常利率下帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)

李學(xué)鋒，郭仲凱

(中南民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，武漢 430074)

1930年Cramer提出的經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型為風(fēng)險(xiǎn)理論奠定了重要的基礎(chǔ)，使風(fēng)險(xiǎn)理論得到廣泛的研究，主要研究保險(xiǎn)事務(wù)中各種隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率或生存概率. 但隨著社會經(jīng)濟(jì)和保險(xiǎn)市場的逐步發(fā)展，經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型已經(jīng)不能滿足現(xiàn)代保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的需求了，于是許多學(xué)者對其進(jìn)行了改進(jìn)和推廣.文獻(xiàn)[1，2]研究了相依風(fēng)險(xiǎn)模型在有限時(shí)間內(nèi)破產(chǎn)概率的漸近表達(dá)式.文獻(xiàn)[3]得到了生存概率滿足的積分-微分方程.在文獻(xiàn)[4]中，Gerber和Shiu提出的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)是現(xiàn)代風(fēng)險(xiǎn)理論研究的熱點(diǎn)問題，該函數(shù)將破產(chǎn)時(shí)刻、破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余和破產(chǎn)時(shí)的赤字融入到一個(gè)函數(shù)中，這一重要的函數(shù)為研究破產(chǎn)理論帶來很大的方便，根據(jù)它可以得到一些具體的精算指標(biāo),推動(dòng)風(fēng)險(xiǎn)理論向前發(fā)展.文獻(xiàn)[5,6]得到了常數(shù)利率下經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)滿足的積分-微分方程及指數(shù)索賠下破產(chǎn)概率的表達(dá)式.文獻(xiàn)[7]研究了復(fù)合Poisson過程風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)、破產(chǎn)前瞬時(shí)盈余的Laplace變換、破產(chǎn)時(shí)刻以及破產(chǎn)時(shí)赤字滿足的積分方程.文獻(xiàn)[8-10]針對不同情形，選擇了不同形式的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)并研究了破產(chǎn)概率.

本文就是在上述工作的基礎(chǔ)上，討論一類在常數(shù)利率下帶隨機(jī)干擾的風(fēng)險(xiǎn)模型，其中保費(fèi)收入是時(shí)間的線性函數(shù)，索賠過程為復(fù)合 Poisson-Geometric過程，得到了期望折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分-微分方程，然后根據(jù)該方程給出破產(chǎn)概率所滿足的積分-微分方程并得到其在指數(shù)索賠下的特殊形式，同時(shí)還得到破產(chǎn)時(shí)赤字的概率分布函數(shù)所滿足的積分-微分方程.

1 預(yù)備知識

定義1 設(shè)λ>0,0≤ρ<1,稱{N(t),t≥0}是參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過程，如果滿足：

(1)N(0)=0；

(2){N(t),t≥0}具有獨(dú)立平穩(wěn)增量；

(3)對t>0，有N(t)～PG(λt,ρ).

性質(zhì)如果隨機(jī)變量X～PG(λ,ρ)，則當(dāng)0<ρ<1時(shí)，X的概率分布為:

P(X=0)=e-λ，

[λ(1-ρ)]jρk-j,k=1,2,….

注定義2中的ρ稱為偏離參數(shù)，刻畫事故發(fā)生次數(shù)與索賠次數(shù)的差異.當(dāng)ρ=0時(shí)，Poisson-Geometric過程即是Poisson過程.

2 模型介紹

定義3 設(shè)(Ω,F,P)是完備的概率空間(本文所有的隨機(jī)變量都定義在此空間)，則對u≥0,t≥0，保險(xiǎn)公司在t時(shí)刻的盈余為：

(1)

其中R(t)=ct-S(t)+σW(t)，c為保險(xiǎn)公司單位時(shí)間內(nèi)收到的保險(xiǎn)費(fèi)，S(t)為索賠過程，{W(t),t≥0}為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程，表示保險(xiǎn)公司不確定性收益和支出，σ>0為擾動(dòng)系數(shù)，u≥0為保險(xiǎn)公司的初始準(zhǔn)備金；δ≥0為常數(shù)利率.

對上述模型做如下假設(shè)：

(2){Xi,i=1,2,…},{N(t),t≥0}，{W(t),t≥0}相互獨(dú)立.

易知風(fēng)險(xiǎn)模型(1)可寫為:

(2)

定義4 保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)時(shí)刻T=inf{t:t≥0,U(t)<0}(若集合為空集，則T=∞).

定義5 定義在[0,+∞)×[0,+∞)上的非負(fù)可測且依賴于破產(chǎn)前的盈余和破產(chǎn)時(shí)赤字的函數(shù)ω(x,y)稱為罰金函數(shù).

