從高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式角度探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

徐嘉雯

【摘要】在現(xiàn)代化教育改革體系下，高中數(shù)學(xué)公式是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)知識(shí)論證推理的依據(jù)，在高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要的作用。基于此，文章以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)作為研究對(duì)象，分析了數(shù)學(xué)公式教學(xué)的重要性，并從數(shù)學(xué)公式的角度探究了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)、直觀想象素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)水平的提升途徑。

【關(guān)鍵詞】高中生;數(shù)學(xué)公式;核心素養(yǎng)

【基金項(xiàng)目】課題（ZPKTY18035）“中學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的理論與實(shí)踐研究”的研究成果。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)逐漸成為教育界關(guān)注的重點(diǎn)，我們可以以高中的課程為重點(diǎn)，在教學(xué)中滲透四種素養(yǎng)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)，以滿足社會(huì)對(duì)人才的發(fā)展需求。作為高中數(shù)學(xué)教材中的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)公式是知識(shí)的載體，能夠反映出數(shù)學(xué)對(duì)象的屬性關(guān)系，為學(xué)生揭露知識(shí)的規(guī)律。因此，教師在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中可以從數(shù)學(xué)公式角度入手，激發(fā)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

一、高中數(shù)學(xué)公式教學(xué)的重要性

教師對(duì)學(xué)生展開數(shù)學(xué)公式教學(xué)時(shí)，不能只從問題表面出發(fā)，而是應(yīng)該以數(shù)學(xué)公式為載體，主動(dòng)對(duì)公式進(jìn)行推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生了解公式形成過程，明確公式的結(jié)構(gòu)特征。學(xué)生在熟悉數(shù)學(xué)公式變換情況的同時(shí)，能夠提高直觀想象和抽象想象能力，培養(yǎng)邏輯思維，提升公式運(yùn)算水平。數(shù)學(xué)公式教學(xué)的重要性如下。

第一，引入數(shù)學(xué)公式，有利于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果。與傳統(tǒng)的機(jī)械知識(shí)點(diǎn)記憶相比，數(shù)學(xué)公式擁有明顯的優(yōu)勢(shì)，學(xué)生觀察公式結(jié)構(gòu)，并抽象思維做出猜想，能夠提高數(shù)學(xué)思維能力。

第二，證明數(shù)學(xué)公式，從中滲透數(shù)學(xué)思想與解題方法，可以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)，只有這樣，學(xué)生才能夠了解數(shù)學(xué)公式的來源和具體應(yīng)用方式，加強(qiáng)對(duì)公式內(nèi)容的有效記憶。

第三，強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)公式的應(yīng)用有利于培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，學(xué)生對(duì)公式的變形與正反向應(yīng)用加以多方練習(xí)，不僅可以強(qiáng)化新的知識(shí)點(diǎn)，而且能過對(duì)數(shù)學(xué)公式再認(rèn)識(shí)，對(duì)公式運(yùn)用自如[1]。

二、數(shù)學(xué)公式角度下探討數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

（一）數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

從數(shù)學(xué)公式視角分析學(xué)生的核心素養(yǎng)，教師提出關(guān)于數(shù)學(xué)公式學(xué)習(xí)的抽象素養(yǎng)水平框架，內(nèi)容具體如下。

水平一，情境方面，學(xué)生可以在熟悉的學(xué)習(xí)情境內(nèi)得出數(shù)學(xué)公式，模仿例題解決問題;認(rèn)知方面，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)公式形式和限用條件，可以在熟悉的情境中應(yīng)用數(shù)學(xué)公式;表達(dá)方面，學(xué)生可以了解數(shù)學(xué)公式推理論證，感悟其中的數(shù)學(xué)思想，并對(duì)其做出解釋。

水平二，情境方面，學(xué)生可以在關(guān)聯(lián)情境中抽象得出數(shù)學(xué)公式，在解決問題的同時(shí)，將公式應(yīng)用在相似問題中;認(rèn)知方面，學(xué)生可以適當(dāng)應(yīng)用例子解釋抽象數(shù)學(xué)公式，并明確不同公式的關(guān)系;表達(dá)方面，學(xué)生能夠完成數(shù)學(xué)公式的推理論證，在形成數(shù)學(xué)思想的同時(shí)可以歸納解決方法，完成對(duì)數(shù)學(xué)公式的交流。

水平三，情境方面，學(xué)生可以在綜合性情境中使用數(shù)學(xué)公式，并對(duì)數(shù)學(xué)公式等價(jià)變化，解決新的問題;認(rèn)知方面，學(xué)生可以理解公式的一般性特點(diǎn)，感悟更加抽象的公式體系;表達(dá)方面，學(xué)生可以把握公式使用條件，應(yīng)用術(shù)語表達(dá)公式，交流的同時(shí)可以應(yīng)用相關(guān)原理解釋現(xiàn)象。

某高中教師以三角函數(shù)和正弦定理為案例，對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)公式的考查。題目一共分為兩部分，第一小題考查的是學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象水平，經(jīng)過考查得知，有20%左右的學(xué)生停留在抽象水平上。這些學(xué)生只能記住與該題目相關(guān)的數(shù)學(xué)公式，并在熟悉的情境中應(yīng)用公式。剩下的80%的學(xué)生可以達(dá)到水平二與三，他們可以在關(guān)聯(lián)情境中正確地選擇數(shù)學(xué)公式，并在解決問題的同時(shí)獲得數(shù)學(xué)思想。第二小題主要考查的是正弦定理在三角形面積的三角函數(shù)中的應(yīng)用，學(xué)生需要將所有知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系在一起，具體問題具體分析，才能夠得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)公式。

