切換視角，讓復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化

鄧育兵

[摘 要]解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們總希望能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，尤其是那些情況很復(fù)雜的幾何變形體問題，如果只是按照幾何變換的過程一步步推理，那么問題將會(huì)變得無比困難，但忽略那些變化的表象，抓取不變的本質(zhì)規(guī)律，那么問題就會(huì)迎刃而解。

[關(guān)鍵詞]體積;幾何問題;割補(bǔ)法

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）20-0029-02

《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（小學(xué)版）2014年第5期刊登了余志軍老師的一篇論文——《對(duì)一個(gè)思考題的再思考》，談?wù)摰氖翘K教版數(shù)學(xué)六年級(jí)（下冊(cè)）第28頁的一道關(guān)于圓柱形容器排水的思考題。余老師對(duì)如何講解這道題進(jìn)行了充分調(diào)研，尤其是其他教師對(duì)這道題的講評(píng)和學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，對(duì)學(xué)生解答時(shí)常見的障礙進(jìn)行了鞭辟入里的剖析。讀罷此文，如醍醐灌頂，不得不佩服余老師見解獨(dú)到。欽佩之余，筆者斗膽對(duì)余老師的“再思考”提出一些個(gè)人看法。

原題：在一個(gè)圓柱形儲(chǔ)水桶里，把一段半徑5厘米的圓鋼全部放入水中，水面就上升9厘米;把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。求圓鋼的體積。

一、余老師的解法

余老師曾在《中小學(xué)數(shù)學(xué)》（小學(xué)版）2008年第11期上發(fā)表過研討這道題的文章，文中提到“如果圓鋼放入水中時(shí)，水面剛好浸沒圓鋼”的特殊情況（如圖1），假想將圓鋼豎著拉出水面8厘米時(shí)，水下會(huì)留出一個(gè)半徑為5厘米，高為8厘米的圓柱形“空洞”，這個(gè)“空洞”的體積需要用下降的4厘米環(huán)形水柱來填滿。后經(jīng)過仔細(xì)推理，發(fā)現(xiàn)這種設(shè)想有偏差，因?yàn)轭}中已經(jīng)明確說道“把圓鋼豎著拉出水面8厘米”，而這句話大有深意：豎著拉出水面的8厘米包含圓鋼本身上升的高度和液面下降的雙重效應(yīng)，并不是圓鋼上升高度的“凈含量”，因?yàn)樨Q著拉出圓鋼的同時(shí)水面也在下降，二者是一個(gè)相對(duì)運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)，這是一個(gè)同步推進(jìn)的動(dòng)態(tài)過程，不能靜止地考慮問題。

余老師通過“再思考”確認(rèn)：圓鋼實(shí)際上升高度只有4厘米（因?yàn)槔饒A鋼后，水面同時(shí)下降4厘米），照此推算，水下只能形成一個(gè)半徑為5厘米，高為4厘米的圓柱形“空洞”（如圖2），這個(gè)“空洞”需用下降的4厘米的環(huán)形水柱來填滿。按照這種思路，先求出下降的環(huán)形水柱的底面積是3.14×5[2]×4÷4=78.5（平方厘米），由此推算，原水面下圓鋼的體積（即上升9厘米的環(huán)形水柱的體積）是78.5×9=706.5（立方厘米），而上面9厘米圓鋼的體積是3.14×5[2]×9=706.5（立方厘米），總計(jì)是706.5×2=1413（立方厘米）。

二、將情況想得太復(fù)雜，簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化

余老師在文中還著重分析了學(xué)生理解的難點(diǎn)，一共有兩處。一是當(dāng)儲(chǔ)水桶里面的水足夠深、水量足夠大時(shí)，圓鋼能完全浸沒在水下，圓鋼頂端到水面還留出一大段距離，情形則為之一變，學(xué)生理解起來也很燒腦，就連有些執(zhí)教教師也容易被繞進(jìn)去。因?yàn)榇藭r(shí)水面上升的9厘米是一段環(huán)形木柱加一段圓柱形水柱（如圖3），如果對(duì)學(xué)生解釋“上升9厘米的水柱的體積剛好等于圓鋼的體積”，那么學(xué)生理解起來就很困難。二是“豎著拉出水面8厘米的圓鋼體積等于下降水柱的體積”對(duì)學(xué)生而言也很費(fèi)解。筆者對(duì)余老師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的態(tài)度甚為欽佩，同時(shí)認(rèn)為余老師解答該題時(shí)，采用的方法似乎將簡(jiǎn)單問題復(fù)雜化了。

（1）余教師假想把圓鋼豎著拉出水面8厘米后，水下會(huì)形成一個(gè)半徑為5厘米的圓柱形“空洞”。暫且不管這個(gè)所謂的“空洞”有多高，就這么一個(gè)“空洞”就能把學(xué)生弄得頭昏腦漲。因?yàn)閮?chǔ)水桶里裝的是液態(tài)的水，是流體，并非結(jié)冰的固態(tài)水，圓鋼也不是插在冰柱中的鐵棒，往上拉出8厘米，就能形成顯而易見的“空洞”，就連空間觀念超強(qiáng)的余老師在首次推想時(shí)，也難免將“空洞”的高度錯(cuò)算成8厘米。另外，豎著拉出圓鋼后留下的“空洞”由下降的4厘米環(huán)形水柱來填滿，更是給學(xué)生出了一道世紀(jì)難題。單是環(huán)形水柱體積的求法就難倒一批人，還要腦補(bǔ)出整個(gè)水體靜止，再將環(huán)形水柱轉(zhuǎn)移到“空洞”處，這更是難上加難。

