雙重有效應力再認識及其綜合作用

毛小龍，劉月田，馮月麗，鄭文寬，劉思平

中國石油大學油氣資源與探測國家重點實驗室，北京 102249

0 引言

Terzaghi[1-3]有效應力原理是土力學的奠基石，是土力學成為一門獨立學科的重要標志。Terzaghi有效應力原理是基于實驗觀察結果提出的，實驗中多孔介質(如砂土、黏土和混凝土)在靜水壓中是似乎不可壓縮的，其引起的土體體積和強度變化幾乎觀察不到；土體體積和強度變化僅僅由總應力與孔隙流壓力的差值變化引起；定義孔隙流體壓力為中和應力，有效應力為總應力與孔隙流壓之差：

式中，σeff為有效應力，σ為總應力，p為孔隙流壓，單位為Pa或者MPa。

Terzaghi實驗測試壓力為0到數百個大氣壓，假設土顆粒不可壓縮(土顆粒壓縮系數相對于土體壓縮系數極小)，土體變形完全由顆粒間變形引起。基于Terzaghi有效應力原理不考慮顆粒變形，李傳亮[4]于1999年提出了雙重有效應力這一概念：定義因骨架顆粒的變形而導致的介質整體變形為本體變形，對應于本體有效應力；因介質骨架顆?？臻g結構上的變化即骨架顆粒之間的相對位移而導致的介質整體變形為結構變形，對應于結構有效應力，多孔介質總變形是這兩種變形的代數和。本體有效應力和結構有效應力分別為：

式中，σbg,eff為本體有效應力，σbc,eff為結構有效應力，單位為Pa或者MPa；φ為孔隙度，φc接觸孔隙度，αc為顆粒間接觸面積與總橫截面積的比值。

雙重有效應力概念的提出為多孔介質力學的發(fā)展起到了一定的推動作用。雙重有效應力本體變形和結構變形與國外許多學者50～60年代提出的顆粒變形和顆粒間變形內涵相同，而油藏工程中，由于有雙重介質這一相近名詞，使得雙重有效應力這個概念簡潔易懂，被國內許多油藏工程學者引用。據中國知網統(tǒng)計，截至2018年5月，提出雙重有效應力的文獻[4]直接引用量已達到189次，基于雙重有效應力的壓縮系數和應力敏感等各種相關研究則更為廣泛。然而，兩個有效應力表達式與Biot[5-6]、Bishop[7]等學者早期提出的兩個有效應力表達式相同，而這兩個表達式與1955年Laughton[8]經典鉛粒高壓實驗相矛盾，在60年代后被逐漸棄用，Skempton[9]、Biship[10]等人提出的有效應力表達式則漸漸被接受。此外，由李傳亮雙重有效應力原理導出的相關理論體系出現了許多與實驗相矛盾的認識。首先，其認為巖石孔隙壓縮系數比巖石顆粒壓縮系數低，其值應該在10-7～10-5MPa-1級別，而不是實驗測試得到的10-4～10-3MPa-1級別[11]；同時，認為巖石孔隙壓縮系數應該與孔隙度成正比，即認為傳統(tǒng)實驗測試和Hall[12]圖版存在邏輯反轉問題[13-14]；而且還認為低滲透儲集層應力敏感比高滲透儲層應力敏感更低，而不是低滲透儲層應力敏感更強[15]。這些認識引發(fā)了極大的爭議[16-19]，給油藏工程研究造成了困擾，因此十分有必要重新推導雙重有效應力的正確表達式，從而方便其在油藏工程中正確應用。

本文將在多孔介質應力應變分析基礎上，推導出新的雙重有效應力表達式，并分析其綜合作用效果得到其總有效應力表達式，并與Laughton[8]等實驗、Hall[12]圖版結果對比，論證其正確性和適用性。

1 多孔介質應力應變分析

先分析顆粒應力和顆粒間應力：

(1)以穿過顆粒的宏觀界面為受力對象，總應力為σ，受力面積為A，孔隙流壓p，孔隙流體受力面積為φA，顆粒真實平均應力為σg，顆粒受力面積為(1-)φA。橫截面上受力平衡有：

等效平均到整個介質橫截面積之上，顆粒等效平均應力σs為：

Biot[5-6]在1955年曾認為低滲多孔介質有效應力系數η=φ，方程(6)為有效應力方程，而李傳亮[4]則將其看作本體有效應力方程,即本體有效應力等于顆粒等效平均應力σs。

