壓縮感知圖像的塊子帶自適應(yīng)稀疏表示規(guī)則化重構(gòu)

熊承義，龔忠毅，高志榮，張夢杰

(1中南民族大學(xué) 電子信息工程學(xué)院 智能無線通信湖北省重點實驗室， 武漢 430074；2中南民族大學(xué) 計算機科學(xué)學(xué)院， 武漢 430074)

近年來，壓縮感知(CS)理論[1-3]作為一種新的信號采樣理論受到了國內(nèi)外學(xué)者廣泛的關(guān)注，其在信息論、圖像處理、無線通信等領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[4-6].不同于香農(nóng)采樣理論，CS理論指出，如果信號x∈RN在某個變換域Φ能被稀疏表示，則通過少量的隨機觀測值y∈RN可準確重構(gòu)原始信號x.換言之，雖然在M=N時,應(yīng)由觀測值y重構(gòu)原始信號x是一個病態(tài)的欠定問題，無法確定唯一解，但是在信號滿足稀疏性且觀測矩陣滿足有限等距原則[2](RIP)時，由降維觀測值y可高概率地準確重構(gòu)原始信號x.壓縮感知信號重構(gòu)的數(shù)學(xué)模型可表示為：

(1)

其中：Φ為稀疏變換矩陣；H為測量矩陣；‖·‖p表示取p范數(shù).

對于自然圖像，如果直接對整幅圖像進行壓縮感知觀測，由于其觀測矩陣的維度會很大，因此帶來對觀測矩陣的存儲規(guī)模太大以及計算復(fù)雜.為了有效降低重構(gòu)算法的復(fù)雜度，Gan在文獻[7]中提出了基于圖像分塊的壓縮感知(BCS)，有效減小了觀測矩陣的維度和重構(gòu)的計算復(fù)雜度.基于BCS的壓縮感知圖像重構(gòu)模型的數(shù)學(xué)表示為：

(2)

其中xi表示圖像中第i個圖像塊.

BCS算法先將原始圖像x分成很多個彼此不重疊的小塊圖像，再對每一個小塊圖像進行獨立觀測，觀測矩陣的維度不再隨著原圖像x維度的增加而增加，降低了對觀測矩陣存儲代價及計算復(fù)雜度.然而，塊獨立的分塊壓縮感知重構(gòu)通常會出現(xiàn)較嚴重的方塊效應(yīng).針對該問題，文獻[8]通過采用具有平滑作用的維納濾波，提出了基于分塊采樣與平滑Landweber投影的壓縮感知重構(gòu)方法.通過采用迭代的變換域濾波處理，實現(xiàn)了在圖像即使采用較小分塊壓縮感知時也能得到較好重構(gòu)效果.

為了更好提升信號壓縮感知重構(gòu)的準確性，得到更高質(zhì)量的重構(gòu)信號，探求更好的采樣信號，稀疏表示是其中關(guān)鍵；而對于圖像信號的壓縮感知重構(gòu)，如何充分利用圖像信號具有的局部相似和非局部相似，更好地提升對圖像的稀疏表示能力，進一步有效提升圖像重構(gòu)質(zhì)量，是近年該研究領(lǐng)域的重要方向，比如基于全變差(TV)的方法[9]、基于多假設(shè)(MH)的方法[10]、基于非局部相似(NLS)的方法[11,12]等.然而，以往方法大多簡單地直接利用圖像信號經(jīng)過某種變換后的稀疏性來約束重構(gòu)，導(dǎo)致圖像中存在的微小而重要的細節(jié)信息丟失.即盡管在一般情形下，較小的稀疏表示系數(shù)比起大的稀疏表示系數(shù)的損失對于圖像質(zhì)量的影響更小，但如果圖像信號中存在重要而非顯著目標，保留該目標在圖像稀疏變換域?qū)?yīng)的較小系數(shù)對于保留相應(yīng)細節(jié)信息十分重要.

