考慮彎扭耦合效應(yīng)的復(fù)合材料葉片鋪層優(yōu)化方法

張龍, 賈普榮, 王波, 徐斌

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院, 陜西 西安 710072; 2.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 陜西 西安 710072)

風(fēng)扇葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)、船用推進(jìn)器以及風(fēng)力發(fā)電機(jī)的重要組成部分[1-3]。傳統(tǒng)風(fēng)扇葉片是由金屬材料制成，但對(duì)于發(fā)動(dòng)機(jī)而言，減輕結(jié)構(gòu)重量能有效提高發(fā)動(dòng)機(jī)的性能，因此為滿足日益增長的這一需求，采用復(fù)合材料替換傳統(tǒng)金屬材料是一種有效且可行的途徑[4-5]。相比于金屬材料，復(fù)合材料具有質(zhì)量輕、比模量高、比強(qiáng)度高、耐腐蝕、耐疲勞以及抗振動(dòng)等優(yōu)點(diǎn)。同時(shí)復(fù)合材料具有各向異性這一特點(diǎn)，在受載時(shí)會(huì)產(chǎn)生拉伸、剪切、彎曲和扭轉(zhuǎn)之間互相的耦合效應(yīng)，這使得復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有更多靈活性，但也使設(shè)計(jì)更加復(fù)雜[6]。

由于傳統(tǒng)金屬葉片模量高，受載時(shí)葉片變形較小，因此在設(shè)計(jì)過程中一般忽略葉片氣動(dòng)外形的變化對(duì)結(jié)構(gòu)性能的影響[7]。然而復(fù)合材料葉片的變形較大，并且不同鋪層方案的變形差異也較大，過大的變形會(huì)導(dǎo)致葉片不再滿足氣動(dòng)彈性外形的設(shè)計(jì)，進(jìn)而導(dǎo)致葉片結(jié)構(gòu)效率下降。因此在鋪層設(shè)計(jì)時(shí)必須考慮變形對(duì)葉片氣動(dòng)彈性結(jié)構(gòu)效率的影響[8]。周邢銀等人對(duì)復(fù)合材料懸臂梁不同區(qū)域上的彎扭耦合效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)變形的影響進(jìn)行了研究[9]。彭峰和Xiao等人分別對(duì)船用復(fù)合材料葉片和發(fā)動(dòng)機(jī)葉片進(jìn)行了研究，結(jié)果表明鋪層角度、鋪層厚度、鋪層順序?qū)?fù)合材料葉片結(jié)構(gòu)的性能有顯著影響[10-11]。Abdul等人通過不同鋪層順序的試驗(yàn)與仿真研究表明鋪層順序?qū)θ~片結(jié)構(gòu)變形的影響很大[12]。同時(shí)相比于彎曲變形，葉片的扭轉(zhuǎn)變形會(huì)改變?nèi)~片的攻角，而攻角的改變會(huì)顯著降低葉片結(jié)構(gòu)的效率[13]。為了提高葉片結(jié)構(gòu)效率，必須減小葉片氣動(dòng)外形的改變，尤其是減小扭轉(zhuǎn)變形。因此可以利用復(fù)合材料對(duì)稱層合板結(jié)構(gòu)中的彎扭耦合效應(yīng)，通過調(diào)整鋪層角度和鋪層順序，使結(jié)構(gòu)中由彎矩通過耦合效應(yīng)產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形，與扭矩產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)變形相互抵消，減小葉片的整體扭轉(zhuǎn)變形，從而提高葉片氣動(dòng)彈性結(jié)構(gòu)的效率[14-15]，達(dá)到鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。

