測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下三粒子量子態(tài)的 糾纏目擊形式

王安康

（北京郵電大學(xué)理學(xué)院，北京 100876）

0 引言

量子糾纏[1]是量子信息處理應(yīng)用優(yōu)于經(jīng)典計(jì)算的關(guān)鍵資源[2]。故從理論和實(shí)踐的角度看，它的表征和驗(yàn)證均是量子信息科學(xué)中的關(guān)鍵問(wèn)題。一般的糾纏目擊方法對(duì)測(cè)量設(shè)備的要求極高，由于實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量設(shè)備不完美，很容易把可分態(tài)誤判為糾纏態(tài)[3-6]，進(jìn)而造成很大的損失。在設(shè)備無(wú)關(guān)場(chǎng)景[7-8]下，對(duì)設(shè)備沒(méi)有任何要求，它利用Bell 實(shí)驗(yàn)，基于Bell 不等式的違背，來(lái)驗(yàn)證測(cè)量系統(tǒng)共享量子態(tài)之間的關(guān)聯(lián)性。但由于Bell 實(shí)驗(yàn)需要類(lèi)空間隔，并對(duì)整個(gè)實(shí)驗(yàn)的效率要求極高，因此在實(shí)際操作中并不好實(shí)現(xiàn)。為了更好地解決這個(gè)問(wèn)題，Busemi[9]提出了所有的糾纏態(tài)在半量子非局域場(chǎng)景（相比Bell 場(chǎng)景下的經(jīng)典比特輸入，這里采用的是可信量子態(tài)的輸入）下都是非局域性的，這在Bell 場(chǎng)景是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的。例如，兩粒子量子態(tài)-Werner 態(tài)[10]

1 測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下三粒子量子態(tài)的糾纏目擊

1.1 一般糾纏目擊形式

對(duì)于一般的糾纏目擊[14-15]，即對(duì)于任意的糾纏態(tài)ρABC，有哈密頓操作W使得tr(Wρ)＜0，然而對(duì)于任意的可分態(tài)σABC，有哈密頓操作W，使得tr(Wσ)≥0恒成立，如此的W （一般稱(chēng)為糾纏目擊）能用于探測(cè)量子態(tài)是否糾纏。由于實(shí)際實(shí)驗(yàn)室中測(cè)量設(shè)備不完美，存在統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的偏差以及來(lái)自第三方的惡意竊聽(tīng)等，所得到的W 一般都有很大的誤差導(dǎo)致tr(Wρ)的誤判，從而錯(cuò)誤的判定可分態(tài)σABC為糾纏態(tài)ρABC。

1.2 測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下三粒子的糾纏目擊形式證明

1.2.1 可信量子態(tài)輸入與W 的關(guān)系

為了避免因測(cè)量設(shè)備的缺陷所導(dǎo)致的誤差，Branciard 等人提出了在半量子非局域場(chǎng)景下，基于測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件的糾纏目擊形式。即使在測(cè)量設(shè)備不完美的條件下仍然可以正確判斷測(cè)量設(shè)備之間共享的是可分態(tài)還是糾纏態(tài)。半量子非局域場(chǎng)景使用真實(shí)可信且信息完備的量子態(tài)輸入代替經(jīng)典比特的輸入，考慮三粒子量子態(tài)ρABC作用在希爾伯特空間上，其中。令W為探測(cè)糾纏態(tài)ρABC的糾纏目擊形式，又量子態(tài)的張量形式可以表示整個(gè)希爾伯特空間，故W 可以表示為量子態(tài)的線性組合形式，即

其中βstu是實(shí)數(shù)，并且它們分別對(duì)應(yīng)的是的一組基。

1.2.2 三粒子量子態(tài)下的概率表示形式

接下來(lái)我們證明三粒子形式的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式。即對(duì)于糾纏目擊形式：

對(duì)于任意的可分態(tài)σABC恒成立，但是對(duì)于糾纏態(tài)ρABC,I(P)＜0。已知在測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下，測(cè)量系統(tǒng)Alice，Bob，Charlie 分別執(zhí)行測(cè)量操作，輸出經(jīng)典結(jié)果a，b，c，其中，統(tǒng)計(jì)概率表示為

1.2.3 LPP 映射原理

根據(jù)LPP 映射原理[14,16]，對(duì)于任意的糾纏態(tài)ρABC，存在一個(gè)正映射（但不是完全正映射）Λ，使得不是正的，因此至少存在一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量，記為定義為Λ的對(duì)偶映射，對(duì)于所有的線性操作A ,B有成立。對(duì)于哈密頓操作，滿(mǎn)足

1.2.4 糾纏態(tài)在糾纏目擊形式下的表達(dá)

此時(shí)對(duì)應(yīng)的糾纏目擊形式為

因此，我們可以得出在Alice，Bob，Charlie 之間共享糾纏態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式I(P)＜0成立。

1.2.5 可分態(tài)在糾纏目擊形式下的表達(dá)

假設(shè)Alice，Bob，Charlie 共享的量子態(tài)為是可分態(tài)σABC，根據(jù)可分態(tài)的定義，可以寫(xiě)成如下的形式[17,18]

因此對(duì)于任意的測(cè)量算子作用在可分態(tài)上，可以表示為

其中Πabc是測(cè)量系統(tǒng)Alice，Bob，Charlie 輸出的經(jīng)典結(jié)果所對(duì)應(yīng)的POVM 測(cè)量，并且

因此，

最終我們利用LPP 映射原理，證明了基于三粒子量子態(tài)下的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式， 這對(duì)于拓展到共享多粒子下的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式具有非常重要的意義。

2 三粒子量子態(tài)在測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下具體的糾纏目擊形式

接下來(lái)我們用詳細(xì)的例子來(lái)說(shuō)明，基于三粒子量子態(tài)的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下的糾纏目擊具體表達(dá)形式。

對(duì)于含噪聲的三粒子量子態(tài)-W[17]態(tài)，

其中的系數(shù)βstu是實(shí)數(shù)，具體形式可以表示為：

至此，我們以含噪聲的三粒子W態(tài)為例，詳細(xì)說(shuō)明了在測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)條件下糾纏目擊的形式。此外在運(yùn)用MATLAB 進(jìn)行線性方程求解的過(guò)程中，充分運(yùn)用了AX=B的求解方式，其中A 表示的是三個(gè)量子態(tài)的張量形式，即

X的表示如下：

3 結(jié)論

根據(jù)LPP映射原理，對(duì)可分態(tài)與糾纏態(tài)分別進(jìn)行糾纏目擊形式的分析討論，最終我們給出了三粒子量子態(tài)下的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式的具體證明過(guò)程，并且對(duì)于給定的含噪聲形式的三粒子量子態(tài)W態(tài)，給出了詳細(xì)的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式構(gòu)造過(guò)程，這對(duì)于拓展到多粒子量子態(tài)下的測(cè)量設(shè)備無(wú)關(guān)糾纏目擊形式具有重大的意義。此外，受Busemi所提出的所有糾纏態(tài)都是非局域的啟發(fā)，是否可以研究測(cè)量設(shè)備共享的三粒子量子態(tài)下的隨機(jī)性，值得進(jìn)一步思考。