“平方差公式”課例與評析

魯冰

【摘要】平方差公式是繼完全平方公式后的第二個被廣泛運用的公式.它是特殊的多項式乘多項式.

【關鍵詞】平方差公式;探究;應用

教學內容：蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書》七年級下冊第9章“乘法公式”第二課時“平方差公式”.

教學過程：

一、創(chuàng)設情境，引出新課

師：下面有三條多項式，請大家快速地算出來，多項式乘多項式，第一題x的平方減1，第二題m的平方減4，第三題4x2減1，我們觀察一下，多項式乘多項式，我們看左邊，相乘的兩個多項式有什么特點？結果又有什么特點？你能說一說嗎？

生：左邊都是x+1乘x-1.

師：用文字語言說一說.

生：左邊是第一個多項式兩個數(shù)相加，第二個多項式是這兩個數(shù)相減，右邊平方相減.

師：能不能把你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母表示數(shù)表示出來？

生：（a+b）（a-b）=a的平方-b的平方.

師：我們通過猜想，用猜想表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，（a+b）·（a-b）=a的平方-b的平方，同學們，從猜想到發(fā)現(xiàn)規(guī)律在數(shù)學上叫什么思想？

生：從特殊到一般.

二、動手實踐，探索新知

師：從特殊到一般得到的結論我們要進行驗證或證明，怎么來證明它的正確性呢？

生：很簡單，我們可以用多項式乘多項式驗證（學生動手操作）.

師：通過多項式乘多項式，從數(shù)的角度證明等式的規(guī)律是正確的，我們還可以通過圖形法來證明，我們看一下如何用圖形法來證明這個結論是成立的，我們分析一下等式的右邊——a的平方減b的平方，那么平方與什么有關？

生：面積.

師：如何構造a的平方減b的平方.

生：兩個正方形面積相減，這是邊長為a的正方形，然后在它的左下角畫一個邊長為b的正方形，我們這個紅色的部分就是a的平方減b的平方.

師：那么我們怎么來構造a+b乘a-b呢？我們通過面積割補法，怎么割，我們把圖形另外畫出來，我們通過割和補，補成一個a加b和a減b，這樣一個長乘寬的長方形，怎么割呢？沿著這條直線割下來，a減b割下來，然后把它旋轉拼到右側，我們知道這個邊長為b，把不規(guī)則圖形通過割補變成規(guī)則的長方形，那么這個長方形的長是多少？

生：a+b.

師：寬呢？

生：a-b.

師：根據(jù)什么不變？

生：面積不變，根據(jù)面積不變性.

師：我們驗證了這個等式（a+b）（a-b）=a的平方+b的平方，我們通過面積法，圖形的方法也可以證明（a+b）（a-b）=a的平方+b的平方，這里也體現(xiàn)了我們一個數(shù)學思想，叫數(shù)形結合，某些數(shù)的知識可以通過圖形的面積來證明，這在我們今后的學習中用的非常多.

師：通過兩種方法證明這個等式成立，那么我們把這個等式叫什么呢？平方差公式，這就是我們今天學的公式，平方差公式（a+b）（a-b）=a的平方+b的平方，請同學們用文字語言表述一下這個公式.

生：一個數(shù)加另一個數(shù)的和乘這個數(shù)減另一個數(shù)等于這兩個數(shù)的平方差.

師：我把它稍微優(yōu)化一下，一個數(shù)和另一個數(shù)我們統(tǒng)稱為兩個數(shù)，兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積等于這兩個數(shù)的平方差，公式的命名是有公式右邊得到的，右邊是一個平方差.

分析一下公式的特點，這個公式左邊有什么特點右邊有什么特點？

生：左邊有兩個相同的a.

師：a我們稱為相同項，這里的加b減b，看成正b，負b，他們是什么項，相反項，左邊有兩個相同項，還有兩個相反項，那么右邊呢？這個是誰的平方？

生：a的平法，相同項的平方，b的平方，相反項的平方.

師：我們這個公式最大的特點就是：左邊兩個多項式相乘的時候，一項相同，另一項相反，而右邊始終是相同項的平方減相反項的平方，記住公式的結構特點，學了公式之后用來解決什么問題呢？形如（a+b）（a-b）的兩個多項式相乘直接用公式來計算，就不需要用多項式乘多項式了.

三、應用新知，解決問題

教學反思：

本節(jié)課的教學設計，筆者（執(zhí)教者）創(chuàng)設情境，引導學生通過思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學會學習，促進學生在教師的指導下生動活潑、自主地、富有個性地學習，力爭體現(xiàn)“學生是數(shù)學學習的主人，教師是數(shù)學學習的組織者、引導者和合作者”的教學理念，使學生的知識和技能得到全面的發(fā)展.

1.設置情境，引導問題

筆者在本課開頭利用一組特殊的多項式乘多項式，讓學生通過計算自己總結發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，從特殊到一般，培養(yǎng)了學生總結歸納的能力.

2.學會學習，主動探索

讓學生通過科學有力的證明探索結論的準確性，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)臄?shù)學思維.歸納平方差公式的特點，使學生學會探索新知.

3.學會“用”數(shù)學，解決問題

把平方差公式熟練運用，使學生進一步感受數(shù)學的形態(tài)美.進一步讓學生對幾何圖形有更深入地了解.

總之，本課力爭體現(xiàn)新課堂的教學理念，對新課程下新課堂的豐富內涵進行探索與有益地嘗試，著力使新課堂成為數(shù)學學習的場所，使學生真正成為課堂的主人，提升教師和學生的核心素養(yǎng)！