基于懲罰函數(shù)的新能源汽車減速器弧形錐齒輪優(yōu)化設(shè)計

梁 迪, 王 記, 張 開

(沈陽大學(xué) 機械工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110044)

現(xiàn)代工業(yè)工程對各行各業(yè)都具有一定的影響力,例如在運輸路線規(guī)劃、空間布局和交通工具等方面的優(yōu)化[1].隨著人們生活水平的提高,汽車銷量上升,汽油、柴油的消耗越來越多,由此帶來的能源緊張問題也就越來越明顯.為了保護環(huán)境和資源的平衡,研發(fā)出節(jié)能環(huán)保的新能源汽車已成當(dāng)今社會的重要任務(wù)之一.與傳統(tǒng)的燃油汽車相比,新能源汽車在燃料的來源、汽車的整體架構(gòu)、外觀等方面都比傳統(tǒng)的汽車有優(yōu)勢,尤其是尾氣排放方面,新能源汽車可以大大降低這類污染[2].

近幾年國內(nèi)外學(xué)者對新能源汽車的研究結(jié)果表明,主從動齒輪嚙合噪聲、軸承運轉(zhuǎn)噪聲和減速器的潤滑攪拌噪聲是新能源汽車減速器的噪聲來源,其中齒輪嚙合噪聲為主要來源.目前降低噪聲的方法有2種:提高齒輪的制造和安裝精度;優(yōu)化齒輪的設(shè)計,在保護齒輪強度的前提下找到最優(yōu)的齒輪對參數(shù).前者耗費大量的物力、財力,且效果有限.目前新能源汽車減速器還存在著很多問題,例如:結(jié)構(gòu)不夠緊湊導(dǎo)致體積過大、減速器齒輪可靠性低使其壽命短和成本過高等[3].

目前新能源汽車存在的普遍問題是續(xù)航里程低, 噪聲較大. 新能源汽車的動力來源是電力, 所以電驅(qū)動系統(tǒng)才是主要的動力源頭. 減速器齒輪是電驅(qū)動系統(tǒng)中動力傳遞最重要的部分, 承載汽車在傳動過程中的扭矩. 在傳統(tǒng)的齒輪設(shè)計中, 一般都以齒輪的受力強度來計算其參數(shù), 這樣計算出的齒輪參數(shù)會導(dǎo)致齒輪的體積和重量較大, 從而減速器的外殼也會隨之增大[4],存在嚴重的材料浪費, 而且沒有考慮到齒輪傳動過程中產(chǎn)生的噪聲. 所以傳統(tǒng)齒輪設(shè)計出的參數(shù)并不能達到新能源汽車的噪聲標準, 還增加了不必要的重量載荷, 影響其總體續(xù)航里程.

汽車減速器一般采用弧形錐齒輪,這是由于錐齒輪的應(yīng)用廣泛,傳動噪聲相對較小,且承載能力較強.通過減少其體積和噪聲,從而減輕新能源汽車整車的重量載荷,延長其續(xù)航里程和使用壽命[5].

1 問題描述

某新能源汽車減速器中1對弧線錐形齒輪,傳動比i=3.4,功率P=20 kW,壽命為12 250 h,主動齒輪轉(zhuǎn)速n1=1 000 r·min-1,油溫為100 ℃,螺旋角α=16°,分度圓直徑A0=32 mm,主動齒輪齒數(shù)Z1=37,模數(shù)m=1.8,齒寬B=38 mm,偏移距E=15 mm.對此齒輪進行優(yōu)化設(shè)計,最小化齒輪的體積和傳動噪音.齒輪如圖1所示.

