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    外嚙合齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型的研究

    2019-01-09 02:23:08錢林峰於孝朋鄭紅梅
    關(guān)鍵詞:齒輪泵參量液壓油

    陳 科, 錢林峰, 於孝朋, 鄭紅梅, 方 旭

    (合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院,合肥230009)

    1 引 言

    齒輪泵具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造方便、抗污染能力強(qiáng)和自吸性能好等優(yōu)點(diǎn),在機(jī)床行業(yè)、航空工業(yè)及工程機(jī)械中應(yīng)用十分廣泛[1]。但長(zhǎng)期以來(lái),嚴(yán)重的高壓泄漏問(wèn)題使得中高壓和高壓齒輪泵難以得到廣泛應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪泵的流量模型進(jìn)行了大量研究。D pper等[2]設(shè)計(jì)出運(yùn)用在精密儀器上的微型齒輪泵,可以定量輸送粘性油液。Manring等[3]建立了異齒數(shù)外嚙合齒輪泵的流量脈動(dòng)模型,并為齒輪泵的小型化和降低流量脈動(dòng)提供思路。Huang等[4]推導(dǎo)出精確的流量公式,并研究了外嚙合直齒輪泵的流量特性。甘學(xué)輝等[5]對(duì)齒輪泵的性能進(jìn)行了較詳細(xì)的研究,推導(dǎo)出了齒輪泵的流量脈動(dòng)表達(dá)式,并為降低齒輪泵流量脈動(dòng)提出改善建議;同時(shí)推導(dǎo)出了齒輪泵的軸向及徑向泄漏的計(jì)算表達(dá)式。羅驥等[6]對(duì)內(nèi)嚙合齒輪泵進(jìn)行研究,建立了內(nèi)嚙合齒輪泵內(nèi)泄漏模型,并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。趙虹輝[7]重點(diǎn)研究了微型外嚙合齒輪泵的公差參數(shù)對(duì)流量的影響,綜合運(yùn)用了正交試驗(yàn)、計(jì)算機(jī)仿真以及遺傳算法,對(duì)齒輪參數(shù)公差進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),并給出了較優(yōu)的齒輪參數(shù)的加工公差,這對(duì)提高企業(yè)生產(chǎn)合格率具有重要指導(dǎo)意義。

    上述關(guān)于齒輪泵的研究都是將參量作為確定值。但在齒輪泵生產(chǎn)制造過(guò)程中和實(shí)際工作時(shí),由于齒輪泵設(shè)計(jì)、裝配公差和軸套的浮動(dòng)導(dǎo)致其軸向間隙和徑向間隙不是確定值,液壓油溫度、工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速這些外部因素也不是確定值。齒輪泵的傳統(tǒng)研究屬于理想狀態(tài)下的研究,得出的結(jié)論與工程實(shí)際有一定差距。采用隨機(jī)不確定性理論建立的齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型可以更加接近工程實(shí)際。不確定性理論已經(jīng)廣泛運(yùn)用于工程實(shí)際,但在齒輪泵領(lǐng)域的運(yùn)用并不多見(jiàn)[8,9]。本文將運(yùn)用隨機(jī)不確定理論研究齒輪泵內(nèi)泄漏模型。將齒輪泵輸送液壓油的過(guò)程視為隨機(jī)過(guò)程,將齒輪泵的軸向間隙尺寸、徑向間隙尺寸、液壓油溫度、工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速作為隨機(jī)變量,運(yùn)用隨機(jī)因子法和代數(shù)綜合法建立齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型,進(jìn)而獲得在不確定性下齒輪泵的容積效率。

    2 齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型的建立

    齒輪泵的容積損失主要由以下四個(gè)部分組成[10]:

    (1)軸向間隙泄漏Δqs

    齒輪泵軸向間隙的油液泄漏是二元縫隙流動(dòng)[13]。其泄漏流量由文獻(xiàn)[13]可得

    式中

    式中θh為高壓腔包角,2θb為過(guò)渡區(qū)包角,s為軸向間隙,Δp為齒輪泵進(jìn)出口壓強(qiáng)差,Rz為齒輪軸半徑,Ri為齒根圓半徑,ρ為液壓油密度,ω為齒輪角速度,μ為油液的動(dòng)力粘度。

