一道2019年高考題的幾種解法

摘?要：本文利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與整體代換的數(shù)學(xué)思想，探究由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)ω的取值范圍的思路和方法.

關(guān)鍵詞：取值范圍;方程;換元;圖象

作者簡(jiǎn)介：陳東（1971-），男，甘肅高臺(tái)人，本科，中學(xué)高級(jí)教師，研究方向：高中數(shù)學(xué)教學(xué).

三角函數(shù)f（x）=sinωx+φ是高中數(shù)學(xué)中的重要初等函數(shù)之一，其中求參數(shù)ω的取值范圍問(wèn)題是高考的?？贾R(shí)點(diǎn).本文以2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第12題結(jié)論④為例，探究由函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)ω的取值范圍的一些思路和方法.

1?試題呈現(xiàn)

題目?（2019年全國(guó)Ⅲ卷理12題）設(shè)函數(shù)f（x）=sinωx+π5ω>0，已知f（x）在0，2π有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，下述四個(gè)結(jié)論：

①f（x）在0，2π有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn);

②f（x）在0，2π有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn);

③f（x）在0，π10單調(diào)遞增;

④ω的取值范圍是125，2910?.

其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）.

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

2?試題解析

2.1?利用方程求解

解法1?令f（x）=sinωx+π5=0，得ωx+π5=kπk∈Z，則x=kπ-π5ω.

當(dāng)k=5時(shí)，x=5π-π5ω;

當(dāng)k=6時(shí)，x=6π-π5ω.

因?yàn)閒（x）在0，2π有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，

所以5π-π5ω≤2π，6π-π5ω>2π，解得125≤ω<2910.

2.2?利用換元求解

解法2?令t=ωx+π5，則f（t）=sint.

因x∈0，2π，則t=ωx+π5∈π5，2πω+π5.

因?yàn)閒（x）在0，2π有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則f（t）在π5，2πω+π5有且僅有5個(gè)零點(diǎn).

畫(huà)出函數(shù)f（t）的圖象（圖1），可知5π≤2πω+π5<6π，解得125≤ω<2910.

2.3?利用圖象求解

解法3?根據(jù)題意，畫(huà)出函數(shù)f（x）=sinωx+π5（ω>0）的示意圖（圖2），由圖可知2π∈m，n.

由ωm+π5=5π，ωn+π5=6π，解得m=24π5ω，n=29π5ω.

則24π5ω≤2π<29π5ω，解得125≤ω<2910.

2.4?利用周期求解

解法4?由題意，畫(huà)出函數(shù)fx示意圖（圖2），由圖可知2π∈m，n.由?m=5T2-π5ω≤2πn=3T-π5ω>2π（其中周期T=2πω），解得125≤ω<2910.

對(duì)于三角函數(shù)中參數(shù)ω的取值范圍問(wèn)題，要充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合與整體代換的數(shù)學(xué)思想，建立關(guān)于ω的方程或不等式求解.

（收稿日期：2019-08-18）