具有隨機(jī)擾動(dòng)的三種群系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為

李海紅，李海霞

(1.吉林建筑大學(xué)基礎(chǔ)科學(xué)部，吉林 長春 130118；2.長春光華學(xué)院商學(xué)院，吉林 長春 130033)

英國動(dòng)物學(xué)家埃爾頓于1927年首次提出食物鏈的概念，它是整個(gè)生物種群間相互作用的生成元素.如果一個(gè)物種滅絕，就會(huì)破壞整個(gè)生態(tài)系統(tǒng)的平衡，因此食物鏈模型的研究對(duì)整個(gè)自然環(huán)境的保護(hù)有很重要的影響.

本文研究的受擾動(dòng)三種群食物鏈系統(tǒng)可表示為

(1)

在系統(tǒng)(1)中引入隨機(jī)擾動(dòng)，得到如下隨機(jī)系統(tǒng)：

(2)

其中Bi(t)(i=1，2，3)是相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).

1 系統(tǒng)(2)全局正解的存在唯一性

P{τk≤T}≥ε.

(3)

V(x1，x2，x3)=b32[b21(x1-1-logx1)+b12(x2-1-logx2)]+b23b12(x3-1-logx3).

顯然當(dāng)u>0時(shí)，u-1-logu≥ 0，由此可知函數(shù)V是非負(fù)的.由伊藤公式可得

dV=LVdt+b32b21σ1(x1-1)dB1(t)+b32b12σ2(x2-1)dB2(t)+b23b12σ3(x3-1)dB3(t).

其中

從而

對(duì)上式兩端取期望得

(4)

V(x(τk，ω))≥k-1-log(k)∧k-1-1+log(k).

于是由(4)式可得

其中1Ωk表示Ωk的特征函數(shù).

令k→∞得到矛盾，從而τ∞=∞ a.s..結(jié)論證畢.

2 系統(tǒng)(2)的P階矩有界性

E[(b32b21x1(t)+b32b12x2(t)+b23b12x3(t))p]≤K(p)，?t∈(0，∞)，p>1.

證明令y(t)=b32b21x1(t)+b32b12x2(t)+b23b12x3(t)，則

且

注意到

則

因此

由比較原理可得

由于E[yp(t)] 是連續(xù)的，故存在正常數(shù)K(p)使得

E[yp(t)] ≤K(p)，t∈[0，∞).