建筑結(jié)構(gòu)顯式擬靜力推覆分析方法研究

曹勝濤， 李志山， 黃吉鋒， 楊志勇

（1.廣州大學(xué) 廣東省地震工程與應(yīng)用技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，廣州510405；2.中國建筑科學(xué)研究院，北京100013）

1 引 言

結(jié)構(gòu)非線性分析是結(jié)構(gòu)性能化設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》（GB 50011—2010）［1］和《高層民用建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ3—2010）［2］指出，部分結(jié)構(gòu)的非線性驗(yàn)算可以采用靜力推覆分析（即Push-Over分析）。結(jié)構(gòu)Push-O-ver分析工程概念清晰，可相對便捷地獲得結(jié)構(gòu)的抗震性能，因此得到了較為廣泛的研究和應(yīng)用。

Freeman等［3］首先提出了 Push-Over分析方法。文獻(xiàn)［4-6］分別基于簡化的宏觀非線性模型對框架和剪力墻結(jié)構(gòu)進(jìn)行了Push-Over分析。黃吉鋒等［7］采用纖維梁元和平面應(yīng)力膜元對高層型鋼混凝土框筒混合結(jié)構(gòu)的擬靜力試驗(yàn)進(jìn)行分析，驗(yàn)證了Push-Over分析的正確性。為確定Push-Over分析的適用性，文獻(xiàn)［8，9］分別基于塑性鉸模型和材料非線性本構(gòu)模型對多高層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了IDA分析和Push-Over分析，并對比了兩者的差異性。由于Push-Over分析中將結(jié)構(gòu)等效為單自由度體系，且無法考慮地震荷載的頻譜和持時(shí)因素，某些情況下其計(jì)算結(jié)果與IDA分析有一定差距。為此，文獻(xiàn)［10-12］分別對Push-Over分析的加載方式進(jìn)行了改進(jìn)。上述靜力推覆分析一般都采用隱式算法，且為減小計(jì)算量并保證非線性計(jì)算的收斂性，多采用簡化或宏觀非線性計(jì)算模型。

本文將結(jié)構(gòu)精細(xì)化非線性有限元模型和顯式擬靜力求解方法結(jié)合，提出了結(jié)構(gòu)擬靜力推覆分析EQPA（Explicit Quasi-static Push-Over Analysis）。顯式分析計(jì)算量與模型規(guī)模呈線性關(guān)系，且有效克服了隱式非線性分析收斂性差的問題。將EQPA在自主研發(fā)的顯式動(dòng)力非線性分析軟件SAUSAGE中完成開發(fā)，實(shí)現(xiàn)了CPU＋GPU異構(gòu)并行計(jì)算。利用EQPA對某超高層復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行擬靜力推覆分析，并與動(dòng)力時(shí)程分析結(jié)果進(jìn)行對比，對EQPA結(jié)果的準(zhǔn)確性和適用性進(jìn)行了研究。

2 擬靜力推覆分析（EQPA）

結(jié)構(gòu)靜力推覆分析將靜態(tài)荷載單調(diào)、逐級加載到結(jié)構(gòu)上，得到結(jié)構(gòu)能力譜曲線。通過能力譜曲線和不同水準(zhǔn)地震作用下的彈塑性需求譜曲線的性能點(diǎn)及相對應(yīng)結(jié)構(gòu)的變形，判斷結(jié)構(gòu)的抗震性能。假如能力譜曲線和需求譜曲線不相交或者相交性能點(diǎn)對應(yīng)的結(jié)構(gòu)層間位移角超過規(guī)范限值，則表明結(jié)構(gòu)不滿足此水準(zhǔn)地震作用下的性能要求。

采用顯式求解方法實(shí)現(xiàn)擬靜力推覆分析需解決兩個(gè)關(guān)鍵問題。（1）顯式方法為條件穩(wěn)定，最大穩(wěn)定分析步長一般較小，需利用并行計(jì)算提高分析效率；（2）利用合理的加載方式控制結(jié)構(gòu)慣性效應(yīng)，進(jìn)而逼近靜力解。

