空間向量外積在立體幾何中的應(yīng)用

諸葛得莉

【摘要】文章結(jié)合學(xué)生在立體幾何中求解平面法向量的相關(guān)現(xiàn)狀，通過(guò)一節(jié)課探討了空間向量外積在立體幾何中的操作可行性及教學(xué)中有效輸入與輸出的重要性，從而減少立體幾何中的代數(shù)運(yùn)算，提高學(xué)生的做題速度和準(zhǔn)確率，解決立體幾何中求解平面法向量煩瑣的難點(diǎn)。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);空間向量外積;平面法向量;輸入與輸出

一、引言

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）明確提出了六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析。這些數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)既相互獨(dú)立，又相互交融，是一個(gè)有機(jī)的整體，具體到空間立體幾何內(nèi)容上，主要體現(xiàn)在數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算等方面。立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，是考查空間想象能力的重要載體，每年高考必考一道大題，分值12分。應(yīng)用空間向量外積法求解平面法向量避免空間向量?jī)?nèi)積法的三元一次方程的求解過(guò)程中的風(fēng)險(xiǎn)，達(dá)到避繁就簡(jiǎn)的功效[1]。近幾年，越來(lái)越多的一線教師開(kāi)始在立體幾何的教學(xué)中拓展空間向量的外積求解立體幾何的空間角等問(wèn)題，解決了立體幾何中平面法向量求解的煩瑣問(wèn)題[2]。

二、有關(guān)定義與公式

（一）空間向量外積（叉積）的概念

1.定義：記，稱為與的外積（叉積）.

其中，向量的模（可由坐標(biāo)運(yùn)算證明）;向量的方向使且，符合右手螺旋法則.

2.運(yùn)算規(guī)律：（1）（由定義驗(yàn)證）;（2）（由坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證）;（3）（由定義驗(yàn)證）.

3.空間向量外積（叉積）幾何意義： 的面積（由坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證）.

（二）空間向量外積（叉積）坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)，，則.

（三）空間向量外積（叉積）的應(yīng)用

1.的面積;

2.與為平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量，則為平面的法向量;

3.;

4.三向量，，的混合積，則三向量，，共面.

（證明略）。

三、輸入與輸出教學(xué)模式課題分析

空間向量外積的引入，為求解平面法向量提供了新的幾何視角，為解決三維空間中圖形的位置關(guān)系與度量問(wèn)題提供了一個(gè)十分有效的工具。本文以人教A版選修2-1第三章第二節(jié)立體幾何中的向量方法為例，具體解讀空間向量外積在求解平面法向量中的應(yīng)用。

[教學(xué)過(guò)程]

1.復(fù)習(xí)上節(jié)課內(nèi)容——空間向量的外積，引出平面法向量的另一種求法。

上節(jié)課學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量外積的定義及運(yùn)算公式，本節(jié)課上課前5分鐘師生共同復(fù)習(xí)空間向量外積的有關(guān)內(nèi)容，旨在讓學(xué)生快速進(jìn)入課堂。

設(shè)計(jì)意圖：在復(fù)習(xí)部分，通過(guò)讓學(xué)生回顧空間向量外積的相關(guān)知識(shí)，直接把學(xué)生帶入到本節(jié)課的教學(xué)中，為本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容——空間向量外積在立體幾何中的應(yīng)用做準(zhǔn)備。

2.拋出問(wèn)題，引出本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。

[教學(xué)片斷]

師：上節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量外積的定義及運(yùn)算，請(qǐng)問(wèn)，空間向量外積能解決什么問(wèn)題？

生1：求三角形的面積。

生2：平面的法向量。

生3：我想起了，立體幾何大題第二問(wèn)一般求解線面角和二面角的有關(guān)問(wèn)題，關(guān)鍵在于求平面的法向量。如果會(huì)用空間向量外積求平面的法向量，步驟很少，應(yīng)該能很快算完。

生4：那不見(jiàn)得，我認(rèn)為空間向量?jī)?nèi)積求解也很快啊，就是麻煩點(diǎn)而已。

生5：誰(shuí)說(shuō)的，我就認(rèn)為外積法更快一點(diǎn)。只要知道平面上兩個(gè)不共線向量的坐標(biāo)，求解馬上就得到結(jié)果。如果你用內(nèi)積法來(lái)做，你還要設(shè)平面法向量的坐標(biāo)，然后列一個(gè)三元一次方程組求解，請(qǐng)問(wèn)你要算到什么時(shí)候？

生4：但是這個(gè)公式我記不住啊。那高考錯(cuò)了我大概要損失6分了，6分排名就掉六千了呀，那我不虧死？

……

師：同學(xué)們分析得都有道理，兩種方法都可以算平面的法向量，我們把這兩種方法分別稱為內(nèi)積法和外積法。我們平時(shí)做題的時(shí)候用哪種方法更好呢？下面我們就實(shí)驗(yàn)下到底哪種方法更適合我們。班級(jí)興趣小組有4組，每組5人（高二開(kāi)學(xué)就已經(jīng)分好每個(gè)小組的組員，其中每組的情況差不多），組長(zhǎng)分配好組員用哪種方法，或者組員自己挑選方法計(jì)算，然后統(tǒng)計(jì)好每個(gè)人用的時(shí)間，再在組內(nèi)自己對(duì)下答案?，F(xiàn)在大家就比賽下?。ɡ蠋熇肞PT放映試題。）

例1：已知三點(diǎn)，，.求：平面的法向量.

