齒距制造誤差對縱樹形葉根靜力性能的影響

宋儼軒，殷鳴，謝羅峰，殷國富

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齒距制造誤差對縱樹形葉根靜力性能的影響

宋儼軒，殷鳴*，謝羅峰，殷國富

（四川大學(xué) 制造科學(xué)與工程學(xué)院，四川 成都 610065）

基于二維有限元方法對縱樹形葉根的靜態(tài)性能進(jìn)行分析。該方法考慮彈性作用和摩擦接觸作用，提出利用增廣拉格朗日接觸算法中的接觸面偏移量來模擬齒距制造誤差的方法。同時，該方法提取薄弱圓角處拉應(yīng)力、周向截面平均應(yīng)力和擠壓面平均應(yīng)力以分別表征圓角集中應(yīng)力、齒間載荷分配和擠壓接觸應(yīng)力齒間分配。分析結(jié)果表明，齒距制造誤差對縱樹形葉根的圓角集中應(yīng)力，齒間載荷分配和擠壓接觸面應(yīng)力齒間分配均有較大影響。

制造誤差；縱樹形葉根；摩擦接觸；二維有限元

葉輪機(jī)械在航空工業(yè)、動力工程等眾多國家戰(zhàn)略性工業(yè)領(lǐng)域及國民經(jīng)濟(jì)體系中占據(jù)重要地位。葉片作為葉輪機(jī)的關(guān)鍵部件之一，其可靠性直接影響機(jī)組的正常運(yùn)行[1-2]。近年來，壓氣機(jī)向跨音速和超音速發(fā)展導(dǎo)致葉輪轉(zhuǎn)速增加，汽輪機(jī)向超臨界超超臨界發(fā)展導(dǎo)致末級葉片增長。這些因素直接導(dǎo)致了葉片離心力的提升，也給葉根的設(shè)計(jì)制造提出了更嚴(yán)峻的要求。

在零件強(qiáng)度的通用計(jì)算方法中，有限元計(jì)算方法已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用[3-4]。目前葉根強(qiáng)度的計(jì)算主要通過手冊公式[5]、二維有限元和三維有限元三種方式。張軍輝等[6]采用二維有限元方法設(shè)計(jì)葉根形狀參數(shù)，并采用三維有限元法對該設(shè)計(jì)進(jìn)行了驗(yàn)證。謝永慧等[7]采用三維有限元方法對葉根輪緣的等效應(yīng)力場進(jìn)行了分析，并采用優(yōu)化算法對葉根外形進(jìn)行了優(yōu)化。由于高承載能力的葉根結(jié)構(gòu)如菌形和縱樹形均為多齒接觸型結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)齒間間隙對結(jié)構(gòu)整體承載能力和力學(xué)性能有著至關(guān)重要的影響。然而，上述兩篇文章均未考慮間隙對葉根力學(xué)性能的影響，故在工程應(yīng)用上有局限性。

本文以縱樹形葉根為研究對象，采用二維有限元法計(jì)算二維截面應(yīng)力場。在計(jì)算過程中，考慮彈性作用和摩擦作用的影響。采用增廣拉格朗日法的接觸偏移值模擬齒距制造誤差，得出齒距制造誤差對縱樹形葉根靜力性能的影響，為縱樹形葉根在考慮齒距制造誤差時的靜態(tài)性能分析提供了方法。

1 葉根幾何及材料定義

縱樹形葉根具有優(yōu)良的承載能力，在大功率汽輪機(jī)低壓機(jī)長葉片上得到廣泛應(yīng)用。本文算例對象為一中壓缸葉片的縱樹形葉根，其葉片材料為2Cr13，輪緣材料為30Cr2Ni4MoV，材料物理性能參數(shù)如表1[8]所示。圖1中的原設(shè)計(jì)齒頂錐角22、齒根錐角21、齒距、齒寬、角、角分別如表2所示。圖中表示二維模型在對應(yīng)齒面處的接觸間隙，間隙為負(fù)數(shù)時表示過盈。為了保證研究參數(shù)的獨(dú)立性，設(shè)定齒面1處的接觸間隙為0。

表1 材料物理性能參數(shù)

表2 縱樹形葉根關(guān)鍵幾何參數(shù)