本文基于經(jīng)典層合板理論，提出了2個(gè)分析參數(shù)：剛度權(quán)值和載荷系數(shù)。通過設(shè)計(jì)彎扭耦合試驗(yàn)，研究了2個(gè)分析參數(shù)對(duì)彎扭耦合效應(yīng)的影響，并結(jié)合有限元模擬對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。進(jìn)一步采用剛度權(quán)值和載荷系數(shù)對(duì)彎扭耦合效應(yīng)進(jìn)行了定量分析，將求解滿足最小曲率目標(biāo)函數(shù)時(shí)的最優(yōu)鋪層順序轉(zhuǎn)化為求解最優(yōu)剛度權(quán)值，得到隨載荷系數(shù)變化的最優(yōu)剛度權(quán)值曲線。在給定任意彎扭載荷系數(shù)下，通過對(duì)最優(yōu)剛度權(quán)值曲線的逆向計(jì)算，能夠直接得到滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)條件的最優(yōu)鋪層順序，為復(fù)合材料葉片的鋪層優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考和依據(jù)。

1 剛度權(quán)值和載荷系數(shù)的定義

1.1 剛度權(quán)值

為了分析對(duì)稱層合板結(jié)構(gòu)中相同鋪層角度所在鋪層位置對(duì)彎扭耦合效應(yīng)的影響，基于經(jīng)典層合板理論(CLT)，將面內(nèi)剛度矩陣A和彎曲剛度矩陣D中相同的鋪層角度進(jìn)行合并,剛度矩陣表述如下:

(1)

式中，H為層合板總厚度,r為鋪層角度種類的數(shù)量;i為鋪層角度的編號(hào),Qi為對(duì)應(yīng)角度的偏軸剛度矩陣,αi和δi分別為該角度的面內(nèi)和彎曲剛度權(quán)值,由公式(2)給出:

(2)

式中，mi為第i個(gè)角度的鋪層數(shù)量,hi, t和hi, t-1分別為該角度下第t層的上下表面的Z坐標(biāo)值。根據(jù)公式(2)的定義,αi與鋪層含量意義相同,且αi和δi滿足如下關(guān)系

(3)

1.2 載荷系數(shù)

為了分析不同載荷比例對(duì)耦合效應(yīng)的影響,采用單位化對(duì)載荷進(jìn)行變量代換,如公式(4)所示:

(4)

由此分別引入了體現(xiàn)鋪層因素的分析變量:剛度權(quán)值α和δ,以及體現(xiàn)載荷因素的分析變量:比例系數(shù)ω。

2 試驗(yàn)與有限元模擬分析研究

2.1 彎扭耦合試驗(yàn)方案

圖1為彎扭耦合試驗(yàn)加載方式示意圖。圖2為復(fù)合材料試件尺寸示意圖。如圖所示,通過在復(fù)合材料懸臂板加載端5個(gè)不同位置施加載荷分別為LN2,LN1,P0,LP1和LP2。實(shí)現(xiàn)扭矩由負(fù)到正的5種彎扭載荷比例,試驗(yàn)采用Instron1196電子萬能試驗(yàn)機(jī)加載,試驗(yàn)速度為2 mm/min,當(dāng)載荷達(dá)到60 N時(shí),結(jié)束試驗(yàn),保存數(shù)據(jù)。層合板選用M40J/CYCOM970高模量碳纖維復(fù)合材料,單層厚度0.125 mm,其單層屬性見表1。

圖1 試驗(yàn)加載方式示意圖

圖2 復(fù)合材料試件尺寸示意圖(單位: mm)

E11/GPaE22=E33/GPaν12=v13ν23G12=G13/GPaG23/GPa179.1111.320.2540.455.262.76

表2為4種試件鋪層順序和對(duì)應(yīng)鋪層角度的δ。通過改變?cè)嚰亴禹樞?實(shí)現(xiàn)δ的變化。在設(shè)計(jì)試件偏軸鋪層角度時(shí),為提高試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可分析性,即在改變?chǔ)睾挺臅r(shí),提高曲率和扭率的變化量,應(yīng)選擇耦合效應(yīng)較強(qiáng)的偏軸角度,同時(shí)考慮偏軸角度鋪設(shè)的難易,偏軸角度以整數(shù)為宜,最終根據(jù)本文所用復(fù)合材料屬性,選擇30°作為偏軸鋪層角度。