    液壓油的粘度μ隨溫度和壓強(qiáng)的變化關(guān)系式為[11]

    式中ρ為液壓油密度,γ50為油液在50℃、1個(gè)大氣壓時(shí)的運(yùn)動(dòng)粘度,α為油液的粘壓系數(shù),λ為油液的粘溫系數(shù)。

    (2)徑向間隙泄漏Δqδ

    由于齒頂與殼體的徑向間隙很小,這里油液的泄漏可看成層流流動(dòng)。因此可采用兩平行平板間隙流動(dòng)理論來(lái)計(jì)算齒頂與殼體的泄漏[11]。

    式中 B為齒寬,Δp為高低壓腔壓差,Se為齒頂厚,δ為齒頂與殼體的徑向間隙,Z0為過(guò)渡區(qū)齒數(shù),Ra為齒頂圓半徑,n為齒輪轉(zhuǎn)速。

    (3)齒面嚙合處泄漏Δqn

    在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中,有一部分油液從齒面接觸處泄漏。一般泄漏量不大,約占總泄漏量的5%[14]。本文取Δqn=5%。

    (4)液體壓縮時(shí)的彈性損失Δqe

    齒輪泵在工作過(guò)程中,油液隨齒槽從低壓腔旋轉(zhuǎn)到高壓腔,油液在高壓下會(huì)有彈性損失。低壓齒輪泵一般可忽略不計(jì),但對(duì)于高壓齒輪泵,這部分損失不可忽視,由文獻(xiàn)[11]可得

    式中Eo為液體體積的彈性模量,Δp為高低壓腔壓差,Vj為齒間容積,Z為齒輪齒數(shù),n為齒輪泵轉(zhuǎn)速。

    液壓油體積彈性模量Eo模型為[11]

    式中 A=-6.076×10-19,B1=6.034×10-10,C=8.829×10-5,p為油壓。

    綜上,齒輪泵的內(nèi)泄漏模型Δq為

    則齒輪泵的容積效率hv為

    式中qt=nqv/1000為理論流量qv為齒輪泵理論排量。

    以上屬于齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型,即把各參量視為確定量。但在工程實(shí)際中,各參量并不是確定值。所以,現(xiàn)將不確定性理論引入齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型中進(jìn)行研究。

    隨機(jī)因子法指將函數(shù)表達(dá)式中隨機(jī)參量表示為確定量與隨機(jī)因子乘積形式[15]。隨機(jī)因子的期望為1,變異系數(shù)為均方差除以期望值,即i=σ/E。

    現(xiàn)將齒輪泵的軸向間隙s、徑向間隙δ、液壓油溫度t、工作壓力p和輸入轉(zhuǎn)速n這些參量作為隨機(jī)變量。由于以上變量產(chǎn)生的環(huán)境和機(jī)理不同,為了便于簡(jiǎn)化運(yùn)算,各變量間可近似看作不相關(guān)[15]。運(yùn)用隨機(jī)因子法表達(dá)如下:

    式中 上標(biāo)-為未考慮隨機(jī)不確定性時(shí)的量,上標(biāo)~為隨機(jī)因子,后面公式類似。

    以上5個(gè)參量的期望和均方差為

    代數(shù)綜合法基本思想為,先將函數(shù)表達(dá)式中已知期望和均方差兩個(gè)變量的數(shù)字特征運(yùn)算結(jié)果作為新變量的期望和均方差,新變量與第三變量的數(shù)字特征運(yùn)算結(jié)果做為又一個(gè)新變量的期望和均方差,以此類推,直至所有變量綜合為一個(gè)變量,其期望和均方差就是函數(shù)的數(shù)字特征[16]。

    根據(jù)隨機(jī)因子法和代數(shù)綜合法對(duì)齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型進(jìn)行運(yùn)算,可獲得齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型。

    令M1=t-t0,則

    令M2=eλM1,對(duì)M2進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)求期望,一階泰勒展開(kāi)求均方差:

    令M3=p-p0,則

    令M4=eαM1×10-5,對(duì)M4進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)求期望,一階泰勒展開(kāi)求均方差:

    液壓油動(dòng)力粘度μ的期望和均方差的求解:μ=ργ50M4/M2

    令E(Y1)=E()=E()3+3E()σ2(s)