(2)取顆粒間的接觸界面作受力分析，總應力為σ，受力面積為A，顆粒間真實平均應力為σij，顆粒間接觸面積為Aij=αcA，孔隙流體壓力p，受力面積為(1-αc)A。

顆粒間接觸面受力平衡有：

等效平均到整個介質橫截面積之上，顆粒間等效平均應力σc為：

Bishop[7]1959年曾認為顆粒間等效平均應力σc為有效應力方程，而李傳亮[4]則將其看作結構有效應力方程,即結構有效應力等于顆粒等效平均應力σc。

然而，顆粒等效平均應力和顆粒間等效平均應力是否為引起骨架本體變形和結構變形的有效應力呢？李廣信[20]、邵龍?zhí)禰21]等學者詳細分析了有效應力內涵，并指出這是一個常見的認識誤區(qū)。實際上，顆粒等效平均應力并不能決定介質整體本體變形，顆粒間等效平均應力也不能決定骨架整體結構變形。以多孔介質浸沒在靜水壓中為例，此時總應力和孔隙流壓均為p，代入方程(5)和(8)，顆粒真實平均應力σg、顆粒間真實平均應力σg為：

而對于完全浸沒在靜水壓中的多孔介質，無論其微觀顆粒間接觸面積和孔隙度為多少，多孔介質各處所受應力均為p。其微觀顆粒和宏觀整體都在應力p下均勻壓縮，本體有效應力應為p，無顆粒間變形或結構變形，結構有效應力應為0。而總應力和孔隙流壓均為p時，代入方程(6)和方程(9)得到顆粒等效平均應力和顆粒間等效平均應力分別為：

這與本體有效應力應為p、結構有效應力為0的實際情況不一致，顆粒等效平均應力、顆粒間等效平均應力大小均不能決定本體變形和結構變形大小，需要重新認識。此外，顆粒等效平均應力和顆粒間等效平均應力表達式分別與孔隙度、顆粒間接觸面積有關，而1955年Laughton[8]經典鉛粒高壓實驗表明：改變總應力和流壓，無論顆粒接觸面積為0.03、0.11還是0.95，孔隙度為0.4、0.31還是0.03，鉛粒多孔介質有效應力系數均接近于1，其有效應力與孔隙度、接觸面積均無直接關系，這也說明舊雙重有效應力存在問題。

2 新雙重有效應力及其綜合作用

本文在研究新雙重有效應力時仍分為本體有效有效力和結構有效應力，分別對應本體應變和結構應變，然后兩個有效應力綜合起來得到總有效應力和總應變。

2.1 新結構有效應力

從上文分析可知，在靜水壓中，顆粒均勻受力，顆粒間真實平均應力為p，但結構變形為0，這說明于顆粒間真實平均應力p并不會引起顆粒間變形。顆粒間作用力中至少有一部分用來平衡流壓p，這部分應力與孔隙流壓共同作用，均勻壓縮顆粒從而不產生結構變形；只有平衡流壓之外的凈應力集中作用在顆粒接觸面上產生額外的偏應力，從而引起顆粒間滑動變形，產生介質結構變形。即引起顆粒間變形的真正有效的應力為超出平衡孔隙流壓之外的顆粒間應力，由方程(8)可得：

等效平均到整個介質橫截面積之上，其對應的等效平均應力σc,eff即為結構有效應力：

結構有效應力表達式與Terzaghi有效應力原理表達式完全一致, 這說明當顆粒變形可忽略時，Terzaghi有效應力即為結構有效應力，其物理意義為超出平衡孔隙流壓之外的顆粒間等效平均應力，大小為總應力與孔隙流壓的差值。定義結構變形(顆粒間變形)引起的介質整體體積結構壓縮系數為Cbc，對應的介質整體體積結構應變?yōu)椋?/p>

2.2 新本體有效應力

本體變形中為顆粒變形引起的介質整體變形，除了顆粒體積變形，本文新提出一種由顆粒形狀變形引起的介質整體變形。顆粒體積變形和形狀變形受力示意圖如圖1所示。

顆粒受到孔隙流壓和顆粒間應力的共同作用。為方便計算，將顆粒間應力分為兩部分來計算：一部分用來平衡孔隙流壓p，與孔隙流壓共同作用均勻壓縮顆粒，只引起顆粒體積變形，不引起顆粒形狀變形；另外一部分為超出平衡孔隙流壓之外的顆粒間應力(σij-p)，這部分作用力集中作用在顆粒間接觸面積上，不但引起顆粒體積變形，還引起顆粒形狀變形。根據方程(5)、(14)，顆粒真實平均應力為這兩部分之和：

