外嚙合齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型的研究

陳 科， 錢林峰， 於孝朋， 鄭紅梅， 方 旭

（合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，合肥230009）

1 引 言

齒輪泵具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、制造方便、抗污染能力強(qiáng)和自吸性能好等優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)床行業(yè)、航空工業(yè)及工程機(jī)械中應(yīng)用十分廣泛［1］。但長(zhǎng)期以來(lái)，嚴(yán)重的高壓泄漏問(wèn)題使得中高壓和高壓齒輪泵難以得到廣泛應(yīng)用。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)齒輪泵的流量模型進(jìn)行了大量研究。D pper等［2］設(shè)計(jì)出運(yùn)用在精密儀器上的微型齒輪泵，可以定量輸送粘性油液。Manring等［3］建立了異齒數(shù)外嚙合齒輪泵的流量脈動(dòng)模型，并為齒輪泵的小型化和降低流量脈動(dòng)提供思路。Huang等［4］推導(dǎo)出精確的流量公式，并研究了外嚙合直齒輪泵的流量特性。甘學(xué)輝等［5］對(duì)齒輪泵的性能進(jìn)行了較詳細(xì)的研究，推導(dǎo)出了齒輪泵的流量脈動(dòng)表達(dá)式，并為降低齒輪泵流量脈動(dòng)提出改善建議；同時(shí)推導(dǎo)出了齒輪泵的軸向及徑向泄漏的計(jì)算表達(dá)式。羅驥等［6］對(duì)內(nèi)嚙合齒輪泵進(jìn)行研究，建立了內(nèi)嚙合齒輪泵內(nèi)泄漏模型，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。趙虹輝［7］重點(diǎn)研究了微型外嚙合齒輪泵的公差參數(shù)對(duì)流量的影響，綜合運(yùn)用了正交試驗(yàn)、計(jì)算機(jī)仿真以及遺傳算法，對(duì)齒輪參數(shù)公差進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并給出了較優(yōu)的齒輪參數(shù)的加工公差，這對(duì)提高企業(yè)生產(chǎn)合格率具有重要指導(dǎo)意義。

上述關(guān)于齒輪泵的研究都是將參量作為確定值。但在齒輪泵生產(chǎn)制造過(guò)程中和實(shí)際工作時(shí)，由于齒輪泵設(shè)計(jì)、裝配公差和軸套的浮動(dòng)導(dǎo)致其軸向間隙和徑向間隙不是確定值，液壓油溫度、工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速這些外部因素也不是確定值。齒輪泵的傳統(tǒng)研究屬于理想狀態(tài)下的研究，得出的結(jié)論與工程實(shí)際有一定差距。采用隨機(jī)不確定性理論建立的齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型可以更加接近工程實(shí)際。不確定性理論已經(jīng)廣泛運(yùn)用于工程實(shí)際，但在齒輪泵領(lǐng)域的運(yùn)用并不多見(jiàn)［8，9］。本文將運(yùn)用隨機(jī)不確定理論研究齒輪泵內(nèi)泄漏模型。將齒輪泵輸送液壓油的過(guò)程視為隨機(jī)過(guò)程，將齒輪泵的軸向間隙尺寸、徑向間隙尺寸、液壓油溫度、工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速作為隨機(jī)變量，運(yùn)用隨機(jī)因子法和代數(shù)綜合法建立齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型，進(jìn)而獲得在不確定性下齒輪泵的容積效率。

2 齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型的建立

齒輪泵的容積損失主要由以下四個(gè)部分組成［10］：

（1）軸向間隙泄漏Δqs

齒輪泵軸向間隙的油液泄漏是二元縫隙流動(dòng)［13］。其泄漏流量由文獻(xiàn)［13］可得

式中

式中θh為高壓腔包角，2θb為過(guò)渡區(qū)包角，s為軸向間隙，Δp為齒輪泵進(jìn)出口壓強(qiáng)差，Rz為齒輪軸半徑，Ri為齒根圓半徑，ρ為液壓油密度，ω為齒輪角速度，μ為油液的動(dòng)力粘度。

液壓油的粘度μ隨溫度和壓強(qiáng)的變化關(guān)系式為［11］

式中ρ為液壓油密度，γ50為油液在50℃、1個(gè)大氣壓時(shí)的運(yùn)動(dòng)粘度，α為油液的粘壓系數(shù)，λ為油液的粘溫系數(shù)。

