基于擴展G′/G-展開法的兩個非線性擬拋物型方程的精確解

范 凱 ， 劉 斌， 宋叔尼， 范圓圓

(1. 太原科技大學 應用科學學院, 山西 太原 030024； 2. 東北大學 理學院， 遼寧 沈陽 110819)

擬拋物型方程是一類含時間和空間的混合偏導數(shù)的高階偏微分方程， 出現(xiàn)在數(shù)學和物理的許多領域， 比如， 流體穿過縫隙巖石的滲透理論、 粘土的加固理論、 二階流體的剪切變流、 熱力學和小振幅的長波傳播[1-4]. 廣義的Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(BBMB)方程

ut-uxxt-αuxx+γux+f(u)x=0,(1)

就是一個重要的擬拋物型方程， 其中，α>0，γ∈R,u=u(x,t)表示流體在水平方向x上的速度，f(u)∈C2-非線性泛函. 若在方程(1)中取f(u)x=θuux+βuxxx， 就可以得到了一個廣義的Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine-Burgers(BBMPB)方程

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux+βuxxx=0,(2)

在方程(2)中取α=β=0， 就可以得到廣義的Benjamin-Bona-Mahoney(BBM)方程

ut-uxxt+γux+θuux=0,(3)

式中：γ,θ為常數(shù)， 且θ≠0， 這就是眾所周知的非線性色散系統(tǒng)長波傳播的模型方程. 方程(2)包括幾種類型的BBM方程， 方程(3)行波解的獲得方法可參看文獻[5-7]. 本文使用擴展G′/G-展開法研究BBMPB方程， 獲得一些新的精確行波解， 延伸前人的工作.

在方程(2)取β=0， 得到一個廣義的 Oskolkov-Benjamin-Bona-Mahony-Burgers(OBBMB)方程

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux=0.(4)

方程(4)這個非線性擬拋物方程描述沿x軸傳播的表面波， 其中，θuux表示粘性項[8-9]. 精確行波解的獲得有助于更好地理解非線性偏微分方程所描述物理現(xiàn)象. 隨著基于計算機代數(shù)系統(tǒng)的非線性科學的快速發(fā)展， 許多有效尋找非線性偏微分方程精確行波解的方法被提出， 例如齊次平衡法[10]、 sine-cosine方法[11]、 tanh函數(shù)法[12]、 擴展的tanh函數(shù)法[13-15]、 Exp-函數(shù)展開法[16]、(G′/G)-函數(shù)展開法[17-18]等. 本文使用簡潔的擴展G′/G-展開法[19-20]獲得方程(4)的新行波精確解.

1 擴展的G′/G-函數(shù)展開法

考慮一個以u(x,t)為未知函數(shù)的一般形式的非線性偏微分方程

P(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,…)=0.(5)

下標t和x表示u(x,t)對t和x的偏導數(shù).

擴展的G′/G-函數(shù)展開法求解非線性偏微分方程的步驟如下：

1) 做行波變化u(x,t)=U(ξ),ξ=x-vt， 把偏微分方程P(u,ut,ux,utt,uxt,uxx,…)=0轉化為常微分方程

P(U,-vU′,U′,v2U″,-vU″,U″,…)=0.(6)

如果得到的方程(6)每一項都含有ξ的導數(shù)， 則可把這個方程先關于ξ積分， 令積分常數(shù)為零得到一個更為簡單的方程.

2)假設方程(6)的行波解可擬設為如下形式:

(7)

式中：ai(i=0,1,…,m)和bi(i=1,2,…,m)都是待定常數(shù). 參數(shù)m一般都為正整數(shù)， 平衡方程(6)中的最高階導數(shù)項和最高階非線性項的冪次可以確定m的值.G=G(ξ)滿足如下常微分方程

G″+λG′+μG=0,(8)

式中：λ和μ是將被確定的常數(shù).

3) 把式(7)代入式(6)， 收集(G′/G)各冪次的系數(shù)并令為0， 得到ai,bi,λ,μ,v的一個超定代數(shù)方程組.

4) 使用maple17求解這個超定代數(shù)方程組， 把ai,bi,λ,μ,v和G′/G的結果代入式(7)， 得到擬設形式的行波解.