圖1錐齒輪三維圖形
Fig.1 The three dimensional picture of the bevel gear

2 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型及約束條件

2.1 設(shè)計變量

弧線錐齒輪尺寸一般由主動齒輪齒數(shù)Z1、從動齒輪齒數(shù)Z2、中點螺旋角α、齒寬B和大端端面模數(shù)m決定[6].因為優(yōu)化設(shè)計的變量必須是獨立的.所以當(dāng)傳動比一定時,Z1和Z2只有1個是獨立的,因此齒輪的設(shè)計變量有4個,不同的目標函數(shù),設(shè)計變量也不一樣.

2.2 目標函數(shù)

求錐齒輪體積時一般把其看成圓柱體,以齒頂圓直徑為直徑、寬度為高求體積,則目標函數(shù)如式(1)所示.

(1)

式中:Rm為錐齒輪平均錐距;Re為外錐距;da1為小齒輪齒頂圓直徑;da2為大齒輪齒頂圓直徑.

齒輪的重疊系數(shù)σ由當(dāng)量系數(shù)G2、嚙合主動齒輪螺旋角α、分度圓直徑A0、齒輪大端端面模數(shù)m決定,關(guān)系如式(2)所示.

(2)

當(dāng)量系數(shù)G2與偏移距E有關(guān),如式(3)所示.

(3)

由此可知,錐形齒輪的噪聲優(yōu)化就是降低齒輪傳動過程中的震動,從而減少噪聲.為此需計算出當(dāng)重疊系數(shù)σ接近2時的齒輪參數(shù), 式(4)中T為較優(yōu)值與最優(yōu)值的差,T值越小說明離目標值越接近, 即當(dāng)T值最小時求出α、A0、m、i的值.

減小噪聲的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型中的優(yōu)化參數(shù)包括A0、m、α、E、i和B,在現(xiàn)代優(yōu)化設(shè)計方法中一般寫成矩陣形式:

2.3 約束條件

(1) 小齒輪的齒數(shù)

為了保證錐形齒輪能夠保持嚙合的平穩(wěn)性,減小傳動的噪聲和磨損,避免根切現(xiàn)象,齒數(shù)一般要大于17.則小齒輪齒數(shù)z范圍為

17≤zmin≤30.

(2) 中點螺旋角的限制

為了使傳動平穩(wěn)、軸向載荷能力不至于過大,且具有一定的支撐能力,中點螺旋角應(yīng)限制為

αmin≤α≤αmax.

(3) 大端端面模數(shù)的限制

mt≥1.5.

(4) 齒寬B

齒寬B在齒輪設(shè)計中很重要,齒面過寬會造成材料的浪費,增加成本,而齒寬過小會影響齒輪的壽命.本文所研究的2個齒輪的齒寬相等,而且要求其寬度小于等于大端端面模數(shù)的10倍.對于齒輪偏移距的約束與齒寬的約束相似,為了避免齒輪發(fā)生點蝕,對于偏移距E的約束為:E<0.2A0,同時為了保證齒輪的強度,在齒輪設(shè)計過程中必須滿足4大強度理論.

(5) 接觸強度約束條件如式(5)所示.

(5)

式中,ZE為彈性影響系數(shù);ZH為節(jié)點區(qū)域系數(shù);ZE為重合度系數(shù);T1為小齒輪傳遞的轉(zhuǎn)矩;K為載荷系數(shù);d1為小齒輪的分度圓直徑;b為兩齒廓接觸長度;u為齒數(shù)比,即大齒輪齒數(shù)與小齒輪齒數(shù)之比.

(6) 彈性影響系數(shù)ZE的取值如表1所示.

表1 彈性影響系數(shù)ZETable 1 Effect of elastic coefficient ZE MPa

(7) 重合度系數(shù)Zε的計算如式(6)所示.

(6)

式中,εα為端面重合度,螺旋角α=16°,計算方法見式(7).

(7)

(8) 接觸疲勞許用應(yīng)力[σH]的計算見式(8).