（2）徑向間隙泄漏Δqδ

由于齒頂與殼體的徑向間隙很小，這里油液的泄漏可看成層流流動(dòng)。因此可采用兩平行平板間隙流動(dòng)理論來(lái)計(jì)算齒頂與殼體的泄漏［11］。

式中 B為齒寬，Δp為高低壓腔壓差，Se為齒頂厚，δ為齒頂與殼體的徑向間隙，Z0為過(guò)渡區(qū)齒數(shù)，Ra為齒頂圓半徑，n為齒輪轉(zhuǎn)速。

（3）齒面嚙合處泄漏Δqn

在齒輪傳動(dòng)過(guò)程中，有一部分油液從齒面接觸處泄漏。一般泄漏量不大，約占總泄漏量的5%［14］。本文取Δqn＝5%。

（4）液體壓縮時(shí)的彈性損失Δqe

齒輪泵在工作過(guò)程中，油液隨齒槽從低壓腔旋轉(zhuǎn)到高壓腔，油液在高壓下會(huì)有彈性損失。低壓齒輪泵一般可忽略不計(jì)，但對(duì)于高壓齒輪泵，這部分損失不可忽視，由文獻(xiàn)［11］可得

式中Eo為液體體積的彈性模量，Δp為高低壓腔壓差，Vj為齒間容積，Z為齒輪齒數(shù)，n為齒輪泵轉(zhuǎn)速。

液壓油體積彈性模量Eo模型為［11］

式中 A＝－6.076×10－19，B1＝6.034×10－10，C＝8.829×10－5，p為油壓。

綜上，齒輪泵的內(nèi)泄漏模型Δq為

則齒輪泵的容積效率hv為

式中qt＝nqv／1000為理論流量qv為齒輪泵理論排量。

以上屬于齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型，即把各參量視為確定量。但在工程實(shí)際中，各參量并不是確定值。所以，現(xiàn)將不確定性理論引入齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型中進(jìn)行研究。

隨機(jī)因子法指將函數(shù)表達(dá)式中隨機(jī)參量表示為確定量與隨機(jī)因子乘積形式［15］。隨機(jī)因子的期望為1，變異系數(shù)為均方差除以期望值，即i＝σ／E。

現(xiàn)將齒輪泵的軸向間隙s、徑向間隙δ、液壓油溫度t、工作壓力p和輸入轉(zhuǎn)速n這些參量作為隨機(jī)變量。由于以上變量產(chǎn)生的環(huán)境和機(jī)理不同，為了便于簡(jiǎn)化運(yùn)算，各變量間可近似看作不相關(guān)［15］。運(yùn)用隨機(jī)因子法表達(dá)如下：

式中 上標(biāo)－為未考慮隨機(jī)不確定性時(shí)的量，上標(biāo)～為隨機(jī)因子，后面公式類似。

以上5個(gè)參量的期望和均方差為

代數(shù)綜合法基本思想為，先將函數(shù)表達(dá)式中已知期望和均方差兩個(gè)變量的數(shù)字特征運(yùn)算結(jié)果作為新變量的期望和均方差，新變量與第三變量的數(shù)字特征運(yùn)算結(jié)果做為又一個(gè)新變量的期望和均方差，以此類推，直至所有變量綜合為一個(gè)變量，其期望和均方差就是函數(shù)的數(shù)字特征［16］。

根據(jù)隨機(jī)因子法和代數(shù)綜合法對(duì)齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型進(jìn)行運(yùn)算，可獲得齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型。

令M1＝t－t0，則

令M2＝eλM1，對(duì)M2進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)求期望，一階泰勒展開(kāi)求均方差：