（2）余老師認(rèn)為水面升高的9厘米是由一段距離的環(huán)形水柱加一段距離的圓柱形水柱“合流”而成（如圖4）。如果繼續(xù)解釋“升高的9厘米的水柱體積等于圓柱的體積，那么學(xué)生必定會(huì)誤解題意”，不得已，只能采取等量代換的策略。其實(shí)，這個(gè)問題換一個(gè)思路和角度，就很容易理解。因?yàn)樗捏w積+圓鋼的體積=鋼水混合物的體積=蓄水桶中原有水的體積+升高水柱的體積，所以“圓鋼的體積=升高水柱的體積”。

三、假想截取冒出水面的圓鋼，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化

筆者潛心研究后，認(rèn)為《教師教學(xué)用書》上提供的解法才是“學(xué)術(shù)正宗”：根據(jù)豎著拉出水面8厘米的圓鋼體積等于下降的環(huán)形水柱的體積，即圓柱形儲(chǔ)水桶的底面積為3.14×5[2]×8÷4=157（平方厘米），而升高9厘米的水柱的體積剛好與圓鋼的體積等值，據(jù)此計(jì)算出圓鋼的體積為157×9=1413（立方厘米）。如果學(xué)生理解遇到障礙，可以假想將“豎著拉出水面的8厘米圓鋼”鋸掉，那么這道題就演變?yōu)椤霸谝粋€(gè)圓柱形儲(chǔ)水桶里，把一段半徑5厘米的圓鋼全部浸沒水中，水面就上升9厘米;假如將圓鋼截?cái)?厘米后，水面就下降4厘米。求原圓鋼的體積?！保ㄈ鐖D5）這樣一來，就更好理解了，因?yàn)榻財(cái)嗔舫龅摹罢婵铡毙枰陆?厘米的水柱去填滿，于是下降4厘米的水柱的體積正好就是截?cái)嗟?厘米的圓鋼的體積了，二者剛好“扯平”。

割補(bǔ)法用在靜態(tài)的平面幾何圖里非常管用，但是用在這種流體水中就顯得捉襟見肘，因?yàn)樗疅o常形，一旦投入水中的物體沒有完全浸沒，就會(huì)影響整個(gè)水體體積的測(cè)算，水溶液的外形不再是一個(gè)規(guī)則的形狀，也不再與容器保持相同。在抽離浸入水中的物體時(shí)，如果沒有徹底脫離水面，水回流的體積（水面下降部分的體積）不再嚴(yán)格等于浸入水中的物體的體積，而這兩大難點(diǎn)這道題全都占了。只有另辟蹊徑，果斷棄用“割補(bǔ)法”，不要糾結(jié)于其中水體變化的細(xì)節(jié)，而用整體法解題，牢牢把握整個(gè)過程的恒量，問題就會(huì)簡(jiǎn)單許多。

化繁為簡(jiǎn)的本質(zhì)就是透過現(xiàn)象看本質(zhì)，把握其關(guān)鍵要素：浸沒水中的圓鋼的體積始終等于上升9厘米的水柱的體積，不管是剛好浸沒還是完全浸沒，都是這樣。將圓鋼抽出水面8厘米后，水面下降4厘米，根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，說明圓鋼相對(duì)于儲(chǔ)水桶底面只是上升了4厘米（8-4=4），水面相對(duì)于儲(chǔ)水桶底面下降了4厘米，那么出水的圓鋼體積就與下降的環(huán)形水柱的體積相等，所以圓鋼的底面積與環(huán)形水柱的底面積相等，于是容易得出：儲(chǔ)水桶的底面面積為圓鋼底面面積的2倍，于是，儲(chǔ)水桶的底面積為3.14×5[2]×2，圓鋼體積為3.14×5[2]×2×9=1413（立方厘米）。

筆者認(rèn)為這道題如果推移到“正比例和反比例”單元之后，其功能將更加強(qiáng)大。教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用比例知識(shí)解答，從而培養(yǎng)學(xué)生換位思考問題的能力和靈活處理問題的應(yīng)變能力，落實(shí)靈活選擇方法解決問題的教育理念。因?yàn)閳A鋼的體積與升高的9厘米水柱的體積等值，豎著拉出水面的8厘米圓鋼的體積又與下降的4厘米水柱體積等值，而上升的9厘米水柱與下降的4厘米水柱底面積相同，根據(jù)圓柱的底面積一定，體積與高成正比例關(guān)系，可以推知：上升水柱體積∶下降水柱體積=9∶4。應(yīng)用等量代換，可以置換出整個(gè)圓鋼的體積∶8厘米圓鋼的體積=9∶4，所以整個(gè)圓鋼的體積等于8厘米圓鋼體積的9/4?，也就是3.14×5[2]×8×9/4=1413（立方厘米）。

綜上所述，這是一道訓(xùn)練學(xué)生空間想象力，提高推理能力的優(yōu)質(zhì)題，雖然難度大，但也不是可望而不可即。教師在指導(dǎo)學(xué)生解決難題時(shí)，應(yīng)抓住問題的本質(zhì)展開分析，盡可能將復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

（責(zé)編 李琪琦）