三次函數(shù)圖像的基本特點(diǎn)初探

段春林

【中圖分類號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）51-0122-01

我們把形如y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的函數(shù)稱為三次函數(shù)，對(duì)其圖像的考查在高考命題中常常出現(xiàn)，有鑒于此，本文將對(duì)三次函數(shù)圖像的一些特性作一初步探討。

我們先從一個(gè)例子談起：

下圖是y=x3-3x2-9x+5經(jīng)過列表描點(diǎn)所畫出的三次曲線。

從圖中可以看出：曲線光滑且連續(xù);

第一，從左向右看，曲線經(jīng)由第Ⅲ象限而來，從第Ⅰ象限離去，這點(diǎn)從“優(yōu)勢(shì)原則”可得，優(yōu)勢(shì)原則可表述為：對(duì)于充分大的|x|，多項(xiàng)式的值取決于最高次項(xiàng)，即對(duì)于充分大的|x|，|x3|的值超過|-3x2-9x+5|，因此，對(duì)于充分大的|x|，由x>0推得y>0，由x<0推得y<0.

第二，此三次函數(shù)的定義域與值域均為R，是否一般三次函數(shù)都有這一結(jié)果？

第三，這個(gè)三次函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，極大值點(diǎn)（-1，10），極小值點(diǎn)（3，-22），這一情況可通過討論y′得到，令y′=0，即x2-2x-3=0，得x=-1或x=3.

第四，曲線的縱截距為d=5.

第五，此三次曲線有三個(gè)零點(diǎn)，由零點(diǎn)存在性定理可知，三個(gè)根分別在（-3，-2），（0，1），和（4，5）之間，因?yàn)閒（-3）=-22，f（-2）=3，f（0）=5，f（1）=-6，f（4）=-15，f（5）=10.

第六，此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間∵y′=3（x2-2x-3）

令y′>0，得x∈（-∞，-1）∪（3，+∞），令y′<0，得x∈（-1，3），由此可知，x∈（-∞，-1）和x∈（3，+∞）時(shí)y=f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（-1，3）時(shí)，y=f（x）單調(diào)遞減。

第七，研究y″得到y(tǒng)″=6x-6，令y″>0，得x>1.

若x<1，y=f（x）為上凸函數(shù)，若x>1，y=f（x）為下凸函數(shù)，（1，f（1））是此函數(shù)圖像的拐點(diǎn);

第八，有對(duì)稱中心，其對(duì)稱中心是（-，f（-））.證明如下：

設(shè)函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的對(duì)稱中心為（m，n）。

按向量=（-m，-n）將函數(shù)的圖像平移，則所得函數(shù)y=f（x+m）-n是奇函數(shù)，所以f（-x）=-f（x），即f（-x+m）-n=-（f（x+m）-n），于是f（-x+m）+f（x+m）-2n=0

化簡(jiǎn)得：（3ma+b）x2+am3+bm2+cm+d-n=0

上式對(duì)x∈R恒成立，故

3am+b=0am3+bm2+cm+d-n=0

得m=-，

n=am3+bm2+cm+d=f（-）。

所以，函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）的對(duì)稱中心是（-，f（-））。

那么這個(gè)對(duì)稱中心有無特殊性，即它是不是在圖像的特殊位置呢？我們有了如下結(jié)論：若三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）有極值點(diǎn)（有的話，必有兩個(gè)，一個(gè)極大，一個(gè)極?。▁1，f（x1））和（x2，f（x2）），則它的對(duì)稱中心是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)（，f（））.

證明：不妨設(shè)3ax2+2bx+c=0為f（x）的導(dǎo)函數(shù)方程，其判別式△=4b2-12ac>2.，設(shè)f（x）兩極值點(diǎn)為A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2））.

易知x=為y=3ax2+2bx+c的對(duì)稱軸，∴f（）=f（-）

故此時(shí)的對(duì)稱中心是兩個(gè)極值點(diǎn)的中點(diǎn)，同時(shí)也是函數(shù) ? f（x）的拐點(diǎn)。

從以上結(jié)論可知，我們對(duì)三次函數(shù)圖像的討論主要集中在8個(gè)方面，即途經(jīng)的象限、定義域、值域、有無極值、縱截距、零點(diǎn)個(gè)數(shù)、單調(diào)區(qū)間、拐點(diǎn)、對(duì)稱中心。下面針對(duì)以上問題做一粗略討論。

不妨設(shè)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

∵y′=3ax2+2bx+c，y″=6ax+2b，

令y′=0（？鄢），其解的個(gè)數(shù)取決于△=4b2-12ac=4（b2-3ac）（？鄢？鄢）

令y″=0，解得x=-，此即為對(duì)稱中心談?wù)摰膯栴}。

①若b2-3ac>0，（？鄢）式有兩根，不妨設(shè)為x1、x2，y=f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)A（x1，f（x1））和B（x2，f（x2）），有一拐點(diǎn)（-，f（-）），單調(diào)性為先單增（-∞，x1）后單減（x1，x2）再單增（x2，+∞）;

②b2-3ac≤0，（？鄢）式有兩等根，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn)，無極值點(diǎn)，有一拐點(diǎn)，單調(diào)性為單調(diào)遞增。

綜上可知，三次函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d（a≠0，b，c，d∈R）有：

①定義域和值域均為R;

②當(dāng)a>0時(shí)，曲線（從左向右看）從第Ⅲ象限“進(jìn)入”，經(jīng)第Ⅰ象限“離開”;

③當(dāng)a<0時(shí)，曲線（從左向右看）從第Ⅱ象限“進(jìn)入”，經(jīng)第Ⅳ象限“離開”;

④縱截距為d;

⑤曲線與x軸至少交一次（其交點(diǎn)個(gè)數(shù)由△和極值點(diǎn)的坐標(biāo)綜合得出，前面已討論，不再贅述）。