解析幾何綜合題的快速解題研究

摘?要：“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”是高中數(shù)學(xué)解析幾何的重要內(nèi)容，此部分內(nèi)容的特點(diǎn)是思維量與運(yùn)算量大，對(duì)學(xué)生的能力要求很高.本文著重解決“直線與橢圓位置關(guān)系”?“直線與雙曲線位置關(guān)系”問題，把它們整合起來，形成模型.與傳統(tǒng)做法相比，此優(yōu)化創(chuàng)新有兩個(gè)方面的優(yōu)勢(shì)：一是提高學(xué)生解題速度;二是保障學(xué)生解題的準(zhǔn)確性.

關(guān)鍵詞：解析幾何;綜合題;快速解題

作者簡介：劉坤成（1968-），男，湖北恩施人，本科，高級(jí)教師，研究方向：數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)創(chuàng)新應(yīng)用.

“直線與圓錐曲線位置關(guān)系”是高中數(shù)學(xué)解析幾何的重要內(nèi)容，特別是“直線與橢圓或雙曲線位置關(guān)系”是高考的重要考點(diǎn)，也是學(xué)生最怕的知識(shí)點(diǎn).特別是此部分內(nèi)容運(yùn)算量大，運(yùn)算能力稍差的學(xué)生一般都算錯(cuò)，每次考試該題得分率都很低，久而久之學(xué)生就會(huì)懼怕此題.

對(duì)于“直線與圓錐曲線位置關(guān)系”問題，傳統(tǒng)的解題模型是以“聯(lián)立方程組，消元化為一元二次方程，韋達(dá)定理代換”為基石，然后結(jié)合“判別式”，解決常見的十個(gè)方面的問題.其中，直線與橢圓有兩個(gè)模型（焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上）、直線與雙曲線有兩個(gè)模型（焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上），這四個(gè)模型是解決問題的基石，但是這四個(gè)模型規(guī)律性不強(qiáng)，容易混淆，不易掌握.為了解決這個(gè)問題，提高學(xué)生解題速度與準(zhǔn)確性，本人通過研究與實(shí)踐，把上面四個(gè)模型整合成為一個(gè)模型，便于掌握，可使得學(xué)生解答此題時(shí)既快又準(zhǔn)，不易出錯(cuò).更為關(guān)鍵的是減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

1?直線與圓錐曲線位置關(guān)系的整合模型介紹

直線用標(biāo)準(zhǔn)式Ax+By+C=0，橢圓與雙曲線合二為一也寫成標(biāo)準(zhǔn)式x2a2±y2b2=1.整合后的模型總共包含以下三個(gè)方面內(nèi)容.

1.1?直線Ax+By+C=0與x2a2±y2b2=1的位置關(guān)系及其判定

1.2?直線Ax+By+C=0與x2a2±y2b2=1交于兩點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）的模型

1.3?最值快解模型

對(duì)于弦長公式，有變形

MN=A2+B22aba2A2+b2B2-C2a2A2+b2B2-C2+C2=2abA2+B2tt+C2.

對(duì)于橢圓（設(shè)中心為點(diǎn)O），任意直線與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，則ΔOMN的面積的最大值為定值ab2，即

SΔOMN=12MN·d=abCa2A2+b2B2-C2a2A2+b2B2-C2+C2=abCtt+C2≤ab2.

上面就是相關(guān)的模型介紹，這是解決“直線與橢圓或雙曲線位置關(guān)系”問題的基石.

2?直線與圓錐曲線位置關(guān)系的整合模型的釋義與掌握方法

提出“判定式”概念.在“直線與橢圓位置關(guān)系問題”中把t=a2A2+b2B2-C2稱為判定式，用于判定直線Ax+By+C=0與橢圓x2a2+y2b2=1的位置關(guān)系;在“直線與雙曲線問題”中把t=-a2A2+b2B2+C2稱為判定式，用于判定直線Ax+By+C=0與雙曲線x2a2-y2b2=1的位置關(guān)系.

把“直線與橢圓交于兩點(diǎn)問題”與“直線與雙曲線交于兩點(diǎn)問題”整合成為一個(gè)問題，使韋達(dá)定理結(jié)論x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2以及其他如x1y2+x2y1，x1y2-x2y1，弦長公式等全部公式化，成為一項(xiàng)實(shí)用性強(qiáng)的成果.

不要看上面的式子復(fù)雜，其實(shí)規(guī)律性極強(qiáng)，容易掌握，極易記憶.

其中一部分式子是優(yōu)美的對(duì)稱式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，比如橢圓的判定式t=a2A2+b2B2-C2與x1y2+x2y1=2a2b2ABa2A2+b2B2.