表2 試件鋪層順序和彎曲剛度權(quán)值δ

2.2 有限元分析模型

由于試驗(yàn)只能通過計(jì)算應(yīng)變得到測(cè)點(diǎn)曲率,無法測(cè)得內(nèi)力矩,因此不能直接對(duì)CLT理論進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。通過引入有限元(FEA)仿真計(jì)算,可以同時(shí)得到測(cè)點(diǎn)曲率和內(nèi)力矩。通過對(duì)比試驗(yàn)與FEA的曲率數(shù)據(jù),驗(yàn)證FEA的計(jì)算結(jié)果的正確性。再將試驗(yàn)曲率通過CLT理論計(jì)算得到的內(nèi)力矩與FEA的內(nèi)力矩進(jìn)行對(duì)比分析,并以此來驗(yàn)證采用CLT理論對(duì)彎扭耦合效應(yīng)進(jìn)行分析計(jì)算是否可行。

本文采用ABAQUS商業(yè)有限元件對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行仿真模擬。模型尺寸和加載方式與圖2、圖1一致,材料屬性和鋪層順序與表1、表2一致,采用C3D20單元,單元數(shù)為720 000。模型邊界條件及加載方式如表3所示,均與試驗(yàn)條件盡可能保持一致。

表3 有限元模型邊界條件及加載方式

2.3 試驗(yàn)與有限元結(jié)果對(duì)比分析

圖3為4種試件試驗(yàn)和FEA的曲率κ-加載點(diǎn)曲線。結(jié)合表2中的權(quán)值與圖中曲線可以看出:

1) 對(duì)比4種試件在P0純彎曲加載時(shí),隨δ0增大,|κx|和|κy|減小;隨|δ30-δ-30|增大,|κxy|增大;在δ30-δ-30>0的ABD型中κxy<0,反之在δ30-δ-30<0的C型中κxy>0。

2) 在δ30-δ-30>0的ABD型中,隨Mxy增大κx減小,反之在δ30-δ-30<0的C型中κx增大,隨|δ30-δ-30|增大,κx和κxy的斜率增大。

3) 對(duì)應(yīng)5種不同彎扭載荷比例時(shí),|κxy|最小值對(duì)應(yīng)不同的鋪層順序。A型和B型|κxy|最小值對(duì)應(yīng)在LP2加載點(diǎn),其中A型|κxy|更小,C型和D型|κxy|最小值分別對(duì)應(yīng)LN1和LP1加載點(diǎn)。

從以上分析可以發(fā)現(xiàn),①δ0控制抗彎曲性能;②|δ30-δ-30|的大小控制耦合效應(yīng)的強(qiáng)弱,δ30-δ-30的正負(fù)控制耦合效應(yīng)的正負(fù)。③在不同彎扭載荷比例下,最小|κxy|對(duì)應(yīng)的鋪層也不相同。由此可將非連續(xù)的鋪層順序轉(zhuǎn)化為連續(xù)的剛度權(quán)值,對(duì)復(fù)合材料彎扭耦合效應(yīng)進(jìn)行定量分析和研究。

圖3 4種試件試驗(yàn)和有限元的曲率κ-加載點(diǎn)曲線

圖4為4種試件試驗(yàn)和FEA的力矩M-加載點(diǎn)曲線,其中試驗(yàn)的合內(nèi)力矩M是由試驗(yàn)的曲率數(shù)據(jù)通過CLT理論計(jì)算得到的。從圖中可以看出4種試件的受載情況基本一致。對(duì)4種試件的M求平均并計(jì)算得到平均ω,如表4所示。結(jié)合表4可以看出,在5種加載方式下:①M(fèi)x數(shù)值最大,且大小基本相同;②My數(shù)值很小,幾乎為0;③在P0加載點(diǎn)下,力矩Mxy幾乎為0,基本為純彎曲狀態(tài);加載點(diǎn)由LN2至LP2,Mxy由負(fù)變正。