令M3＝p－p0，則

令M4＝eαM1×10－5，對(duì)M4進(jìn)行二階泰勒展開(kāi)求期望，一階泰勒展開(kāi)求均方差：

液壓油動(dòng)力粘度μ的期望和均方差的求解：μ＝ργ50M4／M2

令E（Y1）＝E（）＝E（）3＋3E（）σ2（s）

令 M5＝（θh＋θb）s3／［12μln（Ri／Rz）］

令 Δqj1＝

令E（Y3）＝E（）＝E（）3＋3E（）σ2（）

由ω＝ （π／30）n可得

Δqj2＝M6ω3，則Δqj2的期望與方差為

由Δqs＝40000×（Δqj1＋Δqj2）可得端面間隙的總泄漏量Δqs的期望和均方差為

齒輪泵徑向間隙泄漏Δqδ的期望和均方差推導(dǎo)過(guò)程如下，

令N1＝，則有

液體壓縮時(shí)彈性損失Δqe的期望和均方差推導(dǎo)過(guò)程如下：

令L1＝105（1＋10－5p）＝105＋p，則有

令L2＝Ap2＋B1p＋C，L3＝Ap2令Eo＝L1／L2，則

令L4＝2pVjZ n，則

由Δqe＝1000×L4／Eo可得Δqe的期望和均方差為

綜上，齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型為

進(jìn)而獲得在不確定性下齒輪泵的容積效率為

3 數(shù)值算例

3.1 數(shù)值計(jì)算參數(shù)

運(yùn)用上文傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型和隨機(jī)內(nèi)泄漏模型分別對(duì)文獻(xiàn)［11］的齒輪泵CBZb2050進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

液壓油 YB-N46參量數(shù)值為α＝1／432，λ＝1／23.4，!50＝27.51cst，ρ＝900kg／m3，t＝50℃。

齒輪泵CBZb2050的參量數(shù)值為

3.2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

文獻(xiàn)［12］通過(guò)實(shí)驗(yàn)獲得CBZb2050泵在額定工況下的容積效率，現(xiàn)對(duì)傳統(tǒng)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，其結(jié)果列入表1和表2。由表1和表2可知，CBZb2050齒輪泵在額定轉(zhuǎn)速n＝2250r／min、額定壓力P＝25MPa時(shí)，實(shí)驗(yàn)測(cè)得容積效率為95.1%，由齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型計(jì)算得到容積效率為96.7%。為了與這些結(jié)果進(jìn)行比較，按第2節(jié)建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型對(duì)容積效率進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，通過(guò)編制MATLAB程序求解容積效率的數(shù)字特征。

軸向間隙、徑向間隙、液壓油溫度、工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速表達(dá)為含隨機(jī)因子的形式，其變異系數(shù)與隨機(jī)因子變異系數(shù)相同。

選取變異系數(shù)范圍為0.01～0.4。在額定工況（n＝2250r／min，P＝25MPa），齒輪泵在不同變異系數(shù)下的容積效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及變異系數(shù)ihv列入表3。變異系數(shù)ihv用來(lái)表征容積效率的分散性大小。由表3可以看出，

（1）由齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型獲得容積效率的期望為93.0%～96.7%，與文獻(xiàn)［12］獲得的容積效率95.1%相比差異不大，表明所建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型正確。

（2）隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28時(shí)，與文獻(xiàn)［12］獲得的容積效率吻合，表明在此實(shí)驗(yàn)條件下，隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28。

（3）齒輪泵容積效率期望E（hv）隨參量變異系數(shù)增大而降低，均方差σ（hv）隨參量變異系數(shù)增大而增大。

圖1為齒輪泵容積效率變異系數(shù)隨參量變異系數(shù)的變化規(guī)律?？梢钥闯?，齒輪泵容積效率變異系數(shù)隨參量變異系數(shù)增大而增大。

在額定工況下（n＝2250r／min，P＝25MPa），齒輪泵在不同變異系數(shù)下，端面間隙的泄漏量Δqs的 期望E（Δqs）、徑向間隙的泄漏量Δqδ的期望E（Δqδ）、液 體 壓 縮 時(shí) 的 彈 性 損 失 Δqe的 期 望E（Δqe）以及容積效率的期望E（hv）列入表4。由表4可知，

表1 CBZb2050泵在額定轉(zhuǎn)速下的容積效率實(shí)驗(yàn)測(cè)量值Tab.1 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated speed

表2 CBZb2050泵在額定壓力下的容積效率實(shí)驗(yàn)測(cè)量值Tab.2 Test results of volumetric efficiency of CBZb2050pumps under rated pressure