    令 M5=(θh+θb)s3/[12μln(Ri/Rz)]

    令 Δqj1=

    令E(Y3)=E()=E()3+3E()σ2()

    由ω= (π/30)n可得

    Δqj2=M6ω3,則Δqj2的期望與方差為

    由Δqs=40000×(Δqj1+Δqj2)可得端面間隙的總泄漏量Δqs的期望和均方差為

    齒輪泵徑向間隙泄漏Δqδ的期望和均方差推導(dǎo)過(guò)程如下,

    令N1=,則有

    液體壓縮時(shí)彈性損失Δqe的期望和均方差推導(dǎo)過(guò)程如下:

    令L1=105(1+10-5p)=105+p,則有

    令L2=Ap2+B1p+C,L3=Ap2令Eo=L1/L2,則

    令L4=2pVjZ n,則

    由Δqe=1000×L4/Eo可得Δqe的期望和均方差為

    綜上,齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型為

    進(jìn)而獲得在不確定性下齒輪泵的容積效率為

    3 數(shù)值算例

    3.1 數(shù)值計(jì)算參數(shù)

    運(yùn)用上文傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型和隨機(jī)內(nèi)泄漏模型分別對(duì)文獻(xiàn)[11]的齒輪泵CBZb2050進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

    液壓油 YB-N46參量數(shù)值為α=1/432,λ=1/23.4,!50=27.51cst,ρ=900kg/m3,t=50℃。

    齒輪泵CBZb2050的參量數(shù)值為

    3.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

    文獻(xiàn)[12]通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得CBZb2050泵在額定工況下的容積效率,現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,其結(jié)果列入表1和表2。由表1和表2可知,CBZb2050齒輪泵在額定轉(zhuǎn)速n=2250r/min、額定壓力P=25MPa時(shí),實(shí)驗(yàn)測(cè)得容積效率為95.1%,由齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型計(jì)算得到容積效率為96.7%。為了與這些結(jié)果進(jìn)行比較,按第2節(jié)建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型對(duì)容積效率進(jìn)行數(shù)值計(jì)算,通過(guò)編制MATLAB程序求解容積效率的數(shù)字特征。

    軸向間隙、徑向間隙、液壓油溫度、工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速表達(dá)為含隨機(jī)因子的形式,其變異系數(shù)與隨機(jī)因子變異系數(shù)相同。

    選取變異系數(shù)范圍為0.01~0.4。在額定工況(n=2250r/min,P=25MPa),齒輪泵在不同變異系數(shù)下的容積效率期望E(hv)、均方差σ(hv)及變異系數(shù)ihv列入表3。變異系數(shù)ihv用來(lái)表征容積效率的分散性大小。由表3可以看出,

    (1)由齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型獲得容積效率的期望為93.0%~96.7%,與文獻(xiàn)[12]獲得的容積效率95.1%相比差異不大,表明所建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型正確。

    (2)隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28時(shí),與文獻(xiàn)[12]獲得的容積效率吻合,表明在此實(shí)驗(yàn)條件下,隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28。

    (3)齒輪泵容積效率期望E(hv)隨參量變異系數(shù)增大而降低,均方差σ(hv)隨參量變異系數(shù)增大而增大。

    圖1為齒輪泵容積效率變異系數(shù)隨參量變異系數(shù)的變化規(guī)律??梢钥闯?,齒輪泵容積效率變異系數(shù)隨參量變異系數(shù)增大而增大。

    在額定工況下(n=2250r/min,P=25MPa),齒輪泵在不同變異系數(shù)下,端面間隙的泄漏量Δqs的 期望E(Δqs)、徑向間隙的泄漏量Δqδ的期望E(Δqδ)、液 體 壓 縮 時(shí) 的 彈 性 損 失 Δqe的 期 望E(Δqe)以及容積效率的期望E(hv)列入表4。由表4可知,

    表1 CBZb2050泵在額定轉(zhuǎn)速下的容積效率實(shí)驗(yàn)測(cè)量值Tab.1 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated speed

    表2 CBZb2050泵在額定壓力下的容積效率實(shí)驗(yàn)測(cè)量值Tab.2 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated pressure