自然圖像信號一般具有非平穩(wěn)的特性，圖像中的不同圖像塊會表現(xiàn)不同的分布特性.實際上，具有非平穩(wěn)特性的自然圖像信號在變換到稀疏域時，不同圖像塊的變換域系數(shù)也呈現(xiàn)服從不同分布模型[13]的先驗.基于以上考慮，本文提出了一種基于分塊圖像子帶自適應(yīng)稀疏表示規(guī)則化的壓縮感知圖像重構(gòu)方法.具體來說，首先利用非局部相似塊組估計每個分塊圖像變換域各子帶系數(shù)的均值和標準差，再將圖像塊各子帶系數(shù)進行去均值并關(guān)于標準差歸一化，最后將去均值歸一化處理的子帶系數(shù)的li范數(shù)表示用于規(guī)則化壓縮感知重構(gòu).

1 塊子帶自適應(yīng)稀疏表示規(guī)則化的壓縮感知重構(gòu)

自然圖像信號一般具有非平穩(wěn)的特性，不同圖像塊的變換域各子帶系數(shù)通常服從不同的統(tǒng)計分布特性.為更好保留非顯著而重要目標的紋理細節(jié)信息，區(qū)別對待不同圖像子塊的小的變換系數(shù)十分必要，故提出利用圖像分塊的稀疏系數(shù)進行自適應(yīng)去均值歸一化后規(guī)則化壓縮感知重構(gòu)的思想.具體重構(gòu)模型如下：

(3)

其中：xk=R(x)為提取的第k圖像塊；R(·)為圖像塊提取算子；Φk是利用主成分分析(PCA)學(xué)習(xí)的自適應(yīng)字典[13]；μk和σk分別是第k圖像塊變換域子帶的均值和標準差，其值通過對提取xk的一組非局部相似塊組的變換域系數(shù)進行統(tǒng)計估計.

式(3)的求解采用分裂布雷格曼迭代(SBI)算法[14]實現(xiàn).通過引入輔助變量u等價表示x，則式(3)改寫為：

(4)

利用SBI算法求解，(4)式可分解為如下兩個子問題：

(5a)

(5b)

其中：t表示迭代次數(shù)；μ為規(guī)則化參數(shù)；b為SBI迭代過程中的迭代參數(shù)，在每次迭代中進行更新，具體為：

b(t+1)=b(t)-(u(t+1)-x(t+1)).

(5c)

1.1 u子問題求解

對于u子問題，實質(zhì)是求解一個二次函數(shù)最小問題，其解可通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零得到，即：

u=(HTH+μI)-1(HTy+μx(t)+μb(t)),

(6)

其中I為單位矩陣.為避免計算中的矩陣求逆運算，降低計算的復(fù)雜度，式(6)的計算可采用梯度下降法迭代式(7)實現(xiàn)：

(7)

式中d是式(6)的梯度，η是梯度下降步長.因此，式(7)也可進一步重寫為：

(8)

式(8)中的HTH和HTy只需要計算一次，因此極大降低了計算復(fù)雜度.

1.2 x子問題

在求解x子問題時，u已經(jīng)由上一步計算得到.為了簡化表示，令r=u-b，則式(5b)等價于：

(9)

利用大數(shù)定理可證明：

(10)

其中c1為常數(shù).于是，若令αk=Φkxk,βk=Φkrk，則有：

(11)

于是，式(9)等價于：

(12)

其中c=μ·c1，式(12)可利用軟閾值收縮法實現(xiàn)如下：

sgn(βk-μk),

(13)

在系數(shù)進行軟閾值處理后，恢復(fù)的圖像塊可進一步由式(14)通過求逆變換得到：

(14)

最后，根據(jù)恢復(fù)得到的所有圖像塊xk，將它們放回圖像的原始位置，然后通過求加權(quán)平均，還原整幅圖像x，即：

(15)

其中：RT(·)為R(·)的轉(zhuǎn)置算子；B×B為分塊圖像xk的維數(shù).