方程(17)中分為兩部分作用力具有重要意義，兩部分作用力效果不同：前部分p均勻壓縮顆粒，只引起顆粒體積變形；后部分集中作用于顆粒間接觸面，同時引起顆粒體積變形和顆粒形狀變形。由接觸力學可知，顆粒真實平均應力大小無法反應出顆粒不均勻受力(應力集中)而產生的形狀變形，從而無法計算由顆粒形狀變形引起的骨架整體應變，因此不能用顆粒真實平均應力作為本體有效應力。

圖1 顆粒體積變形和形狀變形受力示意圖Fig. 1 Stress schematic diagram of grain volume deformation and shape deformation

顆粒體積壓縮系數Cs只能用于計算顆粒體積變形及其引起的多孔介質整體等比例變形，引起顆粒體積變形為孔隙流壓和顆粒間集中應力兩部分引起，根據方程(17),由顆粒體積變形引起的整體體積變形εbs為：

方程(18)與文獻[13-14]中應變表達式一致。定義因顆粒形狀變形引起的整體體積應變壓縮系數為Cbsc，只有顆粒間集中應力(σij-p)會引起顆粒形狀變形，顆粒形狀變形引起的整體體積應變εbsc為：

將方程(18)和(19)相加，顆粒體積變形和顆粒形狀變形共同引起的整體本體應變εbg為：

定義恒流壓變總應力條件下，由顆粒體積變形和顆粒形狀變形引起的整體應變壓縮系數Cbg為：

方程(21)代入方程(20)計算得到：

與顆粒變形(包括顆粒體積變形和顆粒形狀變形)對應的本體有效應力σbg,eff為：

2.3 綜合作用及總有效應力

從新雙重有效應力方程可知，多孔介質變形由顆粒體積變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形引起，受均勻應力p和顆粒間集中應力(σij-p)兩部分影響。其中均勻應力p只引起顆粒體積變形，顆粒間集中應力(σij-p)同時引起顆粒體積變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形。兩個有效應力方程綜合作用共同引起多孔介質總應變，本構有效應力和結構有效應力綜合作用得到總應變，將方程(22)，(16)相加，介質整體體積總應變εb為：

定義本體變形和結構變形引起的整體綜合壓縮系數C為：

方程(25)代入(24)得到：

對應的總有效應力σb,eff為：

整體體積綜合壓縮系數C即為Skempton有效應力方程定義的骨架總體積在恒流壓變總應力條件下的介質總壓縮系數。兩個新雙重有效應力(本構有效應力和結構有效應力)綜合作用得到的總有效應力表達式(27)與Skempton有效應力方程完全一致，此外，Biot& Willis (1957)[22]、Bishop(1973)[10]等學者從巖石地震聲波傳播和巖石體積模量關系等不同角度研究也得到了相同的有效應力表達式。

總之，利用新雙重有效應力理論研究多孔介質應力應變機理時，可將其則分為顆粒變形(顆粒體積變形和顆粒形狀變形)和顆粒間變形討論和分析，在計算多孔總應變時，則可直接從多孔介質兩部分作用力作用效果和兩部分壓縮系數出發(fā)直接計算：一部分為各處均勻壓縮多孔介質顆粒的多孔介質凈流壓p，其壓縮系數為Cs，只引起顆粒體積變形；超出平衡流壓并作用在顆粒間接觸面的等效平均應力(σ-p)，其壓縮系數為C，同時引起顆粒體積變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形；兩部分應力引起的應變直接相加即總應變，其對應的等效應力為總有效應力。

舊雙重有效應力在研究巖石變形時認為其變形主要為顆粒體積變形，忽略了顆粒形狀變形和顆粒間變形的影響，在多數情況下，會出現較大的計算誤差，其得出的相關理論規(guī)律與實驗結果相矛盾，而新計算出的公式則能很好的與實驗結果相吻合，并能很好的應用到孔隙壓縮系數及應力敏感研究中，下面兩部分將對此進行詳細闡述。

3 新理論解釋實驗測試結果

目前，實驗測試很難直接精確測量得到顆粒變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形對應的壓縮系數分量。在實驗測試中常用的兩種測試方法為夾持測試和不夾持測試，即將試樣浸沒在水中加流體壓力、測試得到顆粒壓縮系數Cs和恒流壓變總應力測試綜合壓縮系數C的兩種測試。雖然很難定義精確測試得到多孔介質三種變形的分量大小，但在不同條件下，顆粒變形、顆粒形狀變形和顆粒間的變形相對大小則很容易分辨，可用于分析和解釋經典實驗中不同介質變形的主要變形機理和規(guī)律。