EPQA中動(dòng)力方程的求解采用完全中心差分格式［13］，具有兩階精度，最大穩(wěn)定步長Δt需滿足

式中Tn為結(jié)構(gòu)最高階振型周期。

顯式動(dòng)力分析中，可由當(dāng)前時(shí)刻的位移和歷史量得到當(dāng)前時(shí)刻的單元內(nèi)力；組裝節(jié)點(diǎn)內(nèi)力后，利用動(dòng)力方程可得到下一時(shí)刻的位移和歷史量；每個(gè)顯式分析步的計(jì)算量、存儲空間與自由度呈線性關(guān)系。顯式分析中，單元內(nèi)力計(jì)算（含非線性本構(gòu)應(yīng)力更新）、組裝節(jié)點(diǎn)內(nèi)力和動(dòng)力方程求解分別在單元、節(jié)點(diǎn)以及節(jié)點(diǎn)自由度層面上數(shù)據(jù)不相關(guān)。因此，EQPA通過CPU＋GPU異構(gòu)的細(xì)粒度并行計(jì)算可有效提高分析效率。

調(diào)整顯式擬靜力分析中側(cè)向荷載的加載模式和加載速率是控制慣性效應(yīng)的主要手段之一。在施工分析完成的基礎(chǔ)上，EQPA可采用慣性荷載方式實(shí)現(xiàn)倒三角形加載、側(cè)向振型加載［14］、均勻加載和變振型加載等側(cè)向加載模式。理論上，側(cè)向慣性力的加載速率越慢，顯式擬靜力解越接近靜力解，但分析時(shí)間會(huì)越長。為保證準(zhǔn)確性和計(jì)算效率，本文基于文獻(xiàn)［15，16］，將EQPA初始側(cè)向慣性力的加載速率取法為，每1m／s2加載時(shí)間為結(jié)構(gòu)第1階振型周期的10倍，加載速率為

式中 T1為結(jié)構(gòu)第1階振型周期，da＝1m／s2。

靜力分析中結(jié)構(gòu)只有應(yīng)變能（包括彈性應(yīng)變能和非線性耗能），而顯式擬靜力分析中，結(jié)構(gòu)除應(yīng)變能外還有動(dòng)能Edamp和阻尼耗能Ekinet（本文將兩者之和簡稱為非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能）。非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能占結(jié)構(gòu)總能的比例越小，表明顯式擬靜力解越逼近靜力解。因此，EQPA通過分析過程中非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能占結(jié)構(gòu)總能Est的比例來判斷分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。當(dāng)非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能占比大于5%，不滿足式（3）時(shí)，EQPA加載速率減半并重新進(jìn)行計(jì)算。EQPA可指定目標(biāo)層間位移角θaim，當(dāng)分析得到的當(dāng)前時(shí)刻最大層間位移角θi，max達(dá)到或大于指定值，且不滿足式（4）時(shí)，EQPA完成分析。

由于EQPA的側(cè)向加載速率較小，通過監(jiān)測分析過程中非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能占結(jié)構(gòu)總能的比例，發(fā)現(xiàn)阻尼對EQPA影響相對較小。因此，EQPA采用質(zhì)量阻尼，其計(jì)算量小，且對顯式求解的穩(wěn)定性無不利影響［17］。質(zhì)量阻尼系數(shù)取值可表示為

式中ω1和ξ1為結(jié)構(gòu)第1階振型的頻率和阻尼比。

EQPA能力譜曲線的譜加速度和譜位移可表示為

式中Vb，un和M 分別為結(jié)構(gòu)的基底反力、頂點(diǎn)位移和質(zhì)量；Γ1和φn，1為結(jié)構(gòu)第1階振型加載方向的質(zhì)量參與系數(shù)和頂點(diǎn)振幅。

EQPA需求譜參考薛彥濤等［18］給出的公式，本文不再贅述。本文提出的EQPA分析過程如圖1所示。

為避免結(jié)構(gòu)非線性宏觀模型參數(shù)不易確定的問題，EQPA基于材料非線性的精細(xì)化有限元來反映結(jié)構(gòu)推覆過程中結(jié)構(gòu)的非線性特性。采用Timoshenko纖維梁元模擬柱和梁構(gòu)件，如圖2所示，混凝土本構(gòu)模型采用單軸塑性損傷本構(gòu)模型。如圖3所示，鋼筋混凝土樓板和剪力墻采用減縮積分的分層殼單元［19－21］，混凝土本構(gòu)模型采用平面塑性損傷模型［22，23］。鋼筋采用可考慮隨動(dòng)強(qiáng)化的von Mises模型［24］。材料本構(gòu)模型的參數(shù)參考《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》［17］中材料的標(biāo)準(zhǔn)值。

