基于拉格朗日插值的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器研究

黃 偉，周其超，陶存炳

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

數(shù)字相控陣?yán)走_(dá)空間分辨率高，抗干擾能力強(qiáng)，具有十分廣闊的軍事用途，相控陣天線通過控制信號(hào)在陣元內(nèi)的傳輸時(shí)間實(shí)現(xiàn)信號(hào)延時(shí)，從而保證不同方向的信號(hào)同相疊加，獲得預(yù)期的波束指向和方向增益[1]。傳統(tǒng)的相控陣?yán)走_(dá)利用模擬的方法產(chǎn)生信號(hào)波形，利用延遲線、移相器實(shí)現(xiàn)信號(hào)的延時(shí)移相。這種方法有諸多弊端，采用該體制的雷達(dá)系統(tǒng)體積大，使用和維護(hù)不便，信號(hào)產(chǎn)生不靈活，在數(shù)字域處理信號(hào)延時(shí)、移相，可以靈活地形成多樣式雷達(dá)信號(hào)波形[2]。數(shù)字陣列雷達(dá)采用數(shù)字技術(shù)實(shí)現(xiàn)信號(hào)發(fā)射及接收，分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器能夠?qū)π盘?hào)作非整數(shù)倍的時(shí)間延時(shí)，在數(shù)字域利用分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器可以實(shí)現(xiàn)信號(hào)精準(zhǔn)延時(shí)，提高雷達(dá)波束指向精度[3]。

1 分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器原理

分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器能方便改變頻率響應(yīng)的特點(diǎn)，在語(yǔ)音音調(diào)同步合成、數(shù)字通信、時(shí)延估計(jì)、視頻信號(hào)以及相控陣?yán)走_(dá)信號(hào)處理等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[4]。分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器實(shí)現(xiàn)方法主要有窗函數(shù)法、拉格朗日插值法和基于多項(xiàng)式的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器設(shè)計(jì)方法。基于拉格朗日插值的分?jǐn)?shù)延時(shí)算法易于實(shí)現(xiàn)，系數(shù)計(jì)算簡(jiǎn)單，少量的加法和乘法運(yùn)算就能實(shí)現(xiàn)濾波器系數(shù)更新，在低頻段具有良好的幅度和頻率響應(yīng)。

假設(shè)x(t)為連續(xù)時(shí)間信號(hào)，在滿足奈奎斯特采樣定理的條件下采樣得到數(shù)字離散信號(hào)x[n]，通過理想數(shù)模轉(zhuǎn)換器還原為連續(xù)信號(hào)，還原后的連續(xù)信號(hào)經(jīng)延時(shí)處理后得到精準(zhǔn)延時(shí)τ，最后送入模數(shù)轉(zhuǎn)換器，以T為周期連續(xù)采樣，得到離散數(shù)字信號(hào)y[n]，x[n]與y[n]的關(guān)系可以用如下的方式表示：

y[n]=x[n]*sinc(n-D)

(1)

可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)響應(yīng)可以等效為離散的沖擊響應(yīng)，令：

hi[n]=sinc(n-D)

(2)

則有：

y[n]=x[n]*hi[n]

(3)

hi[n]可以視為無(wú)限長(zhǎng)度的非因果濾波器[5]，下式為hi[n]在頻域的表達(dá)式：

Hi(ejω)=e-jωD

(4)

式中：延時(shí)量D由兩部分構(gòu)成，整數(shù)部分Z和小數(shù)部分p，代入hi[n]頻域表達(dá)式，則有：

Hi(ejω)=e-jωD=e-jω(Z+p)

(5)

由上述推導(dǎo)可以得到，理想分?jǐn)?shù)倍延時(shí)濾波器的幅度特性以及頻率特性為：

|Hi(ejω)|=1

(6)

arg{Hi(ejω)}=θi(ω)=-Dω=-(Z+p)ω

(7)

相位信息可以用群延時(shí)特性來表征，表達(dá)式如下：

(8)

同樣，在一些情況下，相位信息也可以用相位延遲來表達(dá)：

(9)

設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器，使其不斷逼近理想分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器相位延時(shí)濾波特性，求解濾波器系數(shù)，通過這樣的方式設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器，對(duì)信號(hào)進(jìn)行分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波。

2 拉格朗日插值法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器

在本文分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器的設(shè)計(jì)過程中，選用有限沖激響應(yīng)(FIR)數(shù)字濾波器來逼近理想分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器，有限沖激響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位沖擊響應(yīng)的長(zhǎng)度有限，可以在固定的系統(tǒng)條件下實(shí)現(xiàn)，實(shí)際設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ejω)，使其無(wú)限逼近于理想分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)Hi(ejω)，兩者之間的誤差函數(shù)可以表示為：