2 有限元分析及評價

由于葉根和輪緣之間的載荷通過葉根的三對齒和輪緣的三對齒相互接觸進(jìn)行傳遞。故求解葉根靜強(qiáng)度的問題實(shí)際上是求解接觸應(yīng)力以及由接觸傳載導(dǎo)致的葉根及輪緣圓角處集中應(yīng)力的問題。接觸問題屬于不定邊界的非線性問題，該非線性既來源于接觸面積的非線性，又來源于摩擦作用產(chǎn)生的非線性。因?yàn)椴捎萌S有限元模型求解一方面會導(dǎo)致網(wǎng)格數(shù)量激增，另一方面導(dǎo)致模型中部分網(wǎng)格質(zhì)量不佳，從而影響整體的求解速度及精度，故本文采用二維有限元模型[9]。另外，由于葉片常規(guī)設(shè)計(jì)中，偏心離心載荷總是被設(shè)法最小化，故本文選擇不考慮離心載荷偏心的影響，采用從葉根對稱軸切開的1/2的二維模型進(jìn)行分析。

圖1 縱樹形葉根幾何及間隙示意圖

如圖2（a）所示，葉根對稱平面處施加對稱約束；輪緣周向邊界施加固定約束，徑向邊界施加位移約束以限制周向位移。載荷考慮葉片的離心載荷和葉根的離心載荷，其中葉片的離心載荷近似為施加在葉根平臺上的均布徑向載荷，葉根離心應(yīng)力通過施加角速度得到。三對齒的接觸均定義為摩擦接觸，摩擦因子設(shè)定為0.3。接觸算法主要分為罰函數(shù)方法和拉格朗日方法，其中罰函數(shù)方法可能會導(dǎo)致病態(tài)矩陣的出現(xiàn)，拉格朗日方法會增加求解規(guī)模并引入零主元。本文采用了增廣拉格朗日法來求解接觸問題，該方法綜合了罰函數(shù)法求解簡單和拉格朗日方法求解穩(wěn)定的優(yōu)點(diǎn)。對接觸區(qū)域的網(wǎng)格進(jìn)行加密，得到網(wǎng)格數(shù)為11453、網(wǎng)格質(zhì)量0.972，如圖2（b）所示。

圖2 二維有限元模型的邊界條件及網(wǎng)格

基于上述設(shè)定，求解有限元模型，得到圖3，圖中葉根的應(yīng)力集中區(qū)域位于葉根輪緣齒間接觸區(qū)域的兩端端點(diǎn)附近和葉根圓角圓弧中心附近（圖3（b）～（d））。根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，縱樹形葉根等受拉結(jié)構(gòu)的應(yīng)力薄弱點(diǎn)通常在葉根圓角附近。本算例中接觸區(qū)域兩端端點(diǎn)附近的應(yīng)力集中現(xiàn)象應(yīng)為有限元離散后，接觸區(qū)域兩端接觸狀態(tài)突變的結(jié)果。經(jīng)過對接觸面的應(yīng)力線性化處理，得出結(jié)果顯示接觸面的平均應(yīng)力相對葉根圓角應(yīng)力集中處的應(yīng)力值處于較低水平。與此同時，在工程上，葉根圓角處拉彎應(yīng)力的應(yīng)力許用值比葉根輪緣的擠壓接觸應(yīng)力大許多。因此本文在考慮薄弱處受力狀況時，主要考慮葉根圓角薄弱處，不考慮接觸區(qū)域端點(diǎn)附近的應(yīng)力激增現(xiàn)象。

圖3中截面1、2、3分別是通過葉根齒1、2、3受拉圓角薄弱處的沿周向的截面，齒面1、2、3分別是葉根齒1、2、3與輪緣的接觸部分。提取圓角薄弱處的應(yīng)力分別命名為1、2、3；提取截面1、2、3處延徑向方向的薄膜應(yīng)力值分別命名為σ1、σ2、σ3；提取齒面1、2、3處的薄膜應(yīng)力分別命名為σ1、σ2、σ3。則結(jié)構(gòu)的靜強(qiáng)度安全系數(shù)為：0.2/max(σ)＝3.8；文獻(xiàn)[3]對縱樹形葉根拉彎合成總應(yīng)力安全系數(shù)的推薦值為大于等于1.7，故該設(shè)計(jì)有較大安全裕度。

