換環(huán)下的絕對(duì)純內(nèi)射模

何東林,李煜彥

(隴南師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)信學(xué)院,甘肅 隴南,742500)

內(nèi)射模是同調(diào)代數(shù)的重要研究對(duì)象之一，具有很好的性質(zhì)。許多作者對(duì)其進(jìn)行了研究和推廣。1959年P(guān).M.Cohn在文獻(xiàn)[1]中提出了純內(nèi)射模的概念。1967年Maddox在文獻(xiàn)[2]中將其推廣，給出了絕對(duì)純內(nèi)射模的概念和性質(zhì)。1973年Fakhruddin等人在文獻(xiàn)[3]中研究了純內(nèi)射模和絕對(duì)純內(nèi)射模。2008年Katherine Pinzon 在文獻(xiàn)[4]中討論了絕對(duì)純內(nèi)射覆蓋。2017年王麗等人在文獻(xiàn)[5]中進(jìn)一步研究了換環(huán)下的強(qiáng)n-Ding 投射模和內(nèi)射模。文章中主要學(xué)習(xí)和討論換環(huán)下絕對(duì)純內(nèi)射模的性質(zhì)和等價(jià)刻畫。文中的R均指有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉模。用R-mod表示所有左R-模組成的范疇。其余概念和記號(hào)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[6]～[10]。先介紹絕對(duì)純內(nèi)射模的概念。

1 定義和引理

定義1[2]稱左R-模M是絕對(duì)純內(nèi)射模，如果對(duì)任意有限表示模R-模A，都有

引理1[6]設(shè)模SBR既是投射右-R模，又是投射左S-模。則對(duì)任意左R-模A與左S-模C有

引理2[7]若模M是有限生成投射R-模，則S-1M是有限生成投射S-1M-模。

引理3[7]如果R-模序列M′→M→M″在M處正合，則序列S-1M′→S-1M→S-1M″在S-1M處也正合。

2 主要結(jié)論

命題1 設(shè)R,S是等價(jià)環(huán)，等價(jià)函子為F：R-mod→S-mod和G：S-mod→R-mod。

則M是絕對(duì)純內(nèi)射左R-模?F(M)絕對(duì)純內(nèi)射左S-模。

定理1 設(shè)S是R的優(yōu)越擴(kuò)張。若模RM是絕對(duì)純內(nèi)射左R-模，則HomR(S,M)是絕對(duì)純內(nèi)射左S-模。

因此HomR(S,M)是絕對(duì)純內(nèi)射左S-模。

例1 設(shè)R是環(huán)且n≥1。則環(huán)R上的n×n矩陣環(huán)Mn(R)是R的優(yōu)越擴(kuò)張，從而對(duì)任意M∈Mn(R)-mod，如果模RM是絕對(duì)純內(nèi)射左R-模，那么HomR(Mn(R),M)是絕對(duì)純內(nèi)射左Mn(R)-模。

推論1 設(shè)R是交換環(huán)，S是R-代數(shù)。如果模RM是絕對(duì)純內(nèi)射R-模，那么HomR(S,M)是絕對(duì)純內(nèi)射S-模。

下面討論局部化下的絕對(duì)純內(nèi)射模。

定理2 設(shè)R是交換環(huán)，S是R上可乘閉集。如果S-1M是投射左R-模，則

1)如果模RM是絕對(duì)純內(nèi)射R-模，那么HomR(S-1R,M)是絕對(duì)純內(nèi)射左S-1R-模。

2)對(duì)任意左R-模M，HomR(S-1R,M)是絕對(duì)純內(nèi)射左R-模當(dāng)且僅當(dāng)HomR(S-1R,M)是絕對(duì)純內(nèi)射左S-1R-模。

證明 1)設(shè)RM是絕對(duì)純內(nèi)射R-模。對(duì)任意有限表示左S-1R-模A，A也是有限表示左R-模。由引理1知

因此，HomR(S-1R,M)是絕對(duì)純內(nèi)射左R-模。