2 實驗結(jié)果與分析

為驗證本文算法的有效性，利用壓縮感知中常用的測試圖像(Vessel, Leaves, Lena, Boats和Cameraman，除Vessel大小為256×256外，其余4幅圖像的大小為96×96)進行實驗.為降低計算復(fù)雜度，本文方法也采用了基于分塊的壓縮感知框架，分塊大小為×.與當前主流的同類壓縮感知重構(gòu)算法進行了對比，包括全變差(TV)算法[9]、多假設(shè)(MH)算法[10]、協(xié)同稀疏表示(RCoS)算法[11]、組稀疏表示(GSR)算法[12].實驗平臺為Matlab2008b，硬件條件為Intel雙核處理器、頻率為3.40 GHz、內(nèi)存為4.00 Gb，操作系統(tǒng)為Windows 7(64 bit).每個算法包含大量參數(shù)設(shè)置與自適應(yīng)調(diào)整過程，在測試過程中所使用的算法參數(shù)均為原作者在相應(yīng)論文中給出的最佳參數(shù)設(shè)置.

在實驗中采用峰值信噪比(PSNR)和主觀視覺效果來評價算法的重構(gòu)性能.PSNR越高，重構(gòu)效果越好.本文算法(PBASR)的參數(shù)設(shè)置如下：規(guī)則化參數(shù)λ=0.09，μ=0.0025；非局部相似組中塊的大小為6×6，組中相似塊數(shù)目為60，搜索相似塊的窗口大小為20×20；由于梯度下降步長η設(shè)置不當會導(dǎo)致收斂過慢或不收斂的現(xiàn)象，因此η的大小通常與梯度有關(guān)，具體設(shè)置方法與GSR算法相同.

實驗中設(shè)定采樣率分別為0.1，0.2，0.3，不同采樣率下各種算法的PSNR性能比較結(jié)果如表1所示.由表1可見：PBASR算法對所有測試圖像均能得到更好的重構(gòu)效果.在不同采樣率下，本文算法在5幅不同的測試圖像的平均PSNR相比TV算法、MH算法、RCoS算法、GSR算法分別提高3.56，3.73，1.80，0.69 dB，其中基于圖像相似塊組稀疏性的RCoS算法和GSR算法重構(gòu)效果最好.

表1 不同采樣率下幾種重構(gòu)算法PSNR性能比較Tab.1 PSNR performance comparison of several reconstruction algorithms under different sampling rates

為比較各種重構(gòu)算法的主觀視覺質(zhì)量，給出了在采樣率為0.1時不同算法的重構(gòu)圖像，結(jié)果見圖1和圖2.

圖1 測試圖像Monarch在0.1采樣率下不同算法的重構(gòu)圖像Fig.1 Reconstructed image of Monarch with different algorithms at 0.1 sampling rate

由圖中可見，本文算法對圖像紋理細節(jié)具有更好的重構(gòu)效果.由于TV算法僅利用圖像平滑性先驗知識，重構(gòu)圖像過于平滑，低采樣率下，有明顯的油畫效果.利用相似塊組稀疏表示先驗的壓縮感知重構(gòu)算法重構(gòu)效果較好，RCoS算法和GSR算法是其中的典型代表，GSR算法在同類算法中性能表現(xiàn)最好.比較結(jié)果可見：本文方法通過對圖像塊的變換域系數(shù)進行歸一化處理后，稀疏表示規(guī)則化重構(gòu)，保留了圖像弱小高頻紋理細節(jié)信息，明顯改善了重構(gòu)圖像視覺質(zhì)量.

3 結(jié)語

由于自然圖像信號一般具有非平穩(wěn)的特性，不同圖像塊的不同子帶的統(tǒng)計分布特性具有較大差異，因此直接利用整幅圖像統(tǒng)一分布模型下的稀疏表示約束CS重構(gòu)，圖像中的微小而重要的細節(jié)信息容易丟失，重構(gòu)質(zhì)量難以令人滿意.本文利用分塊圖像的變換域系數(shù)在歸一化后具有較好一致性統(tǒng)計分布特性的先驗，提出了基于自適應(yīng)塊歸一化稀疏表示的CS圖像重構(gòu)方法.基于圖像塊的自適應(yīng)去均值歸一化更加合理地表達了稀疏系數(shù)的重要性，在圖像恢復(fù)中更好地保留了圖像弱小目標及圖像邊緣和紋理細節(jié)信息，獲得了更好的圖像重構(gòu)效果.

圖2 測試圖像Cameraman在0.1采樣率的重構(gòu)圖像Fig.2 Reconstructed image of Cameraman with different algorithms at 0.1 sampling rate