緊扣基本方法 打破初中幾何復(fù)習(xí)課的“怪圈”

李美靜

初中階段，幾何一直是學(xué)生掌握的薄弱環(huán)節(jié).“課上明白，課后見題死”的怪圈導(dǎo)致學(xué)生在心理上害怕研究幾何問題，對(duì)幾何學(xué)習(xí)有畏難情緒，遇到陌生問題就束手無策.加之復(fù)習(xí)課多以知識(shí)點(diǎn)回顧和習(xí)題講解為主，往往是老師講臺(tái)上滔滔不絕，學(xué)生課桌上昏昏欲睡.老師費(fèi)盡心思，學(xué)生受盡折磨，卻毫無效果.如何打破“怪圈”，做好幾何復(fù)習(xí)課的有效教學(xué)是我們面臨的一個(gè)重要問題.

下面以人教版九年級(jí)上冊(cè)“直線和圓的位置關(guān)系”的階段性復(fù)習(xí)課的教學(xué)片段為例，進(jìn)行分析探討.本節(jié)課已經(jīng)在兩個(gè)班進(jìn)行過復(fù)習(xí)教學(xué)嘗試，學(xué)生反映良好.這節(jié)課的主要特點(diǎn)是：緊扣判斷直線與圓位置關(guān)系的基本方法，一法多題，題組遞進(jìn).

1小題點(diǎn)睛，小坑怡情

例1已知⊙O的半徑為2，直線L上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則直線L與⊙O的位置關(guān)系是（ ）

A.相切

B.相離

C.相離或相切

D.相切或相交

生l：相切關(guān)系，因?yàn)橹本€L與圓有一個(gè)交點(diǎn).

師：這樣分析準(zhǔn)確嗎？

生2：不準(zhǔn)確！“有一點(diǎn)”，不是有且只有一點(diǎn)，還可能有兩個(gè)交點(diǎn).漏掉了相交的位置關(guān)系，當(dāng)直線L與圓相交P為交點(diǎn)時(shí)，滿足PO=2，所以選D.

師：對(duì)！利用直線和圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)可以判定兩者的位置關(guān)系，還有其他方法嗎？

生3：我是通過圓心到直線的距離和半徑的數(shù)量關(guān)系來判定兩者的位置關(guān)系的……

師：很好！我們得到判定直線和圓位置關(guān)系的兩種方法.

變式 已知⊙O的半徑為2，直線L上有一點(diǎn)P滿足PO=2，則圓心O到直線L的距離d（d取整數(shù)）的值為___.

生4：當(dāng)相切時(shí)，則d=r=2;當(dāng)相交時(shí)，則d

師：分析思路很好，根據(jù)位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，但“d>0”準(zhǔn)確嗎？

生5：不準(zhǔn)確，當(dāng)直線過圓心與圓相交時(shí)，d可以取零.

師：所以d的值為0、l或2.我們發(fā)現(xiàn)已知位置關(guān)系，d，r中任意兩個(gè)能確定第三個(gè)的情況.

設(shè)計(jì)意圖 單純知識(shí)點(diǎn)的梳理使課堂枯燥無味，利用小題重溫知識(shí)點(diǎn)可以克服這種弊端.在題目中設(shè)計(jì)小陷阱，考驗(yàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度和數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性.錯(cuò)因分析，加深學(xué)生對(duì)定理、性質(zhì)的掌握，防止再犯類似的錯(cuò)誤.注意教學(xué)過程中滲透分類數(shù)學(xué)思想方法.

2例題變式，思維拓展

例2如圖l，△ABC為等腰三角形，底邊AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)c，點(diǎn)C是底邊AB的中點(diǎn)，求證：AB是⊙O的切線.

生6：連接OC，知OC為半徑，由SSS證△AOC≌△BOC，得∠AOC=∠BOC=90°，即Oc⊥AB，因而AB是⊙O的切線.

師：有沒有更簡(jiǎn)單的證明方法？

生7：△ABC為等腰三角形，c為底邊中點(diǎn)，由三線合一得Oc⊥AB，則AB是⊙O的切線.

師：很好！要求大家能利用等腰三角形三線合一性質(zhì)便捷地解決問題.

變式1如圖2，△ABC為等腰三角形，點(diǎn)O是底邊BC的中點(diǎn)，⊙O與腰AB相切于點(diǎn)D，求證：Ac與⊙O相切.

生8：作OE⊥AC于點(diǎn)E，OE是半徑，Ac就是切線了！咦，好像哪里不對(duì).

生9：點(diǎn)E在Ac上沒有在圓上呀，不能說是切線.哦，可以證明點(diǎn)E在圓上！連接OD，由切線的性質(zhì)，知OD上AB.證△DOB≌△EOC……

師：可以，但證明方法不夠完美，誰能給出更好的證明方法？

生9：哦，我知道了！△ABC是等腰三角形，連接OA，OA是中線也是角平分線，直接就有點(diǎn)O到角兩邊的距離相等，即OE=OD，因而Ac是⊙O的切線.

師：很好，方法的選擇也是能力的考查.誰能將這兩種證切線的方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的歸納？

生9：當(dāng)沒有給出直線和圓的交點(diǎn)時(shí)，可通過作垂直，證垂線段等于半徑來解決.

師：簡(jiǎn)記為“無交點(diǎn)，作垂直，證半徑”.誰能給出例2題型的口訣？

生10：“有交點(diǎn)，連半徑，證垂直”.

設(shè)計(jì)意圖不搞“題海戰(zhàn)術(shù)”，將課本例題進(jìn)行變式，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性和靈活性.注重探索解題規(guī)律，做到聞一知十，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用知識(shí)能力和應(yīng)變能力.重視題目講解后的小結(jié)，培養(yǎng)學(xué)生解題后反思和總結(jié)的習(xí)慣.