答案：，（0 -1，1 -0，-1 -1）=（-1，1，-2），則.

（求平面的法向量除了用外，還可以用或者等。）

小組1：組內(nèi)3個(gè)成員利用內(nèi)積法分別花了3、4、3分鐘算得正確答案，其他兩人利用外積法分別花了1、2分鐘算得正確答案。我們組內(nèi)成員認(rèn)為利用外積法求解平面法向量更省時(shí)間，更方便。

小組2：我是利用內(nèi)積法算的，花了4分鐘算出正確答案，我美麗的同桌利用外積法4分鐘算得正確答案，其他同學(xué)我還沒(méi)有來(lái)得及作對(duì)比。但是我認(rèn)為兩種方法都差不多，看自己的熟練程度吧。

小組3：我們小組剛剛?cè)慷际抢猛夥e法來(lái)求平面法向量，都是2分鐘算完，且都是正確的。算完后，我們環(huán)顧四周，發(fā)現(xiàn)很多人還在計(jì)算。

小組4：我們小組情況還不錯(cuò)。每個(gè)人都是選擇自己喜歡的方法，有2人選擇內(nèi)積法計(jì)算，3人選擇外積法計(jì)算，且都是正確的。然后統(tǒng)計(jì)時(shí)間發(fā)現(xiàn)內(nèi)積法算得更快一點(diǎn)。

生1：我是這么認(rèn)為的，如果計(jì)算能力較強(qiáng)的同學(xué)用外積法解決立體幾何中平面的法向量更省時(shí)間，心服口服了，以后考試我就用這種方法了，我又可以省下幾分鐘做其他大題了。

生2：我也決定用外積法來(lái)求平面的法向量，既快又準(zhǔn)確……

生3：我不是很熟練，計(jì)算又不是很好，又害怕記錯(cuò)公式，我覺(jué)得我還是用內(nèi)積法求平面的法向量更穩(wěn)妥。

生4：外積法求平面法向量會(huì)用了肯定很省時(shí)間。高考中如果選擇、填空題當(dāng)中要利用平面的法向量去求解一些問(wèn)題，我用內(nèi)積法去求那不是很慢嗎？本來(lái)高考的時(shí)間就遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用，那我如果用內(nèi)積法計(jì)算不是得不償失？

生5：那可不見(jiàn)得。我利用內(nèi)積法求平面法向量更快更省時(shí)間呢……

師：老師拓展外積法求解平面的法向量并不是要求你們就一定要用這種方法求平面的法向量。大家要根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇解題的方法。

設(shè)計(jì)意圖：在本階段，一方面，從討論的話題過(guò)渡到做題上，并且讓學(xué)生小組討論，每組發(fā)表自己的看法，尤其讓學(xué)生明白做題時(shí)一定要根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇正確的解題方法，把重心放在結(jié)果上;另一方面，學(xué)生通過(guò)小組合作學(xué)習(xí)、自主探究，發(fā)揮主觀能動(dòng)性，在快樂(lè)中學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3.學(xué)生做題，總結(jié)方法。

[教學(xué)片段]

師：現(xiàn)在有內(nèi)積法和外積法可以求平面的法向量，希望每個(gè)同學(xué)都能根據(jù)自己的實(shí)際情況選擇做題方法。說(shuō)得再多都沒(méi)有用，手底下見(jiàn)真章，大家練習(xí)2017年全國(guó)I卷理科第18道大題，檢驗(yàn)下是否已經(jīng)掌握解題方法。要求：自己統(tǒng)計(jì)你做完這道題花的時(shí)間。（教師利用PPT放映例2。）

例2：（2017年·課標(biāo)全國(guó)I卷理科數(shù)學(xué)）在四棱錐中，，且.

（1）證明：平面平面;

（2）若，，求二面角的余弦值.

設(shè)計(jì)意圖：在本階段，課堂討論的方法過(guò)渡到做高考題上，讓學(xué)生體驗(yàn)高考題的難易程度。然后通過(guò)結(jié)構(gòu)性的提問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，找出自己的做題方法，并且把本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容變?yōu)榧河谩Ｗ寣W(xué)生一步一步掌握方法，降低計(jì)算難度，學(xué)生的做題輸出更容易些。

四、結(jié)語(yǔ)

從學(xué)生的課堂表現(xiàn)及課后作業(yè)來(lái)看，學(xué)生能夠快速利用外積法解出立體幾何中空間角的問(wèn)題，達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。學(xué)生在課堂上積極活躍，師生互動(dòng)良好，說(shuō)明只有新知識(shí)的輸入，才有學(xué)生的輸出，才能讓學(xué)生更愉快地學(xué)習(xí)，從而體現(xiàn)出教師輸入的重要性。在引導(dǎo)過(guò)程中，教學(xué)環(huán)節(jié)緊湊，以學(xué)生合作交流為主，講練結(jié)合，使教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)水到渠成。有效的教學(xué)需要教師的足夠輸入，才能幫助學(xué)生搭建知識(shí)的框架，讓學(xué)生更有信心去學(xué)習(xí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]林自強(qiáng).探討外積法在求解平面法向量中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2012（07）：99.

[2]葛炳芳.英語(yǔ)閱讀教學(xué)中的讀寫(xiě)整合：鋪墊與輸出[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2017.