進(jìn)行大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)精細(xì)化有限元模型非線性靜力分析時(shí)，隱式非線性迭代需要不斷更新單元?jiǎng)傟?、組裝整體剛陣和對線性方程組求逆，計(jì)算量隨自由度呈幾何式增長，需要大量的存儲空間和計(jì)算時(shí)間，進(jìn)入強(qiáng)非線性后，計(jì)算的收斂性無法保證。EQPA基于顯式擬靜力方法和CPU＋GPU異構(gòu)并行計(jì)算可有效克服隱式分析中計(jì)算量大、分析時(shí)間長和收斂困難的問題［25，26］，更適用于大規(guī)模復(fù)雜結(jié)構(gòu)精細(xì)有限元模型的靜力推覆分析。

圖1 EQPA分析流程Fig.1 Flowcharts for EQPA

圖2 纖維梁單元截面剖分示意圖Fig.2 Diagram of fiber beam element section

3 實(shí)際工程應(yīng)用

某部分框支剪力墻結(jié)構(gòu)，地震設(shè)防烈度為7.5°，場地類別為III類，場地分組為第二組。如圖4所示，結(jié)構(gòu)共48層，總高為174.5m，高寬比約為7.65。結(jié)構(gòu)1層和2層層高為6.5m，3層～6層層高為5.5m，8層～48層層高為3.2m。為滿足建筑需求，底部1層～6層需要大開間，故部分剪力墻無法落地。結(jié)構(gòu)第7層為高位轉(zhuǎn)換層，層高為8.3m，有5道框支轉(zhuǎn)換梁；在外圍短肢剪力墻和框支柱設(shè)置型鋼，并延伸至第9層。

計(jì)算模型中，梁單元數(shù)為52236，殼元數(shù)為90404，自由度數(shù)為525024，總重為1.12×105t，顯式分析步長為1.38×10－4s。結(jié)構(gòu)第1階振型周期為3.71s，x向和y 向的有效質(zhì)量為0.76×105t和0.08×105t，有效質(zhì)量參與系數(shù)分別為0.68和0.07，所以此結(jié)構(gòu)第1階振型以x向?yàn)橹?。在施工分析完成的基礎(chǔ)上，進(jìn)行EQPA和動(dòng)力分析。

圖3 鋼筋混凝土分層殼單元Fig.3 Layered shell element for reinfocred concrete

圖4 某超高層剪力墻結(jié)構(gòu)Fig.4 A super high-rise shear wall structure

薛彥濤等［18］建議高層結(jié)構(gòu)Push-Over分析應(yīng)采用均勻加載模式或變振型加載方式中的一種，與側(cè)向振型加載組成兩種加載方式。由于篇幅限制，本文只采用均勻加載模式從x向?qū)Y(jié)構(gòu)進(jìn)行EQPA分析，初始每1m／s2加載時(shí)間為37.1s，為結(jié)構(gòu)基本周期的10倍，如圖5所示。EQPA目標(biāo)最大層間位移角取為1／50，振型阻尼比取5%，質(zhì)量阻尼系數(shù)按式（5）取值為0.17。

不失一般性，動(dòng)力時(shí)程分析采用三組人工合成地震動(dòng)，其加速度時(shí)程及反應(yīng)譜如圖6所示。各組地震動(dòng)的4個(gè)動(dòng)力時(shí)程分析工況的峰值加速度PGA取值和地震影響系數(shù)最大值αmax列入表1。相對于IDA［27］，本文動(dòng)力時(shí)程分析采用的地震動(dòng)和分析工況都相對較少，因此將其稱為簡化動(dòng)力增量分析，即sIDA（simplified ground motion incremental dynamic analysis）。動(dòng)力分析采用前17階振型阻尼［28］，阻尼比均取為5%。

EQPA加載至48s時(shí)，結(jié)構(gòu)最大層間位移角達(dá)到目標(biāo)值，分析完成。EQPA和sIDA耗時(shí)分別為101min和2034min，EQPA耗時(shí)約為sIDA的4.97%。這主要是由sIDA分析工況較多和時(shí)域振型阻尼力計(jì)算量大造成的。

表2給出了sIDA各工況的結(jié)構(gòu)最大層間位移角。罕遇地震作用下，結(jié)構(gòu)最大層間位移角均小于《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》限值的1／120；極罕遇地震作用下，結(jié)構(gòu)最大層間位移角均大于規(guī)范限值。由于采用的地震動(dòng)為人工合成，各組地震作用下的結(jié)構(gòu)最大層間位移角離散程度較小，最大標(biāo)準(zhǔn)差率小于20%。參考《建筑抗震設(shè)計(jì)規(guī)范》中三組地震作用結(jié)果取包絡(luò)的做法，本文分析中均取sIDA分析的最大層間位移角包絡(luò)值對應(yīng)的工況結(jié)果（即地震動(dòng)1的計(jì)算結(jié)果）。