下面對一些經典實驗結果進行解釋分析。

(1)1955年Laughton經典鉛粒高壓實驗

實驗測試結果見表1。其為松散鉛粒壓實固結實驗，鉛顆粒泊松比0.44，極易形狀變形，楊氏模量16.4 GPa，體積模量45.6 GPa，體積壓縮系數為0.02 GPa-1，即使100 MPa高壓下，其顆粒體積應變量也只有0.002。實驗測試中隨著有效應力不斷增大，孔隙度大幅度減小，顆粒間接觸面積在不斷增大，有效應力系數卻一直接近于1，這是因為鉛粒多孔介質變形主要由顆粒形狀變形和顆粒間變形引起，其有效應力為控制顆粒形狀變形和顆粒間變形的凈應力(σ-p)。沒有顆粒形狀變形機理，則無法解釋孔隙度被壓縮到接近于0的實驗過程，用舊雙重有效應力理論也無法解釋有效應力系數在孔隙為0時依然接近1的測試結果。

表1 鉛粒高壓測試結果Table 1 High pressure test results of lead shot

表2 石英和石膏顆粒高壓測試結果Table 2 High pressure test results of quartz and gypsum grains

(2)1993 年Yamamuro[23]、1994 Bopp[24]石英顆粒和石膏顆粒高壓實驗

實驗結果如表2所示。石膏顆粒在800 MPa由于形狀變形較大可壓縮孔隙度至0.02，石英顆粒在800 MPa孔隙度卻仍大于0.1，石膏顆?？紫抖认陆递^快的原因用新理論解釋為石膏顆粒泊松比更大更易發(fā)生顆粒形狀變形。此外，在20 MPa以內，兩者的有效應力系數都幾乎為1，其顆粒體積變形在低壓可忽略不計，控制多孔介質變形的主要為引起顆粒間變形和顆粒形狀變形的有效應力(σ-p)。而隨著壓力繼續(xù)增大，顆粒體積變形影響不斷增大，800 MPa時石膏顆粒體積變形達到57.5%，石英顆粒體積變形達到41.5%，則高壓時需要綜合考慮顆粒體積變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形。

(3)1933年Zisman[25]石英砂巖和大理石壓縮實驗

1933年Zisman[25]對石英砂巖和大理石分別進行了圍壓壓縮系數測試實驗，實驗測試結果見圖2。

從圍壓壓縮系數圖可知，隨著圍壓增大，石英砂巖和大理石的壓縮系數均下降且下降的速度越來越慢，這是因為：在低圍壓時巖石壓縮系數遠大于巖石顆粒壓縮系數，主要為顆粒間變形和顆粒形狀變形，隨著壓力不斷增大，巖石壓縮系數逐漸向顆粒礦物的壓縮系數靠近。此外，大理石的組成礦物方解石相對石英砂巖的組成礦物石英更易形狀變形，因此其初期壓縮系數下降的幅度更大；而方解石的體積壓縮系數1.34×10-5MPa-1相對石英2.7×10-5MPa-1也更小，最終大理石在高壓下的壓縮系數也比石英砂巖的壓縮系數小。因此，巖石只有同時考慮顆粒間變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形才能解釋和分析不同巖石的壓縮系數變化規(guī)律。

常見巖土和顆粒的礦物壓縮系數見表3所示。

一般情況下，巖石加圍壓后再降圍壓會有一部分體積變形不能恢復，這部分塑性變化損失掉的體積是由顆粒間變形造成的。而扣除這部分塑性變形的影響，只研究巖石彈性變形時，巖石彈性壓縮系數超出顆粒壓縮系數的那部分則為顆粒形狀變形引起。從中可知，多數情況下，巖石總體積壓縮系數大于顆粒體積壓縮系數，巖石變形的機理為顆粒變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形綜合作用，巖石顆粒間變形和顆粒形狀變形不可忽略。舊雙重有效應力研究巖石應變時只考慮顆粒體積變形從而嚴重低估了巖石體積應變和壓縮系數大小。