圖4 4種試件試驗(yàn)和有限元的力矩M-加載點(diǎn)曲線

Test/FEAωxωyωxyLN20.094/0.0920.987/0.9861.093/1.091 LN10.045/0.0460.995/0.9931.045/1.046 P00.002/0.0040.997/0.9961.000/1.000 LP10.050/0.0480.996/0.9940.950/0.952 LP20.096/0.0940.987/0.9860.905/0.906

為比較試驗(yàn)和FEA 2組曲線的數(shù)據(jù)誤差,采用積分絕對(duì)值誤差準(zhǔn)則(IAE)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析,計(jì)算方法如公式(5)所示,式中DTest表示試驗(yàn)數(shù)據(jù),DFEA表示有限元數(shù)據(jù),n為數(shù)據(jù)的數(shù)量。誤差計(jì)算結(jié)果如表5所示。

(5)

從表5中可以看出,試驗(yàn)與FEA的κx和κy誤差較小,κxy誤差相對(duì)較大,這可能是由于κxy是通過應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式計(jì)算得到,誤差被進(jìn)一步放大。表5中試驗(yàn)和FEA的Mx和Mxy誤差相對(duì)較小,My的誤差很大,但從圖4b)中可以看出My基本接近0,因此數(shù)據(jù)差異可能不大,但得到的誤差會(huì)較大。通過誤差分析可以看出,試驗(yàn)與FEA的曲率數(shù)據(jù)基本一致,并且通過CLT理論計(jì)算得到的力矩與有限元仿真計(jì)算得到的力矩也相對(duì)一致。因此間接通過FEA模擬對(duì)CLT理論與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗(yàn)證,可認(rèn)為采用CLT理論對(duì)彎扭耦合效應(yīng)的分析是可行的。

3 彎曲剛度權(quán)值的最優(yōu)路徑研究

3.1 問題描述

本文以工程中常用的由0°,90°,±45°組成的對(duì)稱層合板為例,以優(yōu)先滿足min(|κxy|),其次滿足min(|κx|)為目標(biāo)函數(shù),進(jìn)一步定量研究在不同ω下,δ的比例關(guān)系。由公式(1)可得層合板彎曲剛度矩陣如下

(6)

式中,Qi為i=0°,90°,±45°時(shí)單層板的偏軸剛度矩陣。根據(jù)試驗(yàn)分析結(jié)果,取My=0對(duì)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化,由公式(4)可得公式(7),獨(dú)立載荷因子剩下ωx,簡(jiǎn)記為ω。

(7)

當(dāng)鋪層角度確定后,κx和κxy分別是關(guān)于δ和ω的函數(shù)。根據(jù)對(duì)稱性分析可知,將ω最優(yōu)鋪層中的±θ°層的角度互換可得-ω的最優(yōu)鋪層。因此在公式(7)中只需討論ω∈[0, 1]的情況。

為滿足最小的|κx|和|κxy|條件,須滿足δ-45取值最小,根據(jù)層合板鋪層含量的約束,假設(shè)滿足α0≥0.6,其余鋪層角度含量α≥0.1時(shí),根據(jù)公式(3)中條件,4個(gè)δ中只有3個(gè)相互獨(dú)立,此時(shí)權(quán)值可行域滿足如下關(guān)系:

(8)

根據(jù)公式(8)可知,δ的可行域如圖5所示,其中可行域邊界點(diǎn)的權(quán)值坐標(biāo)如表6所示。

圖5 權(quán)值δ的可行域

可行域邊界點(diǎn)權(quán)值δ坐標(biāo)δ0δ90F10.9730.025 F20.9730.001 F30.5100.001 F40.2160.295 F50.2160.488 F60.5100.488

3.2 權(quán)值最優(yōu)路徑的求解計(jì)算

本文采用Maple數(shù)學(xué)工程計(jì)算軟件對(duì)所需求解的方程進(jìn)行計(jì)算。令H3/12=1，對(duì)公式(6)進(jìn)行簡(jiǎn)化，由此可得κx和κxy分別是關(guān)于δ和ω的函數(shù)κx(δ0,δ90,ω)和κxy(δ0,δ90,ω)。令κxy=0可得不同ω下δ關(guān)于κxy=0的等高曲線方程,如公式(9)所示

