藏漢文化交融背景下麗江納西族建筑五鳳樓中數(shù)學問題研究

楊敏 趙建紅

【摘要】麗江福國寺五鳳樓集藏、漢、白、納西族民居的建筑精粹于一體，大到結(jié)構(gòu)布局小到圖案裝飾都蘊含著豐富的數(shù)學元素：長方形、正方形、平行四邊形、菱形、圓形、三角形等，這些圖形形成單獨紋樣或經(jīng)過組合形成復合紋樣，再采用軸對稱、中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換。通過對五鳳樓的研究，發(fā)現(xiàn)建筑結(jié)構(gòu)構(gòu)造的時候使用到數(shù)學知識：翼角曲率、三角形穩(wěn)定性、方五斜七的估算等，研究在建筑中使用的數(shù)學知識，能夠幫助建筑師解決建筑上的數(shù)學問題，同時也體會到數(shù)學知識的實際運用的現(xiàn)實意義、感知數(shù)學與生活的聯(lián)系，明白精美的建筑都離不開精密的數(shù)學計算，體驗數(shù)學與建筑之間的休戚關系。

【關鍵詞】五鳳樓；翼角曲率；三角形穩(wěn)定性；方五斜七

【中圖分類號】[J59] 【文獻標識碼】A

基金項目：云南省科技廳青年項目“藏漢文化交融背景下麗江納西族建筑中數(shù)學問題研究”（項目編號：2017FD166）；曲靖師范學院2016年度教師教育專項項目“云南少數(shù)民族數(shù)學文化的挖掘及其應用”（項目編號：2016JZ001）。

一、問題的背景

我國有55個少數(shù)民族，納西族作為為數(shù)不多的擁有自己本民族語言與文字的少數(shù)民族，其日常生活中蘊藏著豐富的數(shù)學文化，主要表現(xiàn)在建筑、服飾、繪畫、計量單位及天文歷法、宗教等方面，充分反映了納西族人民的智慧及古代數(shù)學成就。當人們驚嘆世界遺產(chǎn)桂冠之下納西族東巴文化，暢游在麗江古城錯落有致的建筑群中，被號稱“麗江紫禁城”的木府所驚艷，感嘆福國寺展翅欲飛的五鳳樓的精美時，可曾想到這些宏偉的建筑珍品里面隱藏著怎樣的數(shù)學奧秘？建筑和數(shù)學之間有什么關系？

1993年，清華大學秦佑國教授在《建筑師學術職業(yè)信息手冊》中發(fā)表學術報告《建筑與數(shù)學》，明確提出了現(xiàn)代數(shù)學概念在建筑學中的重要地位，國外研究學者相繼發(fā)表《The Architecture of the Jumping Universe A polemic：How Complexity Science is Changing Architecture and Culture》（1995）、《Fractal Geometry in Architecture and Design》（1996）等驗證了數(shù)學在建筑中的應用。2009年清華大學徐衛(wèi)國提出“數(shù)字建構(gòu)”[1]，即使用數(shù)字技術在電腦中生成建筑形體，以及借助于數(shù)控設備進行建筑構(gòu)件的生產(chǎn)和建筑的建造，并在清華大學建筑學院開設了“非線性”建筑設計的課程。近年來，許多歐美著名大學的建筑院系開設了相關的課程。2015年，全國建筑院系建筑數(shù)字技術教學研討會上，哈爾濱工業(yè)大學郭旗、陸詩亮、李磊等匯報了《基于現(xiàn)代數(shù)學理論的建筑復雜性形態(tài)設計手法研究》，針對現(xiàn)代數(shù)學理論的新成果，從代數(shù)的發(fā)展——數(shù)學模型與結(jié)構(gòu)、幾何的發(fā)展——新幾何學的研究兩個角度探討數(shù)學理論在復雜性建筑形態(tài)中的應用；云南昆明理工大學楊杰《建筑學中的數(shù)學理性與數(shù)學美》[2]先通過對數(shù)學各個發(fā)展時期中所產(chǎn)生的重大發(fā)展以及由此帶給建筑學的影響的介紹，表明建筑學的發(fā)展變化除了受社會、政治、經(jīng)濟等因素的影響之外，更為重要的是受到數(shù)學發(fā)展的影響。

隨著新建筑材料的發(fā)現(xiàn)，與之相適應的新的數(shù)學思想也應運而生。用各種各樣可以得到的建筑材料，如石頭、木材、磚塊合成材料等，建筑師們能夠設計出實質(zhì)為任何形狀的建筑物?，F(xiàn)實生活中所見到的雙曲拋物體形式的建筑物，如舊金山圣瑪麗大教堂、拋物線型的機棚、模仿游牧部落帳篷的立體組合結(jié)構(gòu)、支撐東京奧林匹克運動大廳的懸鏈線纜，以及帶有橢圓頂天花板的八角形房屋，中國北京的奧林匹克運動會的主場館鳥巢與水立方的遙相輝映等。人們常說：“簡約而不簡單”，建筑就是一種能夠最終歸結(jié)為數(shù)學的簡約的藝術。