令I(lǐng)(E)為事件E的示性函數(shù)，U(T-)為破產(chǎn)前的瞬間盈余，|U(T)|為破產(chǎn)時(shí)的赤字，r≥0為折現(xiàn)因子，則稱

φ(u)=E[e-rTω(U(T-),|U(T)|)I(T<∞)|

U(0)=u]

(3)

特別地，當(dāng)ω(x,y)=1,r=0時(shí)，φ(u)為破產(chǎn)概率，即:

(4)

當(dāng)ω(x,y)=x,r>0時(shí)，φ(u)為破產(chǎn)時(shí)刻瞬間盈余的期望折現(xiàn)函數(shù)，即:

φ(u)=E[e-rTU(T-)I(T<∞)|U(0)=u],

(5)

當(dāng)ω(x,y)=y,r>0時(shí)，φ(u)為破產(chǎn)時(shí)赤字的期望折現(xiàn)函數(shù)，即:

φ(u)=E[e-rT|U(T)|I(T<∞)|U(0)=u].

(6)

3 主要結(jié)果及證明

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t),

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,…，

漢江是漢朝的發(fā)祥地。楚河漢界，不僅僅是歷史的地域切割，是文化的融合。“大漢民族”、“漢文化”、“漢學(xué)”、“漢語”這些名稱，得名于漢江。歷史學(xué)家呂思勉和錢穆認(rèn)為，華夏族就是生活在華山以南、夏水兩岸的民族。而古代華山就是現(xiàn)在的河南嵩山，夏水就是今天的漢水。這說明，漢水流域是中華民族最古老族源的發(fā)祥地。

定理對任意u≥0，風(fēng)險(xiǎn)模型(1)的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)φ(u)滿足如下積分-微分方程：

(7)

證明令

在充分小的時(shí)間段(0,t]內(nèi)，考慮(1)式所定義的風(fēng)險(xiǎn)過程U(t)，根據(jù)是否發(fā)生索賠，分為兩類事件：

事件B1:在(0,t]內(nèi)沒有索賠發(fā)生，即B1={N(t)=0}，其發(fā)生的概率為:

P(B1)=e-λt=1-λt+o(t)；

事件B2:在(0,t]內(nèi)有k次索賠發(fā)生，即B2={N(t)=k}，其發(fā)生的概率為：

P(B2)=αρkt+Ak(t)o(t),k=1,2,….

由盈余過程的強(qiáng)馬氏性和全期望公式有:

(8)

由引理知，(8)式中各項(xiàng)級數(shù)均一致收斂，由單調(diào)收斂定理，求和號與積分號可交換次序，故

(9)

進(jìn)一步整理得:

(10)

將ert=1+rt+o(t)代入上式并兩邊同時(shí)除以t，令t→0，化簡得:

即(7)式成立.

推論1 破產(chǎn)概率φ(u)滿足如下積分-微分方程：

(11)

證明在(3)式中令r=0,ω(x,y)=1，則:

再由(7)式即得(11)式.

(12)

(1-ρ)αe-α(1-ρ)x.

令z=u-x，則:

從而有:

即(12)式成立.

推論3 破產(chǎn)時(shí)赤字|U(T)|的分布函數(shù)滿足如下積分-微分方程：

(13)

證明在(3)式中令r=0，ω(x,y)=I(y≤v)，則:

故(7)式可寫為:

即(13)式成立.

4 結(jié)束語

本文從現(xiàn)代保險(xiǎn)公司的實(shí)際運(yùn)營情形出發(fā)，提出了常數(shù)利率下帶隨機(jī)干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型，具有較強(qiáng)的實(shí)際意義.利用概率論和隨機(jī)過程等學(xué)科的理論方法得到該風(fēng)險(xiǎn)模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)以及破產(chǎn)理論中的幾個(gè)主要精算指標(biāo)所滿足的積分-微分方程.這些結(jié)果對保險(xiǎn)公司解決破產(chǎn)概率等問題提供了理論參考，為保險(xiǎn)公司設(shè)計(jì)相應(yīng)的財(cái)務(wù)預(yù)警系統(tǒng)和保險(xiǎn)監(jiān)管部門設(shè)置相應(yīng)的監(jiān)管指標(biāo)系統(tǒng)提供理論依據(jù).當(dāng)然，現(xiàn)代保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營運(yùn)作情況往往更加復(fù)雜，本文所建風(fēng)險(xiǎn)模型乃至現(xiàn)有的所有風(fēng)險(xiǎn)模型都還有待進(jìn)一步改進(jìn)，本文的思想和方法在一定程度上為以后的研究提供了有益的思路.