E(ejω)=Hi(ejω)-H(ejω)

(10)

對(duì)頻域誤差函數(shù)E(ejω)在某一頻率點(diǎn)N階求導(dǎo)使其導(dǎo)數(shù)為0，誤差函數(shù)在該頻點(diǎn)的頻率逼近效果最佳，這樣就可以保證在一定頻率范圍內(nèi)保持最大平坦。對(duì)前述差函數(shù)在某一頻點(diǎn)ω=ω0進(jìn)行N階求導(dǎo)，公式如下：

(11)

典型地，設(shè)ω0=0，在ω0=0處求N次導(dǎo)數(shù)，得到N+1組線性方程，以脈沖響應(yīng)的形式表示如下：

(12)

表達(dá)為矩陣形式為：

Vh=v

(13)

其中：

(14)

(15)

通過給定1組數(shù)值，采用多項(xiàng)式插值的方法可以求解得到上式系數(shù)，上述求解過程相當(dāng)于求解經(jīng)典拉格朗日插值公式[6]，在z域分析，則有：

H(z)=z-D，D=0,1,…，N

(16)

對(duì)于固定的整數(shù)倍時(shí)延，誤差逼近于零，求解得到的濾波器系數(shù)h(n)為：

(17)

3 分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器仿真分析

針對(duì)基于Lagrange插值法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器進(jìn)行了3組仿真，延時(shí)參數(shù)設(shè)為0～0.5采樣周期，間隔0.1采樣周期，濾波器階數(shù)設(shè)為7階、15階和19階，截止頻率設(shè)為0.7π。

從圖1～圖3可以看出，基于Lagrange插值法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器在低頻具有平滑的幅度響應(yīng)和相位延遲，但是在濾波器階數(shù)較低時(shí)，幅度響應(yīng)和相位延遲不能滿足截止頻率為0.7π的要求，當(dāng)濾波器階數(shù)達(dá)到15階，相位響應(yīng)和幅度響應(yīng)有明顯改善，特別是頻率高于0.4π的部分。隨著濾波器階數(shù)的增加，濾波器性能持續(xù)提高。

圖1 Lagrange插值法7階分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器幅度響應(yīng)和相位延遲特性

圖2 Lagrange插值法15階分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器幅度響應(yīng)和相位延遲特性

圖3 Lagrange插值法19階分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器幅度響應(yīng)和相位延遲特性

為了分析基于拉格朗日插值法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器延時(shí)效果，本文進(jìn)行了如下仿真對(duì)比，采樣頻率設(shè)計(jì)為8倍信號(hào)頻率，分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器階數(shù)為15階。分別對(duì)2列正弦信號(hào)進(jìn)行采樣，其中一列信號(hào)在采樣前相對(duì)于另一列信號(hào)有0.5倍采樣間隔延時(shí)，采樣得到的離散信號(hào)經(jīng)分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器延時(shí)處理后對(duì)比2列信號(hào)之間的時(shí)間間隔。這樣設(shè)計(jì)的目的是為了更直觀地觀測(cè)延時(shí)效果。

圖4和圖5分別為分?jǐn)?shù)延時(shí)前后2列信號(hào)的對(duì)比圖，不難看出，經(jīng)過分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器延時(shí)處理之后，2列信號(hào)幾乎重合，說明分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器精準(zhǔn)地校正了2列信號(hào)之間的延時(shí)誤差。

圖4 分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波之前2列信號(hào)對(duì)比圖

圖5 分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波之后2列信號(hào)對(duì)比圖

4 結(jié)束語(yǔ)

分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器采用不斷逼近理想濾波器相位延時(shí)濾波特性的方法，求解濾波器系數(shù)?；诶窭嗜詹逯捣ǖ姆?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器設(shè)計(jì)過程中，對(duì)頻域誤差函數(shù)N階求導(dǎo)，使其為0，以此得到濾波器系數(shù)。本文在分析分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器的基本實(shí)現(xiàn)原理的基礎(chǔ)上，仿真分析了基于拉格朗日插值法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器的相頻和幅頻特性，結(jié)果表明濾波器在低頻具有非常好的幅度響應(yīng)和相位延遲響應(yīng)，并且隨著濾波器階數(shù)的增加，濾波器性能持續(xù)改善。最后應(yīng)用濾波器對(duì)離散信號(hào)進(jìn)行延時(shí)處理，處理后的信號(hào)得到了精準(zhǔn)的分?jǐn)?shù)倍延時(shí)，驗(yàn)證了基于拉格朗日插值法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)延時(shí)濾波器延時(shí)濾波的有效性和可行性。