    (1)當(dāng)隨機(jī)變量變異系數(shù)等于0.28時(shí)(即在此實(shí)驗(yàn)條件下),計(jì)算得到端面間隙泄漏量Δqs的期望E(Δqs)=3.0274(L/min),徑向間隙泄漏量Δqδ的期望E(Δqδ)=1.8013(L/min),液體壓縮彈性損失Δqe的期望E(Δqe)=0.10068(L/min),分別占總泄漏量的58.5%,34.8%和1.9%。

    (2)變異系數(shù)對(duì)端面泄漏量影響最大,對(duì)徑向泄漏量影響次之,對(duì)液體壓縮時(shí)的彈性損失影響最小。

    表3 CBZb2050泵在不同變異系數(shù)下的容積效率數(shù)字特征Tab.3 Volume efficiency’s numeric characteristics of CBZb2050pump under different coefficient of variations

    圖1 齒輪泵容積效率變異系數(shù)隨參量變異系數(shù)變化規(guī)律Fig.1 Variation about volumetric efficiency’s coefficient of variation of gear pump with parameters’coefficient of variation

    (3)端面泄漏量最大,徑向泄漏量次之,液體壓縮時(shí)的彈性損失量最小。

    在額定轉(zhuǎn)速下(n=2250r/min),齒輪泵在不同壓力下的容積效率期望E(hv)、均方差σ(hv)及變異系數(shù)列入表5。由表5可知,

    (1)工作壓力對(duì)隨機(jī)變量的變異系數(shù)有影響,即在不同工作壓力下,隨機(jī)變量的變異系數(shù)不同。

    (2)相對(duì)于傳統(tǒng)模型容積效率的計(jì)算結(jié)果hv,隨機(jī)流量模型計(jì)算結(jié)果E(hv)更加逼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果,即隨機(jī)模型比傳統(tǒng)模型更符合工程實(shí)際。

    表4 在不同變異系數(shù)下各容積損失和容積效率的期望值Tab.4 Expectation of volume loss and volumetric efficiency under different coefficient of variations

    表5 齒輪泵CBZb2050在額定轉(zhuǎn)速下的變異系數(shù)和容積效率的期望和均方差Tab.5 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation,mean square deviation of volume efficiency under rated speed

    在額定壓力下(P=25MPa),齒輪泵在不同轉(zhuǎn)速下的容積效率期望E(hv)、均方差σ(hv)及變異系數(shù)列入表6。由表6可知,

    (1)輸入轉(zhuǎn)速對(duì)隨機(jī)變量的變異系數(shù)有影響,即在不同轉(zhuǎn)速下,隨機(jī)變量的變異系數(shù)不同。

    (2)相對(duì)于傳統(tǒng)模型容積效率的計(jì)算結(jié)果hv,隨機(jī)流量模型計(jì)算結(jié)果E(hv)更逼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果,即隨機(jī)模型比傳統(tǒng)模型更符合工程實(shí)際。

    表6 齒輪泵CBZb2050在額定壓力下的變異系數(shù)和容積效率的期望和均方差Tab.6 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation,mean square deviation of volume efficiency under rated pressure

    4 結(jié) 論

    (1)將不確定性理論引入齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型中進(jìn)行研究,獲得了齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型。計(jì)算得到容積效率的期望為93.0%~96.7%,與文獻(xiàn)[12]容積效率95.1%相比差異不大,表明所建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型的正確性;隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28時(shí),與文獻(xiàn)[12]實(shí)驗(yàn)獲得的容積效率吻合,表明齒輪泵工作時(shí)隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28。

    (2)與傳統(tǒng)模型相比,隨機(jī)內(nèi)泄漏模型能夠獲得在不同變異系數(shù)下齒輪泵容積效率期望與均方差的變化規(guī)律;所得到的容積效率期望更符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型比傳統(tǒng)模型更優(yōu)越。

    (3)變異系數(shù)對(duì)端面泄漏量影響最大,對(duì)徑向泄漏量影響次之,對(duì)液體壓縮時(shí)的彈性損失量影響最小。

    (4)工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速對(duì)隨機(jī)變量的變異系數(shù)有影響,且隨機(jī)模型比傳統(tǒng)模型更符合工程實(shí)際。

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