(8)

式中:KHN為接觸疲勞壽命系數(shù),選取KHN時的參考值為N=60njLh,其中,n為齒輪的轉(zhuǎn)速(r·min-1),j為齒輪轉(zhuǎn)1轉(zhuǎn)時同側(cè)齒面的嚙合次數(shù).Lh為齒輪工作壽命,h.得到N后查閱手冊確定KHN.σHlim為齒輪的接觸疲勞強度極限.SH為安全系數(shù),取SH=1.

(9) 齒根彎曲疲勞強度約束條件見式(9).

(9)

式中:YFα為齒形系數(shù);YS α為應(yīng)力修正系數(shù).

(10) 彎曲疲勞許用應(yīng)力[σF]的計算見式(10).

(10)

式中:σFlim為齒輪的彎曲疲勞強度極限;SF為安全系數(shù),一般取SF=1.3[7-10].

由上面的約束條件可知,在弧形錐齒齒輪的優(yōu)化過程中有10個約束條件.以x1,x2,x3,…,xn表示懲罰因子,gi(X)表示約束的條件,則最后建立的數(shù)學(xué)模型為

minf(X),X=(x1,x2,…,xn)T,

滿足gi(X)≤0(i=1,2,…,m).

3 優(yōu)化方法和程序結(jié)構(gòu)框圖

3.1 優(yōu)化方法

本文的優(yōu)化是用有約束的非線性規(guī)劃函數(shù)求解,所以需要采用懲罰函數(shù)把有約束的問題轉(zhuǎn)變成無約束的問題,再進行計算.根據(jù)不同的問題需要構(gòu)建不同的懲罰函數(shù),具體如下所示.

外點法的計算如式(11)所示.

內(nèi)點法的計算如式(12)所示.

(12)

式中:f(X)為需要優(yōu)化的函數(shù);gi(X)為約束條件;R(K)是懲罰因子,滿足下列關(guān)系:

本文采用的是內(nèi)點法.

3.2 優(yōu)化問題求解

由于要進行求解優(yōu)化問題的懲罰因子有8個,而且還有10個約束條件,如果用傳統(tǒng)的迭代計算容易出錯,且比較煩瑣,需要采用現(xiàn)代的計算手段,利用軟件MATLAB進行函數(shù)求解,既精確又節(jié)約時間.為了方便程序的編寫和改正,采用模塊化結(jié)構(gòu)[11].計算程序的運算流程和結(jié)果如圖2和圖3所示.

圖2程序流程圖
Fig.2 The program flow chart

圖3 程序輸出圖Fig.3 The program output map

由圖3可知,優(yōu)化后的結(jié)果為

取圓整得:

X=[18,1.85,35,2,16,32,20,37]T

4 結(jié) 論

本文主要對新能源汽車電驅(qū)動系統(tǒng)的減速器齒輪進行優(yōu)化,一方面是針對減速器的齒輪進行了體積優(yōu)化,另一方面針對新能源汽車傳動產(chǎn)生的噪聲進行了齒輪參數(shù)優(yōu)化.構(gòu)建目標函數(shù),對目標函數(shù)中的參數(shù)進行約束,然后對函數(shù)求解采用了懲罰算法,并在MATLAB中進行求解.將優(yōu)化的結(jié)果與傳統(tǒng)的齒輪設(shè)計進行比較,經(jīng)計算得到兩個齒輪體積之和比原設(shè)計減少了18.69%,重量也隨之減輕,從而續(xù)航里程得以提高.把取圓整得出的結(jié)果代入式(4),可以得出T=0.038,即優(yōu)化后的齒面重疊系數(shù)為1.962,優(yōu)化前系數(shù)為1.760.可以看出經(jīng)過優(yōu)化后的重疊系數(shù)接近噪聲最低時的系數(shù)2,大幅度地降低了汽車的噪聲,達到了預(yù)期的優(yōu)化效果,減少了新能源汽車體積,并延長了續(xù)航里程.本文的提出的算法也適用于類似零部件的優(yōu)化設(shè)計與改進.