隨后，教師要求學(xué)生根據(jù)學(xué)到的知識(shí)內(nèi)容，討論cos（120°—60°）和cos120°、cos60°、sin120°、sin60°之間的關(guān)系。在數(shù)學(xué)公式教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師通過該題目，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想cos（α-β）和cosα、cosβ、sinα、sinβ之間的關(guān)聯(lián)。通過合作交流，學(xué)生對(duì)特殊角度的三角函數(shù)值加以研究分析。在這一學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生可以分析兩角差余弦公式的初步設(shè)想，從數(shù)量關(guān)系中抽象理解數(shù)學(xué)模式。通過對(duì)模型的改進(jìn)，最終得出了兩角差余弦公式：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。教師通過這種教學(xué)設(shè)計(jì)可以培養(yǎng)學(xué)生抽象素養(yǎng)與建構(gòu)意識(shí)，逐漸應(yīng)用建模解決問題，提高學(xué)生的實(shí)踐操作能力。

（二）邏輯推理素養(yǎng)

教師提出問題：設(shè)數(shù)列滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n.（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列中前n項(xiàng)和。該題目中，（1）屬于水平二的題目，（2）屬于水平三的題目。通過對(duì)學(xué)生問題的分析和統(tǒng)計(jì)，將沒有作答或解答錯(cuò)誤的判定為0分，考查學(xué)生的邏輯推理水平。得知學(xué)生中超過90%的人達(dá)到了水平一，但仍然有部分學(xué)生丟失分?jǐn)?shù)，經(jīng)過分析得知：這些學(xué)生可以正確使用數(shù)學(xué)公式，但在計(jì)算中發(fā)生了錯(cuò)誤。也有學(xué)生將數(shù)學(xué)公式混淆，將等比通項(xiàng)公式當(dāng)作等差數(shù)列公式應(yīng)用?？梢赃_(dá)到邏輯推理素養(yǎng)水準(zhǔn)的學(xué)生比較少，不過這些學(xué)生可以區(qū)分關(guān)聯(lián)公式，并通過對(duì)結(jié)果的分析，表述公式的論證過程。

（三）直觀想象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)公式教學(xué)中，直觀想象素養(yǎng)體現(xiàn)如下：第一，學(xué)生可以按照數(shù)學(xué)公式的描述畫出題目相應(yīng)的圖形;第二，學(xué)生可以根據(jù)數(shù)學(xué)公式數(shù)量特征，抽象地畫出直觀幾何圖形;第三，學(xué)生可以按照?qǐng)D形描述，詳細(xì)分析與數(shù)學(xué)公式有關(guān)的問題。

經(jīng)過對(duì)比分析，教師發(fā)現(xiàn)男生和女生對(duì)數(shù)學(xué)公式的直觀想象能力存在明顯差異。如果數(shù)學(xué)知識(shí)比較簡(jiǎn)單，男生和女生基本都能做出該題;如果知識(shí)點(diǎn)較難，那么男生得分平均分會(huì)明顯高于女生。

經(jīng)過分析得知，高中階段男生普遍喜歡汽車和游戲，無論是實(shí)物還是軟件，都有著較強(qiáng)的立體空間感;相比之下，女生喜愛社交，喜歡看小說和娛樂節(jié)目，與男生相比，她們?nèi)狈?duì)圖像的敏銳觀察能力。

（四）數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

有的學(xué)生表示高中數(shù)學(xué)題目太難，自己的考試成績(jī)并不理想，很多題目有思路卻無法計(jì)算正確。有的學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)題目計(jì)算步驟太煩瑣，自己缺乏對(duì)運(yùn)算能力的訓(xùn)練。教師通過對(duì)學(xué)生每日習(xí)題的訓(xùn)練和研究，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在簡(jiǎn)單的公式和計(jì)算法則中可以準(zhǔn)確地得出解題答案，甚至有的學(xué)生可以找出其他解題方法。這說明學(xué)生可以熟練地掌握基本公式和法則，但是面對(duì)題目中擁有隱含條件時(shí)，學(xué)生往往無法準(zhǔn)確計(jì)算，可見數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)有待提高。對(duì)此，建議教師引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)公式化繁為簡(jiǎn)，將公式改成最簡(jiǎn)形式，從而尋找解題思路，提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

總而言之，在數(shù)學(xué)公式教學(xué)進(jìn)程中，要求教師從學(xué)生當(dāng)前認(rèn)知水平出發(fā)，結(jié)合學(xué)生已經(jīng)掌握的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)問題情境，從而讓課堂內(nèi)容更加貼近學(xué)生的生活實(shí)際，喚起其已有認(rèn)知，為接下來的知識(shí)點(diǎn)做鋪墊。教師應(yīng)從數(shù)學(xué)公式角度出發(fā)，對(duì)學(xué)生展開核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，有利于鞏固學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)公式的理解，提高公式應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維與逆向思維，從而提高他們的數(shù)學(xué)成績(jī)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]聶穎.基于高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的公式教學(xué)研析——以“兩角和與差的余弦”為例[J].數(shù)學(xué)之友，2018（05）：27-29，34.