模型思想，發(fā)現(xiàn)圖形的美

李維

[摘? 要] 模型思想是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要思想之一，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，數(shù)學(xué)思想的滲透與感悟是踐行學(xué)生核心素養(yǎng)落地生根的關(guān)鍵. 教師需要將思想鑲嵌到情境中，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)情境中的數(shù)學(xué)問題，并將問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，從而通過模型思想和數(shù)學(xué)工具一一突破問題. 教師要讓學(xué)生在長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)與應(yīng)用之中，提升對(duì)模型思想的感悟與應(yīng)用，將思想轉(zhuǎn)變成一種應(yīng)用能力與一種學(xué)習(xí)習(xí)慣.

[關(guān)鍵詞] 模型思想;圖形;初中數(shù)學(xué);能力;素養(yǎng)

數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)所構(gòu)建的科學(xué)模型，模型思想就是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的思想. 在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，模型思想是一種重要的思想，也是一種常用的方法，更是一種實(shí)用的工具，尤其在解決問題的過程中，有著不可替代的作用. 簡(jiǎn)言之，模型思想就是在解決問題時(shí)，根據(jù)問題所提供的信息及其特征，抽象出數(shù)學(xué)基本模型，從而使問題由繁化簡(jiǎn)、由難化易. 對(duì)于初中數(shù)學(xué)而言，模型思想在幾何問題解決中的重要作用尤為突出，下面結(jié)合初三一輪復(fù)習(xí)專題“線段和的最值”（蘇科版），談?wù)劰P者的感悟.

模型1：“將軍飲馬”模型

將軍飲馬模型是路徑最短問題中的經(jīng)典模型，抽象成幾何模型即為：如圖1，點(diǎn)A，B是直線l同一側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，在直線l上求一點(diǎn)P，使AP+BP的值最小.

利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′（如圖2），則AP的長(zhǎng)度可以轉(zhuǎn)化為A′P的長(zhǎng)度. 利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知當(dāng)A′，P，B三點(diǎn)共線時(shí)，AP+BP的值最小.

例1如圖3，在∠AOB的內(nèi)部有一點(diǎn)P，分別在OA，OB上各找一點(diǎn)M，N，使△PMN的周長(zhǎng)最小.

分析上述問題顯然和“將軍飲馬”的“兩定一動(dòng)”模型有所區(qū)別，此題屬于“一定兩動(dòng)”，但思路卻是相通的. 如圖4，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)P′，P″，則MP可以轉(zhuǎn)化成MP′，NP可以轉(zhuǎn)化成NP″，△PMN的周長(zhǎng)即為P′M+MN+NP″. 連接P′P″，依據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，即可找到M，N的確切位置，使△PMN的周長(zhǎng)最小.

例2如圖5，∠AOB的邊OA，OB上分別有點(diǎn)M，N，且OM=1，ON=3，P，Q分別是OB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，已知∠AOB=30°，試求MP+PQ+QN的最小值.

分析該問題屬于“兩定兩動(dòng)”問題. 根據(jù)將軍飲馬模型的思路，只需作M關(guān)于直線OB的對(duì)稱點(diǎn)M′，N關(guān)于直線OA的對(duì)稱點(diǎn)N′（如圖6），則MP+PQ+QN=M′P+PQ+QN′. 連接M′N′，則M′N′的長(zhǎng)度即為MP+PQ+QN的最小值. 易證∠N′OM′=90°，由對(duì)稱的性質(zhì)知OM′=OM=1，ON′=ON=3，所以M′N′=.

“兩點(diǎn)之間，線段最短”是將軍飲馬模型的依據(jù)，幾何圖形中能夠快速發(fā)現(xiàn)該模型的方法就是找點(diǎn)，通常具備“兩定一動(dòng)”“兩動(dòng)一定”和“三動(dòng)”特征的點(diǎn)時(shí)，即可利用該模型來求解.

模型2：垂線段最短

“直線外一點(diǎn)到直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短”是基本定理，將此定理運(yùn)用于幾何圖形中，即可成為一個(gè)解決線段之和最短問題的基本幾何模型.

例3如圖7，∠AOB的邊OB上有一定點(diǎn)C，在OA，OB上分別求一點(diǎn)M，N，使CM+MN的值最小.

分析首先利用軸對(duì)稱作點(diǎn)C關(guān)于直線OA對(duì)稱的點(diǎn)C′（如圖8），則CM即可轉(zhuǎn)化為C′M. 當(dāng)C′，M，N三點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，CM+MN有最小值，即C′N的長(zhǎng). 由于點(diǎn)N不固定，所以線段C′N的長(zhǎng)度也在不斷地發(fā)生變化，但當(dāng)C′N⊥OB時(shí)，線段C′N的長(zhǎng)度最小，此時(shí)正是CM+MN的最小值.

例4如圖9，在平面直角坐標(biāo)系中，☉A的半徑為1，圓心A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)P為直線y=-x+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作☉A的切線，切點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，切線PQ的長(zhǎng)度也在不斷變化，這個(gè)長(zhǎng)度是否存在最小值？請(qǐng)說明理由.

分析根據(jù)切線長(zhǎng)的計(jì)算公式，無論點(diǎn)P在何位置，PQ=總成立. 由圖10可知，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，☉A的半徑不變，所以當(dāng)PA取得最小值時(shí)，PQ也取得最小值. 依據(jù)“垂線段最短”可知，當(dāng)AP⊥BC時(shí)，PA的長(zhǎng)度最小，此時(shí)切線PQ的長(zhǎng)度也最小. 要求此時(shí)PQ的長(zhǎng)，可以先證△COB≌△CPA，從而得到PA=OB=3. 再利用勾股定理，即可求出PQ==2.