圖5 EQPA側(cè)向荷載加載時(shí)程Fig.5 Lateral load time history in EQPA

表1 地震動(dòng)幅值Tab.1 Amplitude of the ground motion

圖6 地震動(dòng)加速度時(shí)程及其反應(yīng)譜Fig.6 Acceleration history and response spectrum of the ground motion

表2 sIDA最大層間位移角Tab.2 Max story drift of sIDA

EQPA計(jì)算得到的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)速度時(shí)程和加速度時(shí)程如圖7所示，最大速度小于0.15m／s，最大加速度小于0.1m／s2。EQPA分析中的結(jié)構(gòu)能量時(shí)程如圖8所示，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能和阻尼耗能隨時(shí)間增加而增加。

從表3可以看出，EQPA分析過程中，阻尼耗能和動(dòng)能與結(jié)構(gòu)總能的最大比值分別為1.03%和1.91%，滿足非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能最大限值要求。結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)速度、加速度及能量分析表明，結(jié)構(gòu)EQPA分析中的慣性效應(yīng)得到有效抑制［29］。

EQPA得到結(jié)構(gòu)能力譜曲線和性能點(diǎn)，如圖9所示，多遇地震、設(shè)防地震和罕遇地震的需求譜與能力譜相交；極罕遇地震需求譜與能力譜不相交。為與sIDA對比，取最終時(shí)刻狀態(tài)作為EQPA極罕遇地震性能點(diǎn)。

圖7 EQPA中結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)速度和加速度Fig.7 Top velocity and acceleration of the structure in EQPA

圖8 EQPA中結(jié)構(gòu)能量時(shí)程Fig.8 Energy time history of the structure in EQPA

表3 EQPA能量統(tǒng)計(jì)Tab.3 Energy statistics in EQPA

將sIDA中每個(gè)動(dòng)力工況的結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)最大位移和最大基底剪力代入式（6，7），得到sIDA的性能點(diǎn)和性能曲線，如圖10所示。從性能曲線可以看出，在EQPA設(shè)防地震性能點(diǎn)之前，與sIDA性能曲線比較接近；在EQPA罕遇地震和極罕遇地震性能點(diǎn)之間，sIDA性能曲線偏于保守；整體而言兩者的性能曲線較為接近。從性能點(diǎn)來看，sIDA多遇地震、設(shè)防地震和罕遇地震的性能點(diǎn)的譜位移和譜加速度均不同程度上大于EQPA性能點(diǎn)，結(jié)果列入表4；sIDA極罕遇地震性能點(diǎn)譜加速度和EQPA基本接近，而譜位移小于EQPA極罕遇地震性能點(diǎn)結(jié)果。

圖9 EQPA性能分析Fig.9 Performance analysis in EQPA

圖10 EQPA與sIDA性能對比Fig.10 Performance comparison of EQPA and sIDA

表4 EQPA與sIDA誤差統(tǒng)計(jì)Tab.4 Error statistics between EQPA and sIDA

如圖11和圖12所示，sIDA和EQPA各性能點(diǎn)對應(yīng)的樓層變形和層間剪力趨勢基本一致。以各性能點(diǎn)對應(yīng)的αmax為橫軸，sIDA和EQPA各性能點(diǎn)對應(yīng)的最大層間位移角（最大變形樓層）為縱軸，如圖13所示，EQPA多遇地震、設(shè)防地震和罕遇地震的最大變形樓層均為12層，靠近加強(qiáng)層，極罕遇地震的最大變形樓層下移到第6層；sIDA多遇地震最大變形樓層為31層，設(shè)防地震、罕遇地震和極罕遇地震的最大變形樓層分別位于9層、10層和12層，基本位于加強(qiáng)層及上部樓層。EQPA和sIDA的極罕遇地震性能點(diǎn)的層間位移角分別為1／50和1／74，均大于規(guī)范限值1／120；其他性能點(diǎn)滿足規(guī)范變形限值，且EQPA最大層間位移角均小于sIDA計(jì)算結(jié)果。由于結(jié)構(gòu)在靜力推覆作用下變形模式會(huì)較為穩(wěn)定，因此EQPA最大變形樓層相對sIDA更為穩(wěn)定。