二階常微分方程(8)的通解形式(第一形式)整理如下

如果C1,C2滿足相應的比例關系， 這些解可以化為更簡便的形式(第二形式)如下

2 擴展的G′/G-函數(shù)展開法求解OBBMB和BBMPB方程

2.1 Oskolkov-Benjamin-Bona-Mahony-Burgers方程

OBBMB方程如下

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux=0,(11)

式中：α為一個正數(shù)；θ為非零實數(shù). 應用變換U(t,x)=U(z),z=x-vt， 把方程(11)轉化為如下常微分方程

(12)

用平衡原理， 平衡U″和U2， 得到m=2， 所以方程(12)的解可擬設為

(13)

把式(13)代入式(12)， 收集G′/G各冪次的系數(shù)， 并都令為0， 得到一個超定代數(shù)方程組

用maple17求解這個超定代數(shù)方程組， 得到

把式(14)的結果和二階常微分方程(8)的解(第一形式)代入式(13)， 得到3種行波解,

1) 當λ2-4μ>0時， 得到雙曲行波解

使用二階常微分方程(8)的解(第二形式)， 雙曲行波解U1(ξ)變?yōu)槿缦滦问?/p>

當|C2/C1|<1,ξ0=tanh-1(C2/C1).

當|C2/C1|>1,ξ0=coth-1(C2/C1).

2) 當λ2-4μ<0時， 得到三角函數(shù)解

3) 當λ2-4μ=0時， 得到有理函數(shù)解

其中，ξ=x-vt，C1,C2是任意常數(shù).

2.2 Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine-Burgers方程

BBMPB方程如下

ut-uxxt-αuxx+γux+θuux+βuxxx=0,(15)

式中：α是一個正數(shù)；θ,β為非零實數(shù). 應用變換U(t,x)=U(z),z=x-vt， 把方程(15)轉化為如下常微分方程

用平衡原理， 平衡U″和U2， 得到m=2， 所以方程(16)的解可擬設為

(17)

類似OBBMB方程的求解， 使用Maple17， 得到

把式(18)的結果和二階常微分方程(8)的解(第一形式)代入式(17)得到3種行波解

1) 當λ2-4μ>0時， 得到雙曲行波解

2) 當λ2-4μ<0時， 得到三角函數(shù)解

3) 當λ2-4μ=0時， 得到有理函數(shù)解

其中，ξ=x-vt，C1,C2是任意常數(shù). 容易發(fā)現(xiàn)， 如果令BBMPB方程的精確解中的參數(shù)β為0， 這些解就變成了OBBMB方程的解， 這也佐證了本文解得正確性.

3 精確解的物理結果

本節(jié)對參數(shù)賦值， 給出了非線性擬拋物方程部分精確解的圖示. 非線性擬拋物方程精確解的獲得， 不僅有其物理意義， 也有助于這類方程數(shù)值解準確性的核對和穩(wěn)定性的分析.

圖 1 當時，OBBMB方程解 u1(x,t)的三維圖Fig.1 3D plot of OBBMB equation u1(x,t) when

圖 2 當時，OBBMB方程解 u2(x,t)的三維圖Fig.2 3D plot of OBBMB equation u2(x,t) when

4 結 論

本文應用擴展的G′/G-函數(shù)展開法求解OBBMB和BBMPB方程， 分別得到它們含兩個參數(shù)的3種類型的精確行波解， 通過對比兩個方程和它們解， 驗證了它們的正確性， 其中雙曲函數(shù)類型的行波解在文獻[15]中有類似的結果， 但三角函數(shù)類和有理函數(shù)類行波解是本文用擴展的G′/G-函數(shù)展開法求所得到的新類型的解， 并對部分解做三維圖示， 簡單解析了它們的物理結果. 本文所給的方法， 在maple的幫助下， 求解過程簡單、 直接. OBBMB和BBMPB方程精確解的獲得， 為該類型方程數(shù)值解的研究提供了一定的參考. 所滿足的常微分方程還可以進一步優(yōu)化， 以便我們得到更多的新的精確解， 有關這方面的研究結果， 我們將在其它文章中給出.