麗江福國寺五鳳樓集藏、漢、白、納西族民居的建筑精粹于一體，大到結(jié)構(gòu)布局小到圖案裝飾都蘊含著豐富的數(shù)學元素：長方形、正方形、平行四邊形、菱形、圓形、三角形等，這些圖形形成單獨紋樣或經(jīng)過組合形成復合紋樣，再采用軸對稱、中心對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等變換。徐霞客曾嘆曰：“層臺高拱，上建法云閣，五鳳樓八角層甍，極其宏麗?！辈恢脒^數(shù)學又為五鳳樓的美做了什么貢獻呢？

二、五鳳樓的翼角曲率

五鳳樓是三重檐攢尖頂樓閣式木構(gòu)建筑，飛檐高挑，高約20米，32柱，飛檐8角，3疊共24角，飛檐翹角，簡稱翼角，麗江當?shù)胤Q龍馬角。木匠在施工中，構(gòu)件編號為出角，如東南出角、東北出角、西北出角、西南出角[3]；翼角是中國古代建筑屋檐的轉(zhuǎn)角部分，因向上翹起，舒展如鳥翼而得名，主要用在屋頂相鄰兩坡屋檐之間。

在建造中，木匠們有一句口訣：“翹不過金”，意思是翼角起翹不能超過金檁，為了使屋頂更加美麗，屋脊和屋角設計成美麗的曲線。在數(shù)學中，曲率（curvature）是描述幾何體彎曲程度的量，例如曲面偏離平面的程度，或者曲線偏離直線的程度。在這里，定義翼角的曲率為屋面偏離水平面的程度。屋面曲線的做法在全國古建筑中用來追求建筑的曲線美，而南北建筑所不同的是翼角的曲率大小。北方天氣寒冷，翼角做得比較渾厚，屋脊平直，曲線平緩（如北京故宮），自然屋面偏離水平面的程度小，即翼角的曲率小。南方氣候炎熱，屋面做得比較輕盈，屋角屋面曲度大（如岳陽樓），尤其是園林建筑屋角曲線做得比較夸張，屋面偏離水平面的程度大，即翼角的曲率大。而麗江氣候溫和，納西地區(qū)古建筑的形成和發(fā)展，在接受外來文化和技術的同時，吸取本民族的建筑風格，屋脊曲線柔和而舒展。納西族建筑的翼角的曲率，恰好在南北方建筑風格之間，屋角微微飛翹，既有北方之雄又有南方之秀。

三、三角形穩(wěn)定性

五鳳樓每層飛檐8角，東南、東北、西北及西南四方各占2角，這種飛檐翹角的古建筑角梁懸挑較長，為了保持角梁的穩(wěn)定性以防安全，納西族先民在古建筑營造法的基礎上，在角梁前端增加了一構(gòu)件柱，叫“扶腰柱”（見圖1五鳳樓左邊第一根圓柱）。在扶腰柱的作用下，角梁有效挑出的部分就縮短了，使挑出的角梁更加穩(wěn)定。這個做法一直延續(xù)下來，成為納西族地區(qū)古建筑傳統(tǒng)做法的一個特色。

在建筑上也經(jīng)常采用方五斜七的估算，木匠有口決：“周三徑一不徑一，方（正）五斜七不斜七，里外讓個大概齊”，意思是說如果圓的周長是三那么直徑就是一，一個正方形每條邊的邊長如果都是五那么對角線就是七，可又不是一和七，一要往里讓，也就是減掉一點，七要往外讓一點，也就是加上一點。

在角梁出挑長度的計算時，當時沒有勾股定理，木匠師傅就按經(jīng)驗，用方五斜七進行估算：一種經(jīng)驗是按方五斜七計算所得的數(shù)據(jù)再加9寸至1尺5（30-50厘米）；另一種經(jīng)驗是按方五斜七所得數(shù)據(jù)再乘以系數(shù)1.1，也有叫見尺加一或尺上加一，用現(xiàn)代數(shù)學計算發(fā)現(xiàn)其實誤差很大，但是在當時的社會環(huán)境下，用方五斜七進行估算是最佳辦法，同時也可以看出遠在古代，納西族先民就具有估算的意識。

五、結(jié)語

從數(shù)學的角度帶著問題去欣賞五鳳樓，發(fā)現(xiàn)它蘊含著豐富多彩的數(shù)學元素，處處體現(xiàn)著數(shù)學知識，讓人們明白精美的建筑都離不開精密的數(shù)學計算，數(shù)學與建筑之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，除了本文中發(fā)現(xiàn)的翼角曲率、三角形穩(wěn)定性、方五斜七的估算等，還有許多未知的數(shù)學問題等待世人去探索。研究在建筑中使用的數(shù)學知識，能夠幫助建筑師解決建筑上的數(shù)學問題，同時也體會到數(shù)學知識的實際運用的現(xiàn)實意義。

參考文獻：

[1]徐衛(wèi)國.數(shù)字建構(gòu)[J].建筑學報，2009（1）.

[2]楊杰.建筑學中的數(shù)學理性與數(shù)學美[D].昆明：昆明理工大學，2006.

[3]木庚錫.麗江古建筑及裝飾圖集[M].北京：光明日報出版社，2014：2-11.

作者簡介：楊敏（1987-），女，漢族，云南省楚雄人，碩士，講師，主要從事民族數(shù)學文化和數(shù)學教育研究；趙建紅（1981-），男，漢族，云南巍山人，碩士，副教授，主要研究少數(shù)民族數(shù)學與數(shù)學教育。