(9)

根據(jù)公式(9)作圖可得等高曲線δ90-δ0,如圖6所示。從圖中可以看出,ω存在一個(gè)臨界值ω1:當(dāng)ω∈[0,ω1]時(shí),存在等高曲線δ90-δ0使得κxy=0,當(dāng)ω=ω1時(shí),等高曲線δ90-δ0與可行域相交于點(diǎn)F4;將點(diǎn)F4的權(quán)值帶入公式(9)可得ω1=0.144;當(dāng)ω∈[ω1, 1]時(shí),κxy恒大于0。

圖6 不同ω下可行域上κxy=0的δ等高曲線δ90-δ0

1) 當(dāng)ω∈[0,ω1]時(shí):

求解公式(9)分別可得δ90和δ0的函數(shù)表達(dá)式:

δ90|κxy=0=f(δ0,ω),ω∈[0,ω1]

(10)

δ0|κxy=0=g(δ90,ω),ω∈[0,ω1]

(11)

將公式(10)帶入κx(δ0,δ90,ω)可得:

κx|κxy=0=κx(δ0,f(δ0,ω),ω),ω∈[0,ω1]

(12)

根據(jù)公式(12)可得在滿足κxy=0的條件下,κx-δ0關(guān)于ω的曲線族,如圖7所示。結(jié)合圖6與圖7可知,當(dāng)ω∈[0,ω1]時(shí),部分等高曲線關(guān)于δ0分為上下2個(gè)部分,部分等高曲線只有上半部分。且δ0取最大值時(shí)κx取得最小值。

圖7 不同ω下κxy=0時(shí)的κx-δ0曲線

為求得等高曲線上δ0的最大值,對(duì)圖6進(jìn)行分析可以看出,受可行域的約束,隨ω增大,等高曲線上δ0的最大值被分為3個(gè)部分,分別在可行域邊界F1F2F3,可行域內(nèi)和可行域邊界F3F4上。令方程(11)關(guān)于δ90求導(dǎo)為0,如公式(13)所示:

(13)

將方程(13)帶入方程(11)并分別與F2F3和F3F4曲線方程聯(lián)立求解,可得對(duì)應(yīng)臨界的ω分別為0.002和0.008。

分別對(duì)ω∈[0, 0.008],[0.008, 0.1]和[0.1,ω1]3個(gè)區(qū)間求解δ0的最大值,可得δ0(ω)函數(shù)方程。進(jìn)一步帶入公式(11)可得δ90(ω)函數(shù)方程,再根據(jù)公式(3)可得δ45(ω)函數(shù)方程。通過以上計(jì)算可得ω∈[0,ω1]時(shí),滿足κxy=0,且κx最小條件時(shí),δ(ω)的最優(yōu)路徑。

2) 當(dāng)∈[ω1, 1]時(shí):

κxy恒大于0,根據(jù)圖6可以看出,當(dāng)ω=ω1時(shí),κxy最小值在點(diǎn)F4。過點(diǎn)F4的κxy等高曲線方程如公式(14)所示

κxy(δ0,δ90,ω)=κxy|δ=F4,ω∈[ω1,1]

(14)

根據(jù)公式(14)可得不同ω下過邊界點(diǎn)F4的κxy等高曲線族,如圖8所示。從圖中可以看出,存在一個(gè)臨界值ω2,當(dāng)ω∈[ω1,ω2]時(shí),κxy最小值取在點(diǎn)F4處,當(dāng)ω∈[ω2, 1]時(shí),κxy最小值由點(diǎn)F4沿可行域邊界向F3移動(dòng)。

圖8 不同ω下過邊界點(diǎn)F4的κxy等高曲線族

將公式(8)中可行域邊界F3F4帶入κxy,并令κxy關(guān)于δ0求導(dǎo)為0,如公式(15)所示

(15)