（1）當(dāng)隨機(jī)變量變異系數(shù)等于0.28時(shí)（即在此實(shí)驗(yàn)條件下），計(jì)算得到端面間隙泄漏量Δqs的期望E（Δqs）＝3.0274（L／min），徑向間隙泄漏量Δqδ的期望E（Δqδ）＝1.8013（L／min），液體壓縮彈性損失Δqe的期望E（Δqe）＝0.10068（L／min），分別占總泄漏量的58.5%，34.8%和1.9%。

（2）變異系數(shù)對(duì)端面泄漏量影響最大，對(duì)徑向泄漏量影響次之，對(duì)液體壓縮時(shí)的彈性損失影響最小。

表3 CBZb2050泵在不同變異系數(shù)下的容積效率數(shù)字特征Tab.3 Volume efficiency’s numeric characteristics of CBZb2050pump under different coefficient of variations

圖1 齒輪泵容積效率變異系數(shù)隨參量變異系數(shù)變化規(guī)律Fig.1 Variation about volumetric efficiency’s coefficient of variation of gear pump with parameters’coefficient of variation

（3）端面泄漏量最大，徑向泄漏量次之，液體壓縮時(shí)的彈性損失量最小。

在額定轉(zhuǎn)速下（n＝2250r／min），齒輪泵在不同壓力下的容積效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及變異系數(shù)列入表5。由表5可知，

（1）工作壓力對(duì)隨機(jī)變量的變異系數(shù)有影響，即在不同工作壓力下，隨機(jī)變量的變異系數(shù)不同。

（2）相對(duì)于傳統(tǒng)模型容積效率的計(jì)算結(jié)果hv，隨機(jī)流量模型計(jì)算結(jié)果E（hv）更加逼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即隨機(jī)模型比傳統(tǒng)模型更符合工程實(shí)際。

表4 在不同變異系數(shù)下各容積損失和容積效率的期望值Tab.4 Expectation of volume loss and volumetric efficiency under different coefficient of variations

表5 齒輪泵CBZb2050在額定轉(zhuǎn)速下的變異系數(shù)和容積效率的期望和均方差Tab.5 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation，mean square deviation of volume efficiency under rated speed

在額定壓力下（P＝25MPa），齒輪泵在不同轉(zhuǎn)速下的容積效率期望E（hv）、均方差σ（hv）及變異系數(shù)列入表6。由表6可知，

（1）輸入轉(zhuǎn)速對(duì)隨機(jī)變量的變異系數(shù)有影響，即在不同轉(zhuǎn)速下，隨機(jī)變量的變異系數(shù)不同。

（2）相對(duì)于傳統(tǒng)模型容積效率的計(jì)算結(jié)果hv，隨機(jī)流量模型計(jì)算結(jié)果E（hv）更逼近實(shí)驗(yàn)結(jié)果，即隨機(jī)模型比傳統(tǒng)模型更符合工程實(shí)際。

表6 齒輪泵CBZb2050在額定壓力下的變異系數(shù)和容積效率的期望和均方差Tab.6 Gear pump CBZb2050parameters’coefficient of variation and expectation，mean square deviation of volume efficiency under rated pressure

4 結(jié) 論

（1）將不確定性理論引入齒輪泵傳統(tǒng)內(nèi)泄漏模型中進(jìn)行研究，獲得了齒輪泵隨機(jī)內(nèi)泄漏模型。計(jì)算得到容積效率的期望為93.0%～96.7%，與文獻(xiàn)［12］容積效率95.1%相比差異不大，表明所建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型的正確性；隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28時(shí)，與文獻(xiàn)［12］實(shí)驗(yàn)獲得的容積效率吻合，表明齒輪泵工作時(shí)隨機(jī)變量的變異系數(shù)為0.28。

（2）與傳統(tǒng)模型相比，隨機(jī)內(nèi)泄漏模型能夠獲得在不同變異系數(shù)下齒輪泵容積效率期望與均方差的變化規(guī)律；所得到的容積效率期望更符合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立的隨機(jī)內(nèi)泄漏模型比傳統(tǒng)模型更優(yōu)越。

（3）變異系數(shù)對(duì)端面泄漏量影響最大，對(duì)徑向泄漏量影響次之，對(duì)液體壓縮時(shí)的彈性損失量影響最小。

（4）工作壓力和輸入轉(zhuǎn)速對(duì)隨機(jī)變量的變異系數(shù)有影響，且隨機(jī)模型比傳統(tǒng)模型更符合工程實(shí)際。