針對(duì)動(dòng)態(tài)問題，“動(dòng)中求靜”是一種策略. 在上述模型中，“動(dòng)”中的“定”通常是一個(gè)定點(diǎn)，找準(zhǔn)定點(diǎn)后利用對(duì)稱的方法將線段之和轉(zhuǎn)化成一條線段，再根據(jù)“線段最短”，即可解決問題.

模型3：圓上的最近點(diǎn)（最遠(yuǎn)點(diǎn)）

如圖11，點(diǎn)P是☉O外一點(diǎn)，A，O，B，P四點(diǎn)共線，則點(diǎn)P與圓上所有點(diǎn)的連線段中，PA最長(zhǎng)，PB最短. 當(dāng)點(diǎn)P是☉O內(nèi)一點(diǎn)時(shí)，結(jié)論依然成立（如圖12，當(dāng)然，此時(shí)點(diǎn)P離點(diǎn)B更近一些）.

例5如圖13，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD的邊AD上任取一點(diǎn)E，連接BE，過點(diǎn)A作BE的垂線，垂足為F，點(diǎn)P是AD邊上另一動(dòng)點(diǎn)，連接PF，PC，求PC+PF的最小值.

分析由AF⊥BF可知點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡為以AB為直徑的半圓弧. 在正方形ABCD的左邊作一個(gè)與之全等的正方形AB′C′D，連接PC′，則PC=PC′，PC+PF=PC′+PF. 所以當(dāng)C′，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PF取得最小值. 于是問題轉(zhuǎn)化成當(dāng)點(diǎn)F在什么位置時(shí)，C′F的值最小. 由上述模型可知，連接C′O（其中O為AB的中點(diǎn)），其與半圓弧的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)F. 利用C′F=CO-FO可以求出此時(shí)C′F的長(zhǎng).

因?yàn)閳A上的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)都與圓有關(guān)，所以在問題中發(fā)現(xiàn)“隱圓”非常重要，而該圓通常是點(diǎn)的軌跡. 所以，當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)圓時(shí)，可以考慮利用這一模型來求解.

模型4：三角形

“兩邊之和大于第三邊”是三角形的三邊關(guān)系，從另外一個(gè)角度可以描述為“三角形的一條邊小于另外兩條邊之和”，這便可以成為線段和最值問題的一個(gè)幾何模型.

例6如圖15，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=4，D為線段AC上任意一點(diǎn)，連接BD，過點(diǎn)C作BD的垂線，垂足為H，連接AH，求AH的最小值.

分析題中無法直接看出何時(shí)AH的值最小，根據(jù)所給條件“CH⊥BD”可知△CBH為直角三角形，如圖16，取BC的中點(diǎn)G，連接HG可知HG為直角三角形CBH斜邊上的中線，因此HG=BC為定值. 若AH取得最小值，則AH+HG取得最小值. 連接AG，得到三角形AGH，根據(jù)AG

例7如圖17，☉O是半徑為1的圓，MN是它的直徑，點(diǎn)A是圓上一點(diǎn)，且∠AMN=30°. 已知=，P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB的最小值.

分析圖中A，B為定點(diǎn)，可以作點(diǎn)B關(guān)于直線MN對(duì)稱的點(diǎn)B′，則PA+PB=PA+PB′. A，P，B′可以構(gòu)成一個(gè)三角形模型，根據(jù)“兩邊之和大于第三邊”可以判定，當(dāng)A，P，B′三點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB的值最小，于是可確定點(diǎn)P的位置. 計(jì)算PA+PB的最小值，就是計(jì)算AB′的長(zhǎng). 根據(jù)同弧所對(duì)的圓心角與圓周角的關(guān)系可知∠AON=2∠M=60°，由對(duì)稱可知∠B′ON=∠BON=∠AON=30°，所以△AOB′為等腰直角三角形，AB′=. 所以PA+PB的最小值為.

“兩邊之和大于第三邊”模型與“將軍飲馬”模型有相通之處，它們的實(shí)質(zhì)都是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，同時(shí)它們也存在細(xì)微的區(qū)別. “將軍飲馬”模型突出對(duì)稱，而“兩邊之和大于第三邊”中三角形的存在較為明顯. 解決問題時(shí)，應(yīng)仔細(xì)觀察圖中隱含的圖形，或構(gòu)造目標(biāo)模型，或找到三角形運(yùn)用“兩邊之和大于第三邊”模型來解決問題.

靈活、多變是數(shù)學(xué)問題的特征，“變”讓幾何圖形千姿百態(tài). 正是這些“變幻莫測(cè)”的幾何圖形，有時(shí)讓學(xué)生覺得難以突破. 誠(chéng)然，幾何圖形的變化有規(guī)律也有依據(jù)，這個(gè)依據(jù)便是基本幾何模型，所以挖掘條件，分解圖形，找到復(fù)雜圖形中隱含的幾何模型，是解決幾何問題的基本思路. 對(duì)于教師而言，在教學(xué)中應(yīng)滲透模型思想，力爭(zhēng)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖形的美，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的美，攻克數(shù)學(xué)問題，從而愛上數(shù)學(xué).