3提煉基圖，強(qiáng)化能力

師：由這兩題我們得到了證明切線的重要口訣，還收獲了什么？

生11：出現(xiàn)等腰三角形時(shí)要考慮利用它的性質(zhì)來解題.

師：很好，我們將等腰三角形的三線合一作為基本圖形提煉出來，如圖3.在一些較復(fù)雜的題目中要會(huì)辨認(rèn)出或者構(gòu)造出這些基本圖形，選擇有效的信息和結(jié)論，迅速的找到證明思路和證明方法.

變式2如圖4，△ABC為等腰三角形，內(nèi)接于大圓O，小圓O與腰AB相切于點(diǎn)D，求證：Ac是小圓O的切線.

生12：跟上題解法同，連接OD，得OD⊥AB，再作OE⊥Ac于點(diǎn)E，但好像證不出，沒有辦法利用三線合一.

師：題目中還有什么條件沒有用？

生12： △ABC內(nèi)接于大圓O！連接AO，BO，CO，有AO=BO=CO.

師：可以用三線合一嗎？

生12：可以.△AOB為等腰三角形，OD是高線也是中線，則AD=1/2AB.同理AE=1/2Ac，又AB=AC，得AD=AE.由HL證Rt△DOA≌Rt△EOA，得OE=OD，因而AC是小圓O的切線.

師：很好，要懂得發(fā)現(xiàn)隱藏的條件，構(gòu)造基本圖形，應(yīng)用它來解決問題.

變式3已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，過點(diǎn)A作直線EF.

（l）如圖5，AB為直徑，要使EF為⊙O的切線，還需添加的條件是（寫出三種情況）：①___ ;②___ ;③___.

（2）如圖6，AB是非直徑的弦，∠CAE=∠B，求證：EF是⊙O的切線.

（3）如圖7，AB是非直徑弦，∠CAE=∠ABC，EF還是⊙O的切線嗎？請(qǐng)說明理由.

師：看圖6，如何證EF是⊙O的切線？

生13：作直徑AD，連接CD，構(gòu)造直角三角形，由圓周角定理得∠D=∠B，然后類比（l）求出∠CAE+∠CMA=90°，即OA⊥EF，則EF是⊙O的切線.

師：你是怎么想到的？

生13：我先是連OA，但是證不出，然后就嘗試延長(zhǎng)OA作直徑仿照?qǐng)D5構(gòu)造直角三角形.

師：很好，學(xué)會(huì)利用題設(shè)或者問題結(jié)論解決問題，繼續(xù)思考（3）.

生14：作直徑AD，連BD，作直角三角形.由圓周角定理得∠DAC=∠DBC，而∠CAE=∠ABC，∠DAE+∠DAC=∠ABD+∠DBC=〉∠DAE=∠ABD=90°，即OA⊥EF，則EF是⊙O的切線。

師：對(duì)！看來大家已經(jīng)有了構(gòu)造直角三角形的意識(shí)，我們將在圓內(nèi)連直徑構(gòu)造直角三角形做為基本圖形提煉出來，直角三角形有很多特殊的性質(zhì)（勾股定理、30°角與邊的關(guān)系、斜邊中線等于斜邊一半、銳角三角函數(shù)等）為解決問題提供了很多便利條件.

設(shè)計(jì)意圖 課標(biāo)對(duì)學(xué)生幾何部分的要求是“能從復(fù)雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關(guān)系，利用直觀來進(jìn)行思考”.熟悉和運(yùn)用基本圖形的性質(zhì)為學(xué)習(xí)和解決幾何問題開啟了一扇便捷之門.當(dāng)然基本圖形的應(yīng)用并不是一成不變的，需要我們靈活掌握，才能得心應(yīng)手.

4課后訓(xùn)練，模擬中考

練習(xí)△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，Bc=√3.

（1）如圖8，若AC是⊙O的直徑，∠BAC=60°，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)o，使得DA=1/2BA，過點(diǎn)D作直線ι⊥BD，垂足為點(diǎn)D，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整，判斷直線L和⊙O的位置關(guān)系并說明理由.

（2）如圖9，∠B=120°，點(diǎn)D是優(yōu)弧AC的中點(diǎn)，DE∥BC交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，BE=2，請(qǐng)將圖形補(bǔ)充完整并求AB的值.

設(shè)計(jì)意圖 讓學(xué)生感受中考題型，做到心里有底，本題綜合性較強(qiáng)，考查直線與圓的位置關(guān)系、圖形中位線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí).同時(shí)需要學(xué)生構(gòu)造圖形中位線和全等三角形來解決問題，講評(píng)時(shí)要注意化歸思想的滲透.中考題每日一練，磨煉心態(tài)，增強(qiáng)自信.

復(fù)習(xí)課意在深化學(xué)生對(duì)已學(xué)知識(shí)的理解與記憶，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，將已學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、規(guī)律化，使學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、思想感悟和經(jīng)驗(yàn)積累達(dá)到一定高度.在這個(gè)過程切忌本末倒置，學(xué)生不僅是“聽”和“寫”的主體，更是“講”和“思”的主體，而教師是這一過程的引導(dǎo)者.當(dāng)學(xué)生深入?yún)⑴c其中，樂在其中時(shí)，整堂課的目的就達(dá)到了.

以上是筆者在教學(xué)中的一種嘗試，意在打破幾何復(fù)習(xí)課的低效怪圈.當(dāng)然，教無定法，復(fù)習(xí)課的教學(xué)設(shè)計(jì)并不局限以上幾個(gè)環(huán)節(jié)，我們還需要不斷地總結(jié)完善.希望我們每一位教師都能不斷更新自己，無愧于三尺講臺(tái).