將點(diǎn)F4的δ0帶入公式(15)求解可得臨界值ω2=0.843。對(duì)公式(15)求解可得ω∈[ω2, 1]范圍內(nèi)κxy最小值的δ0(ω)函數(shù)方程,帶入公式(8)中可行域邊界F3F4可得δ90(ω)函數(shù)方程,進(jìn)一步可得δ45(ω)函數(shù)方程。

3.3 權(quán)值最優(yōu)路徑計(jì)算結(jié)果與分析

通過以上分析可得,在可行域約束下的δ最優(yōu)路徑,如圖9所示。

圖9 不同比例系數(shù)ω下可行域內(nèi)權(quán)值δ的最優(yōu)路徑

圖中虛線為可行域邊界帶有形狀符號(hào)的曲線為對(duì)應(yīng)不同ω時(shí)κxy=0的等高曲線,實(shí)曲線H1F2H2H3F4H4為整體δ最優(yōu)路徑δ90-δ0曲線。在該最優(yōu)路徑上,能夠優(yōu)先保證|κxy|最小,其次保證|κx|最小。由于受可行域邊界的約束,δ最優(yōu)路徑被分為6個(gè)部分。當(dāng)ω∈[0.008, 0.1]時(shí),最優(yōu)路徑在可行域內(nèi)的曲線H2H3上,當(dāng)ω不在該范圍時(shí),最優(yōu)路徑在可行域的邊界上。δ最優(yōu)路徑的拐點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)的ω如表7所示。

通過δ最優(yōu)路徑,可得δ(ω)曲線,如圖10所示。結(jié)合表7與圖10可以看出:

表7 權(quán)值δ最優(yōu)路徑拐點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)應(yīng)比例系數(shù)ω

圖10 可行域上最優(yōu)權(quán)值路徑的δ-ω曲線

1) 當(dāng)ω∈[0, 0.002]時(shí),隨ω增大,δ0不變,δ90減小,δ45增大。δ最優(yōu)路徑為可行域邊界H1F1。

2) 當(dāng)ω∈[0.002, 0.008]時(shí),隨ω增大,δ0減小,δ90不變,δ45增大。δ最優(yōu)路徑為可行域邊界F1H2。

3) 當(dāng)ω∈[0.008,ω1]時(shí),隨ω增大δ0減小,δ90和δ45增大,且δ45增幅大于δ90。以ω=0.1為分界,δ最優(yōu)路徑分為2個(gè)部分:可行域內(nèi)的H2H3和可行域邊界上的H3F4。

4) 當(dāng)ω∈[ω1,ω2]時(shí),隨ω增大,δ0,δ90和δ45保持不變,δ最優(yōu)路徑停留在可行域邊界點(diǎn)F4上。

5) 當(dāng)ω∈[ω2, 1]時(shí),隨ω增大,δ0增大,δ90減

小,δ45保持不變,δ最優(yōu)路徑由點(diǎn)F4沿可行域邊界向H4移動(dòng)。

通過最優(yōu)路徑δ(ω),可以計(jì)算得到在最優(yōu)路徑上κ-ω曲線,如圖11所示。從圖中可以看出,在最優(yōu)路徑δ(ω)上:

1) 當(dāng)ω∈[0,ω1]時(shí),通過改變?chǔ)目梢员ＷC,隨ω增大,κxy=0,κx取得最小值。

2) 當(dāng)ω∈[ω1, 1]時(shí),隨ω增大,κxy開始增大,κx開始減小。

圖11 可行域上最優(yōu)權(quán)值路徑的κ-ω曲線

3.4 權(quán)值最優(yōu)路徑的算例驗(yàn)證與討論

本文以16層對(duì)稱層合板為例,對(duì)最優(yōu)路徑δ(ω)進(jìn)行驗(yàn)證。以試驗(yàn)中P0,LP1和LP2 3種情況的載荷因子為基礎(chǔ),分別選取ω=0,0.05,0.1以及ω1進(jìn)行分析計(jì)算。根據(jù)鋪層含量的約束關(guān)系可知4種角度的鋪層數(shù)分別為0°鋪層有10層,90°和±45°鋪層各2層。

