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    有界洞型區(qū)域內一類半線性橢圓型方程邊值問題的可解性

    2018-12-28 06:48:22鐘金標
    關鍵詞:橢圓型邊值問題極值

    張 月,鐘金標

    (安慶師范大學數學與計算科學學院,安徽安慶246133)

    文獻[1]研究了半線性橢圓型方程邊值問題正解的存在性,證明了存在正常數b?,使對所有正數b< b?,(1)式存在正解,而當b> b?時,無解。

    文獻[2]研究了環(huán)型區(qū)域上半線性橢圓型方程邊值問題,即討論了解的存在性。

    文獻[3]研究了半線性橢圓型方程組邊值問題解的存在性。

    文獻[4]討論了半線性橢圓型方程邊值問題解的存在性與不存在性。

    受文獻[1-4]研究思想啟發(fā),考察半線性橢圓型方程邊值問題正解的存在性與唯一性,其中Ω為Rn中有界光滑區(qū)域,Γ1為Ω的內邊界,Γ2為Ω的外邊界,?Ω=Γ1?Γ2光滑,b>0是常數。設問題(2)中函數f(x,u)滿足下列條件(或部分條件):

    (H1)f(x,s)關于(x,s)在×[0,+∞)上非負局部Holder連續(xù);

    (H4)f(x,s)關于s單調增加;

    (H5)f(x,u)為 ×[0,+∞)上關于 u的 Lipschitz連續(xù)函數,Lipschitz系數為L,且L < λ1,其中λ1為算子-Δ在0-Dirichlet邊值條件下的第一特征值。

    (2)式中非線性項f(x,u)在0與∞點處是超線性的,比文獻[1]中非線性項更具一般性,與文獻[2-4]中非線性項滿足條件也不同,采用的證明方法也不盡相同,證得了解的存在性。下面證明解的存在性。設h為問題的解,則由強極值原理知,在Ω上,0<h<1,做變換=u+bh,則(2)式轉換為

    定理1若條件(H1)~(H4)成立,則存在b?> 0,使當 b< b?時,(3)式有非負解;若b> b?,則無解。

    證明 按下面三步證明。

    (I)設k(x,y)為算子-Δ在0-Dirichlet邊界條件的Green函數。R(x)為方程記 ||R0為R在Ω上的上確界,由條件(H2)知,存在常數b>0,使當x∈Ω,u∈(0,2b)時,有的解。

    由條件(H1)知f(x,ω+bh)≥ 0,從而Δuˉ≤ 0,結合上調和函數極值原理知uˉ≥0?,F證uˉ∈D。

    記 算 子 A=(-Δ)-1f∶D→D 如下 :對 任 意ω∈D,Aω=uˉ∈D,其中 uˉ為(4)式的解。因為L-1=(-Δ)-1為緊算子,f連續(xù),從而A是映射D到D的緊映射,由Schauder不動點定理[5]知,A有一個不動點uˉ∈ D,從而(3)式即(2)式對上面b> 0存在有界非負解。

    (II)當b充分大時,(3)式沒有非負解。

    記λ1是算子-Δ在0-Dirichlet邊值條件下的第一特征值,Φ()x是相應的正特征函數,將(3)式中方程兩邊乘上Φ()x,并在Ω上積分,利用Green第一恒等式,得

    由條件(H2)、(H3)知,存在正常數C使

    將(6)式代入(5)式得:

    (III)記Λ={b|(2)式有正解},由(I)中所證知,Λ非空,記b?=supΛ,由(I)與(II)知0< b?<+∞,任取b< b?,存在bˉ,b < bˉ< b?,(2)式有正解 ubˉ,由上調和函數極值原理及ubˉ在連續(xù)性知存在C>0,使得作輔助函數由條件(H1)及(7)式知(x,u)是在Ω × [ 0 ,C]上的非負有界連續(xù)函數,從而問題

    由下調和函數極值原理知ω≤0, x∈Ω0,從而在Ω0內0 ≤ ub≤ ubˉ,這與Ω0的定義矛盾,Ω0為空集,所以0≤ ub≤ ubˉ, x∈ Ω。從而(8)式的正解亦為(2)式的正解。作為定理的應用,下面給出了一個實例。

    下面給出并證明(2)式解的唯一性定理。

    定理2若條件(H5)成立,則(2)式至多只有一個解。

    證明 設u1與u2為(2)式的兩個解,則有

    成立。將(10)式與(11)式相減后,左右兩邊乘以u1-u2,在Ω上積分并利用Green第一恒等式、Poincare不等式及條件(H5)得

    矛盾,所以u1=u2,即解至多是一個。

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