解題利器
——橢圓中有關中點弦的性質

■浙江省海寧中學

利用橢圓中點弦的性質,可以快捷、方便地解決有關中點弦問題。

一、利用橢圓中點弦的性質，解決有關中點弦的斜率、所在直線方程問題

例1已知橢圓=1內有一點P(3,1),過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點。若弦AB的中點恰為點P,則該直線l的斜率為 。

分析:橢圓方程確定,中點確定,可以利用上述中點弦性質,得到所需的結論。

例2已知橢圓內一點P(-1,1),過點P的直線l與橢圓交于A、B兩點。若弦AB的中點恰為點P,則該直線l的方程為 。

分析:要求直線方程,已知其過點P,則根據(jù)點斜式只需知道該直線的斜率即可。

解:由題意知,a2=9,b2=4,kOP=-1,所以此,該直線l的方程為),整理得4x-9y+13=0。

點評:本題通常采用的方法是點差法或設定直線方程,然后與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理及中點坐標公式,建立與斜率有關的方程,通過解方程來獲取所求直線的斜率。與上述利用性質解決問題相比,常法就顯得相對比較煩瑣。故若有性質、結論可以直接使用,不妨一試。

二、根據(jù)橢圓中點弦的性質，求有關橢圓方程

例3已知過點P(3,2)且斜率為-2的直線l與橢圓交于A、B兩點,若弦AB的中點恰為點P,則實數(shù)m的值為 。

分析:直線方程的斜率和中點確定,則可以直接利用性質得到實數(shù)m的值。

點評:應用中點弦性質時,不需要關注橢圓焦點的位置。該性質可以改寫為:過橢圓內一點P作直線交橢圓于A、B兩點,若點P為弦AB的中點,則

三、根據(jù)橢圓中點弦的性質，探求橢圓方程中系數(shù)的比例關系及離心率問題

例4已知橢圓mx2+ny2=1(m,n＞0,m≠n)與直線y=1-x交于M、N兩點,過原點與線段MN中點所在直線的斜率為的值為 。

四、利用橢圓中點弦的性質，探求中點坐標、軌跡問題

(1)求橢圓C的方程;

例7已知橢圓與一組斜率為2的平行直線相交,探究這組直線被橢圓截得的線段的中點是否在同一條直線上。若是,求出該直線方程;若不是,請說明理由。

分析:由條件可知,假設該直線過坐標原點,則由橢圓的對稱性知中點恰為原點。要判斷所得弦的中點是否在同一直線上,則只需判斷這些中點與原點的連線的斜率是否相同即可,由此可以利用中點弦性質判斷。

解:由題意可設直線與橢圓相交所得弦的中點為P,則由中點弦性質可知k·kOP=因為k=2,所以,即無論該組平行直線如何變化,其中點與原點的連線斜率保持不變。故這組直線被橢圓截得的線段的中點在斜率為且經(jīng)過坐標原點的直線上,該直線方程為,即x+6y=0。

點評:利用橢圓中點弦的性質,可以免去我們聯(lián)立方程,利用韋達定理及中點公式來進行計算的煩瑣,還可以簡化我們的運算過程。

中點弦問題是橢圓中一類比較特殊的問題,我們可以采用常規(guī)的方法聯(lián)立直線與橢圓方程,利用韋達定理及中點坐標公式解決相關問題,也可以根據(jù)其特殊性,利用點差法,采用設而不求的方式,結合兩點求斜率公式進行表示。當然,如果我們能夠看到中點弦這一結論性公式,并能夠作簡單的應用的話,對于我們的運算,將起到大大簡化的作用,同時也能夠提高運算的準確性。這一中點弦性質不僅僅在橢圓中可以應用,在后續(xù)的雙曲線問題中,也有類似的中點弦的結論性公式,同學們在學習了這一公式后,不妨在后續(xù)的雙曲線學習中自行對該性質作簡單的推導并應用。