圖11 EQPA最大層響應(yīng)Fig.11 Max story response in EQPA

圖12 sIDA最大層響應(yīng)Fig.12 Max story response in sIDA

圖13 EQPA與sIDA最大層間位移角對比Fig.13 Max story drift comparison of EQPA and sIDA

如圖14所示，sIDA多遇地震和設(shè)防地震性能點(diǎn)的最大基底剪力均大于EQPA計(jì)算結(jié)果；sIDA和EQPA的罕遇地震性能點(diǎn)結(jié)果基本一致；EQPA極罕遇地震性能點(diǎn)的最大基底剪力大于sIDA計(jì)算結(jié)果。如圖15所示，sIDA各性能點(diǎn)對應(yīng)的最大應(yīng)變能均大于EQPA計(jì)算結(jié)果。

如圖16所示，多遇地震、設(shè)防地震、罕遇地震和極罕遇地震性能點(diǎn)對應(yīng)的轉(zhuǎn)換層剪力墻損傷隨著地震烈度增大而加劇。sIDA結(jié)構(gòu)破壞明顯嚴(yán)重于EQPA結(jié)果，但構(gòu)件出現(xiàn)損傷的順序基本相同，先連梁后墻肢，框支轉(zhuǎn)換梁基本為彈性。

圖14 EQPA與sIDA最大層間剪力對比Fig.14 Max story shear comparison of EQPA and sIDA

相對于動(dòng)力分析，靜力推覆分析未考慮地震動(dòng)的頻譜、持時(shí)及結(jié)構(gòu)高階振型等動(dòng)力效應(yīng)，從而導(dǎo)致某些響應(yīng)偏??；但靜力單調(diào)加載的累積效應(yīng)也可能會(huì)導(dǎo)致某些響應(yīng)偏大。受動(dòng)力效應(yīng)和累積效應(yīng)共同影響，除結(jié)構(gòu)極罕遇地震性能點(diǎn)的變形和層間剪力外，EQPA各性能點(diǎn)的變形、力、應(yīng)變能和損傷相對于sIDA計(jì)算結(jié)果均偏小。

雖然EQPA和sIDA分析結(jié)果具有一定差異，但兩者的性能曲線、層間變形規(guī)律、薄弱樓層、滿足規(guī)范限值要求的最大抗震性能點(diǎn)和構(gòu)件損傷規(guī)律較為接近，表明EQPA一定程度上反映了結(jié)構(gòu)的抗震性能。

圖15 EQPA與sIDA應(yīng)變能對比Fig.15 Strain energy comparison of EQPA and sIDA

圖16 EQPA與sIDA轉(zhuǎn)換層剪力損傷對比Fig.16 Transfer story shear wall damage comparison of EQPA and sIDA

4 結(jié) 論

（1）本文將基于材料非線性的精細(xì)化有限元模型和顯式擬靜力求解方法結(jié)合，提出了結(jié)構(gòu)的擬靜力推覆分析方法（EQPA），并給出了EQPA側(cè)向荷載加載模式。EQPA可有效克服結(jié)構(gòu)精細(xì)化有限元模型隱式Push-Over分析中計(jì)算量大和收斂性差的問題。

（2）將EQPA在自主研發(fā)的CPU＋GPU并行有限元軟件SAUSAGE中完成開發(fā)實(shí)現(xiàn)。使用EQPA對某超高層剪力墻結(jié)構(gòu)的抗震性能進(jìn)行了分析。EQPA分析中結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)速度和加速度的最大值分別小于0.15m／s和0.01m／s2；非結(jié)構(gòu)應(yīng)變能與結(jié)構(gòu)總能量的最大比例小于5%，表明EQPA中結(jié)構(gòu)慣性效應(yīng)得到有效抑制，驗(yàn)證了EQPA的正確性。

（3）對某超高層剪力墻結(jié)構(gòu)EQPA與sIDA（三組人工地震動(dòng)的簡化動(dòng)力增量分析）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了對比。由于靜力推覆分析過程中未考慮結(jié)構(gòu)動(dòng)力效應(yīng)，EQPA多遇地震、設(shè)防地震和罕遇地震的最大層間位移角、最大基底剪力、應(yīng)變能和損傷均小于sIDA計(jì)算結(jié)果。但EQPA和sIDA得到的抗震性能曲線、薄弱樓層、滿足規(guī)范限值的最大抗震性能點(diǎn)和構(gòu)件損傷規(guī)律基本一致。且EQPA使用方便、計(jì)算量較少，因此具有一定實(shí)用性，其結(jié)果具有工程參考價(jià)值。