對(duì)于其他式子，則用遞進(jìn)的方法掌握.觀察“直線與橢圓交于兩點(diǎn)問題”的式子，它們的分母全部一樣，對(duì)稱、優(yōu)美，易于掌握.對(duì)于分子，從整體上只需先掌握“直線與橢圓交于兩點(diǎn)問題”的兩個(gè)式子x1+x2=-2a2ACa2A2+b2B2與x1x2=a2C2-a2b2B2a2A2+b2B2，掌握這兩個(gè)以后，式子y1+y2，y1y2只需在上面的兩個(gè)式子基礎(chǔ)上變換——同時(shí)交換A與B，a與b即可.

對(duì)于“直線與雙曲線交于兩點(diǎn)問題”的式子x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2只需把“直線與橢圓交于兩點(diǎn)問題”的式子x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2進(jìn)行變換——把對(duì)應(yīng)的b2換成-b2即可.

弦長公式稍難一點(diǎn).

學(xué)生掌握了公式，就可以直接代公式，減少運(yùn)算出錯(cuò)，這就解決了大多數(shù)學(xué)生運(yùn)算錯(cuò)誤問題，還提高了解題速度與解題準(zhǔn)確性.

3?直線與圓錐曲線位置關(guān)系的整合模型的實(shí)踐論證

“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)”，這個(gè)整合結(jié)論是否有提高學(xué)生運(yùn)算速度、運(yùn)算準(zhǔn)確度的效果，必須用事實(shí)說話.試驗(yàn)所有內(nèi)容、數(shù)據(jù)如下.

實(shí)踐設(shè)計(jì)?讓學(xué)生做同一個(gè)題，但用不同的方法，比較解題時(shí)間與準(zhǔn)確性.

實(shí)踐方法?把學(xué)生隨機(jī)分為兩組，分別用傳統(tǒng)方法（即目前教材及所有高中復(fù)習(xí)資料的方法）和上面整合后的模型方法來做，比較做題的時(shí)間與準(zhǔn)確性.

試題設(shè)計(jì)?已知橢圓x29+y24=1.

（1）過點(diǎn)（0，5）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，求直線斜率的取值范圍;

（2）過點(diǎn)（0，5）的直線與橢圓交于兩點(diǎn)M，N，求ΔOMN的面積的最大值，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn).

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)?每小問賦分12分.

實(shí)踐結(jié)論

用整合方法的學(xué)生解題時(shí)間短而得分高，用傳統(tǒng)方法的學(xué)生解題時(shí)間長而得分低，這說明整合后的方法比傳統(tǒng)方法要快、準(zhǔn).同時(shí)要說明的是，題目越復(fù)雜，此模型的效果越好，比如，過點(diǎn)（4，5）的直線與橢圓x213+y27=1交于兩點(diǎn)M，N，求直線斜率的取值范圍.用傳統(tǒng)方法運(yùn)算量特別大，極易算錯(cuò)，而用模型就不存在這個(gè)問題.

通過實(shí)踐以及在班級(jí)應(yīng)用，證明此模型有極大的優(yōu)越性：適用于基礎(chǔ)中等與基礎(chǔ)差的學(xué)生（也就是絕大部分學(xué)生），一是解題速度提高了;二是運(yùn)算錯(cuò)誤沒有了.對(duì)于基礎(chǔ)特好的學(xué)生，可以不用此方法.

從快速解題與準(zhǔn)確性來說，此模型具有很大的推廣價(jià)值.

4?反思

從教育上來說，學(xué)生雖然解題速度提高了，運(yùn)算的準(zhǔn)確性也提高了，但是，學(xué)生的運(yùn)算能力沒有提高.這里只能說提高的是學(xué)生的建模思維.

也許有專家問，你既然沒有提高學(xué)生運(yùn)算能力，那么建立模型還有意義嗎？

對(duì)此問題，這里要思考的是：高中階段解析幾何的運(yùn)算在過去、現(xiàn)在、將來到底有什么作用？絕大部分學(xué)生除了應(yīng)試，有其他作用嗎？事實(shí)是，至少百分之九十五以上的學(xué)生在過去、現(xiàn)在、將來根本不起作用.所以，不管怎么說，對(duì)于基礎(chǔ)中等與基礎(chǔ)差的學(xué)生（也就是絕大部分學(xué)生），解題速度、運(yùn)算準(zhǔn)確性提高了，就是減輕了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，就是成功的.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉坤成.高中數(shù)學(xué)基本模型[M].武漢：湖北人民出版社，2012.

[2]劉坤成.中學(xué)數(shù)學(xué)精華[M].北京：九州出版社，2015.

（收稿日期：2019-07-25）