由于實(shí)際情況中δ的取值是在三維空間中的離散點(diǎn)(δ0,δ90,δ45)上,不一定剛好取在理論最優(yōu)δ點(diǎn)上,因此實(shí)際最優(yōu)δ點(diǎn)是離散的三維空間點(diǎn)中包圍理論最優(yōu)δ點(diǎn)最小六面體8個(gè)頂點(diǎn)中的1個(gè)。通過計(jì)算實(shí)際與理論δ最優(yōu)點(diǎn)的距離可以計(jì)算得到六面體8個(gè)頂點(diǎn)的權(quán)值δ,從8種情況中選取滿足最優(yōu)條件的最優(yōu)實(shí)際δ,即為所求最優(yōu)實(shí)際最優(yōu)解。

表8 對(duì)應(yīng)比例系數(shù)ω下權(quán)值δ,曲率κ的理論與實(shí)際最優(yōu)解及鋪層順序

表8為采用Maple編程計(jì)算得到對(duì)應(yīng)ω的δ和κ的理論、實(shí)際最優(yōu)解,及對(duì)應(yīng)的實(shí)際鋪層順序。從表中可以看出,最優(yōu)解的理論與實(shí)際的δ和κ非常接近。①當(dāng)ω=0純彎曲時(shí),0°層在最外層,±45°層在最內(nèi)層;②隨ω增大,45°層最先移動(dòng)到外層,90°和-45°層相繼向外層移動(dòng)。當(dāng)ω=0.05時(shí),δ45的實(shí)際值為0.330,已經(jīng)達(dá)到實(shí)際的最大值,但仍小于δ45的理論值0.341,隨ω增大,二者差異增大,κxy也開始增大。這是由于實(shí)際鋪層的非連續(xù)性以及受到鋪層含量的約束導(dǎo)致δ的實(shí)際最優(yōu)值不能完全與理論最優(yōu)值重合。

4 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典層合板理論提出了2個(gè)分析參數(shù)：①將非量化的鋪層順序轉(zhuǎn)化為可量化分析的剛度權(quán)值；②將合內(nèi)力矩轉(zhuǎn)化為歸一化的載荷系數(shù)。并通過彎扭耦合試驗(yàn)與有限元模擬討論了2個(gè)分析參數(shù)對(duì)彎扭耦合效應(yīng)的影響。

以彎曲剛度權(quán)值的可行域?yàn)榧s束條件,結(jié)構(gòu)曲率最小為目標(biāo)函數(shù),對(duì)含有0°,90°,±45°的層合板進(jìn)行了優(yōu)化分析,得到了彎曲剛度權(quán)值的最優(yōu)路徑。受到可行域的限制,彎曲剛度權(quán)值最優(yōu)路徑被分成6個(gè)部分。①在前4個(gè)部分中,即ω∈[0,ω1]時(shí),存在優(yōu)化權(quán)值比例使得曲率κxy=0,|κx|取得最小值。②當(dāng)ω∈[ω1, 1]時(shí),受到可行域的限制,在彎曲剛度權(quán)值最優(yōu)路徑上,隨ω增大,曲率κxy開始增大,κx開始減小。

根據(jù)本文提出的剛度權(quán)值最優(yōu)路徑,在給定任意的彎扭載荷條件下,可以得到對(duì)應(yīng)的理論最優(yōu)剛度權(quán)值,經(jīng)過逆向計(jì)算可以得到實(shí)際最優(yōu)鋪層順序。通過該方法能夠快速有效地找到滿足曲率設(shè)計(jì)目標(biāo)的最優(yōu)鋪層順序,能夠?qū)?fù)合材料葉片彎扭耦合效應(yīng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供一定的參考和依據(jù)。在本文的分析研究中,將葉片模型簡(jiǎn)化假設(shè)為層合板,忽略曲面葉形結(jié)構(gòu)的影響,因此在后續(xù)的工作中需要進(jìn)一步研究在曲面葉形結(jié)構(gòu)上彎扭耦合效應(yīng)的優(yōu)化分析。