圖3 葉根應(yīng)力分布云圖

除此以外，葉根齒的載荷分配和接觸應(yīng)力分配對葉根的靜態(tài)性能也有突出影響。定義葉根齒所承受的載荷分別為1、2、3，則：

為了量化研究載荷分配和接觸應(yīng)力分配，定義載荷分配矩陣D＝/||||1和應(yīng)力分配矩陣D＝/||||1。根據(jù)上述有限元分析，得出齒距制造偏差為0時，有：

D≈[0.3951 0.2873 0.3176]

D≈[0.3187 0.3363 0.3451]

可以看出，在該轉(zhuǎn)速下，第1齒承受約40%的載荷，第2、3齒承受約30%的載荷，從側(cè)面佐證了葉根靜強(qiáng)度校核公式法的合理性[3]。另外，從應(yīng)力分配矩陣可以看出，該葉根設(shè)計(jì)在齒距無偏差的情況下在該轉(zhuǎn)速下具有良好的應(yīng)力分布特性，但仍有改進(jìn)空間。

3 齒距制造誤差對靜強(qiáng)度、載荷分配和應(yīng)力分配的影響

假定縱樹形齒根的齒面2、3加工定位基準(zhǔn)均為齒面1，Δ12、Δ13表示齒距制造誤差，另Δ12＝－Δ12、Δ13＝－(Δ12＋(Δ23)。在有限元分析中，采用對摩擦接觸增加法向偏移量來模擬制造誤差。設(shè)計(jì)試驗(yàn)點(diǎn)范圍：|Δ12|≤0.05、|Δ13|≤0.05，在該范圍共取49個試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行有限元計(jì)算。提取出σ、σ、D，并用三次多項(xiàng)式進(jìn)行曲面擬合，如圖4所示。

可以看出齒1圓角的集中應(yīng)力、平均接觸應(yīng)力、載荷分配比隨著Δ12、Δ13的降低而增加；齒2圓角的集中應(yīng)力、平均接觸應(yīng)力、載荷分配比主要隨著Δ12的增加而增加；齒3圓角的集中應(yīng)力、平均接觸應(yīng)力、載荷分配比主要隨著Δ13的增加而增加。該結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)相同，證明該趨勢的正確性。

圖4 齒距制造誤差對靜強(qiáng)度和載荷分配的影響

4 結(jié)論

對縱樹形葉根的靜力性能開展研究，建立了考慮齒距制造誤差的靜力分析模型，為考慮制造誤差的葉根結(jié)構(gòu)靜力分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。研究表明，齒距制造誤差對葉根結(jié)構(gòu)的圓角集中應(yīng)力、平均接觸應(yīng)力、載荷分配比等影響顯著。經(jīng)過該方法分析得出的結(jié)果和經(jīng)驗(yàn)趨勢吻合，證明了該方法的正確性。

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Influence of Teeth Pitch Manufacturing Error on Static Performance of Fir Tree Dovetails

SONG Yanxuan，YIN Ming，XIE Luofeng，YIN Guofu

(School of Manufacturing Science and Engineering, Sichuan University, Chengdu 610065, China)

A method based on two-dimensional finite element method are put forward to analyze the static performance of fir tree dovetails. Considering elastic effect and frictional contact effects, the researchers propose to use the offset of the contact surface in the augmented Lagrange contact algorithm to simulate teeth pitch manufacturing error. Meanwhile, the fillet stress, the average stress of the sections and the average contact stress were extracted by this method to characterize the fillet-located concentrated stress, the load distribution between teeth and the contact stress distribution between contact surfaces. The results show that the teeth pitch manufacturing error has a great influence on the fillet-located concentrated stress, the load distribution between teeth and the contact stress distribution between contact surfaces.

manufacturing error；fir tree dovetails；frictional contact；two-dimensional finite method

TP391；TK262

A

10.3969/j.issn.1006-0316.2018.12.003

1006－0316 (2018) 12－0007－05

2018－04－19

四川省科技支撐計(jì)劃項(xiàng)目（2015GZ0012、2016GZ0001）

宋儼軒（1994－），男，四川德陽人，碩士研究生，主要研究方向?yàn)镃AD/CAM。殷國富（1956－），男，四川西充人，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)橹圃熳詣踊⒅悄茉O(shè)計(jì)技術(shù)、CAD/CAM/CIMS。

殷鳴（1987－），男，四川成都人，博士，講師，主要研究方向?yàn)橹悄苤圃旌驮霾闹圃旒夹g(shù)。