有一個(gè)不在反復(fù)使用的．例如，幾何課不僅教我如何嚴(yán)格地證明，也為我創(chuàng)造字型設(shè)計(jì)系統(tǒng)Metafont語言提供了想法．很多字體是用這種語言設(shè)計(jì)的，這些字體正被全世界數(shù)以百萬計(jì)的人使用．

3．你心算需要有多優(yōu)異才能在頭腦中做計(jì)算？

我很欣慰我能記住乘法表直到12×12．不過我覺得記住更多（比如直到99×99）將浪費(fèi)時(shí)間．僅僅當(dāng)問題相當(dāng)容易或者問題中含有符號(hào)而不僅僅是數(shù)字的時(shí)候，心算是非常重要的．當(dāng)我做研究的時(shí)候，開始時(shí)我通常會(huì)使用很多草稿紙進(jìn)行部分計(jì)算；而我邊游泳邊思考這個(gè)問題時(shí)，會(huì)獲得靈感，順利地解決它．

4．?dāng)?shù)學(xué)教導(dǎo)我們可以把兩個(gè)事物放一起而創(chuàng)造一個(gè)新事物，這在你做的事情中重要嗎？

復(fù)雜的結(jié)構(gòu)是由簡單的結(jié)構(gòu)用簡單的方式結(jié)合的．我認(rèn)為計(jì)算機(jī)科學(xué)家能比數(shù)學(xué)家更好地明白這點(diǎn)，因?yàn)槲覀儗W(xué)會(huì)了如何在一臺(tái)機(jī)器中表示多種數(shù)據(jù)．

5．?dāng)?shù)學(xué)是關(guān)于發(fā)現(xiàn)模式的．你在研究中需要尋找模式或者模式的反例嗎？

是的，我覺得數(shù)學(xué)事實(shí)上是模式的科學(xué)．我日常處理的模式是一些事物之間的規(guī)律，而不是數(shù)字之間的規(guī)律．不過數(shù)值模式也非常重要，例如：

1=12，1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42，等等．

13=12，13+23=（1+2）2，13+23+33=（1+2+3）2，等等．

6．?dāng)?shù)學(xué)也教導(dǎo)我們平衡和相等，這種觀念在你的研究中有用嗎？

在前面提到的字型設(shè)計(jì)系統(tǒng)Metafont語言中，我們通過用某些關(guān)鍵的點(diǎn)應(yīng)滿足的方程所畫的直線來表示字母A的形狀．“左干從基線開始，距離邊框左邊沿半個(gè)單位，直到大寫字母高，左干的斜率等于右干斜率的相反數(shù)．”

7．?dāng)?shù)學(xué)幫助我們表示數(shù)量和數(shù)值測(cè)量，你工作中做這些嗎？

實(shí)際上我描繪希臘字母π的程序，有兩個(gè)地方使用了數(shù)3．141 59．

8．你需要精確測(cè)量事物嗎？

計(jì)算機(jī)科學(xué)家必須特別仔細(xì)，因?yàn)樾〉腻e(cuò)誤很容易被放大，并導(dǎo)致災(zāi)難性后果．

9．你怎樣使用統(tǒng)計(jì)來分析你的結(jié)果？

我的工作經(jīng)常涉及比較不同的計(jì)算方法，以此確定哪一個(gè)最快．基本的統(tǒng)計(jì)，比如關(guān)于運(yùn)行時(shí)間的最大值、平均值、中位數(shù)以及方差，這些在分析中是關(guān)鍵的．更大膽的說，在今天已知的大多數(shù)計(jì)算方法中，隨機(jī)數(shù)和概率的概念是絕對(duì)本質(zhì)性的因素．

10．你還有其他的關(guān)于數(shù)學(xué)的使用的領(lǐng)悟嗎？

例如，當(dāng)我刷牙時(shí)，我需要覆蓋八個(gè)區(qū)域，分別為左和右，上和下，內(nèi)和外．最有效的方式是沿著哈密頓路或者格雷碼，即左上外側(cè)，右上外側(cè)，右上內(nèi)側(cè)，左上內(nèi)側(cè)，左下內(nèi)側(cè)，右下內(nèi)側(cè)，右下外側(cè)，左下外側(cè)．

高德納教授的回答帶給我很多思考，也希望能帶給大家思考．