圖2 石英砂巖和大理石壓縮系數Fig. 2 Compressibility of quartz sandstone and marble

表3 常見礦物顆粒和巖石的壓縮系數表Table 3 Compressibility of common mineral particles and rocks

4 新理論應用舉例

新雙重有效應力和總有效應力方程可廣泛應用于土力學、巖石力學等多孔介質力學中。本文重點舉例其在油藏工程的應用，有效應力常被應用于巖石孔隙壓縮系數和油藏應力敏感研究中。舊雙重有效應力理論在研究巖石的孔隙壓縮系數，僅以顆粒平均應力、顆粒體積變形為基礎進行理論推導：

其中，Cp為孔隙壓縮系數，Vp為孔隙體積，Vs顆粒體積。

基于上述理論推導，其得出了一些與實驗矛盾的認識。其認為巖石孔隙壓縮應為10-7～10-5MPa-1級別，而巖石顆粒壓縮系數一般1×10-5MPa-1～3×10-5MPa-1，孔隙度0.02～0.35，實驗室所測巖石孔隙壓縮系數10-4～10-3MPa-1級別，其認識與實驗所測存在較大偏差；基于方程(30)，其認為孔隙壓縮系數與孔隙度成正相關，孔隙度越大，孔隙壓縮系數越大、應力敏感程度越強，即認為高滲透儲層的應力敏感程度大于低滲透儲藏。而從前文分析可知，巖石孔隙體積變化主要由顆粒間變形和顆粒形狀變形引起，顆粒體積變形引起的只是其中很小的一部分，未考慮顆粒間變形和顆粒變形是舊孔隙壓縮系數理論計算值遠小于實驗測試結果的根本原因。基于新雙重有效應力體系，恒總應力、變孔隙流壓條件下的孔隙壓縮系數理論推導如下：

根據方程(16)、(22)、(26)，在恒定總應力、變流壓條件下，綜合考慮顆粒體積變形、顆粒形狀變形和顆粒間變形的總體積變化量ΔVb為：

顆粒形狀變形和顆粒間變形不影響顆粒體積變化，顆粒體積變化量ΔVs只跟顆粒體積變形有關，在恒總應力、變流壓條件下，根據方程(18)有：

孔隙體積變化量ΔVp為總體積變化量與顆粒體積變化量之差，方程(31)減去方程(32)得：

根據方程(33)，在恒定總應力、變流壓條件下，綜合考慮顆粒體積變形、形狀變形和顆粒間變形的孔隙體積壓縮系數Cp為：

根據表3，巖石顆粒壓縮系數一般1×10-5～3×10-5MPa-1，石英取 2.7×10-5MPa-1，孔隙度0.02～0.35，代入方程(34)，得到孔隙壓縮系數理論值10-4～10-3MPa-1級別，這與實驗測試范圍一致?？紫秹嚎s系數理論計算式(34)所反應的規(guī)律與Hall[12]曲線圖版的規(guī)律也一致，Hall圖版如圖3所示，孔隙壓縮系數與孔隙度負相關，這是因為孔隙體積自身也是孔隙壓縮系數的分母?；谛码p重有效應力理論體系，一般儲層滲透率越低，其孔隙壓縮系數越大，其對應的儲層應力敏感程度越高，理論計算與實驗測試結果、Hall圖版均一致。

圖3 Hall圖版曲線Fig. 3 Hall Chart Curve

5 結論

(1)舊雙重有效應力表達式與Biot、Bishop早期提出的有效應力表達式相同，與Laughton等高壓實驗認識相矛盾；新結構有效應力表達式與Terzaghi有效應力方程一致，其物理意義為超出平衡孔隙流壓之外的顆粒間等效平均應力；新本體有效應力表達式綜合考慮顆粒體積變形和顆粒形狀變形，與顆粒等效平均應力、真實平均應力均不相等。

(2)新雙重有效應力與Skempton有效應力內涵相同，其綜合作用得到的總有效應力方程與Skempton有效應力方程一致。

(3)新雙重有效應力首次提出了顆粒形狀變形及其對巖石體積總變形的重大影響，未能考慮顆粒間變形和顆粒形狀變形是李傳亮孔隙壓縮系數理論計算值遠小于實驗測試值的根本原因。

(4)新雙重有效應力很好地解釋了Laughton等經典實驗測試結果，其推導出的新孔隙壓縮系數與Hall圖版認識一致，從應變機理上論證了巖石孔隙壓縮系數與孔隙度負相關、低滲透油藏應力敏感程度更強的實驗認識。研究成果為巖土工程等多孔介質力學以及油藏工程研究開啟了新篇章。