基于創(chuàng)新理論與方法(TRIZ)的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施

鄧大勇，倪應(yīng)華，肖春水

（浙江師范大學(xué)行知學(xué)院 工學(xué)分院，浙江 金華 321004）

0 引 言

離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)的核心課程，是數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯技術(shù)、人工智能等課程的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。正因?yàn)槿绱?，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)受到了全球各高校計(jì)算機(jī)專業(yè)的高度重視。離散數(shù)學(xué)課程具有內(nèi)容抽象性高、邏輯性強(qiáng)、理論性強(qiáng)等特點(diǎn)，然而由于離散數(shù)學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程和教學(xué)結(jié)果都不盡如人意，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。針對(duì)課程教學(xué)過(guò)程中存在的問(wèn)題，不少教師進(jìn)行了研究，探索出一系列行之有效的離散數(shù)學(xué)教育教學(xué)方法。文獻(xiàn)[1—5]提出通過(guò)實(shí)踐課程、實(shí)驗(yàn)課程網(wǎng)絡(luò)課程、改進(jìn)學(xué)習(xí)方法等提高離散數(shù)學(xué)的教學(xué)效果；文獻(xiàn)[6]強(qiáng)調(diào)采用實(shí)踐課程與考核方法相結(jié)合；文獻(xiàn)[7]提出采用情景式教學(xué)法吸引學(xué)生的注意力；文獻(xiàn)[8]探討開(kāi)放題的考試方法。

1 創(chuàng)新理論與方法(TRIZ)簡(jiǎn)介

TRIZ是全球應(yīng)用最廣的創(chuàng)新理論與方法，創(chuàng)始人為阿奇舒勒[9-10]。TRIZ是阿奇舒勒在分析前蘇聯(lián)發(fā)明專利的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，主要應(yīng)用于技術(shù)發(fā)明和管理創(chuàng)新，六西格瑪法是TRIZ應(yīng)用于管理創(chuàng)新的系統(tǒng)化方法。

TRIZ主要內(nèi)容包括組件分析、小人法、金魚法、九屏幕法、裁剪法，矛盾分析（包括技術(shù)矛盾和物理矛盾）、分離原理（包括時(shí)間分離、空間分離、條件分離、整體和部分分離等）、最終理想解、S曲線、知識(shí)庫(kù)、40個(gè)發(fā)明原理、物場(chǎng)分析、76個(gè)標(biāo)準(zhǔn)解等。

2 教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)與實(shí)施

根據(jù)文獻(xiàn)[11—12]給出的離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)框架和教學(xué)內(nèi)容，離散數(shù)學(xué)教學(xué)面臨兩個(gè)矛盾：①內(nèi)容多與課時(shí)少的矛盾；②教學(xué)內(nèi)容抽象性高、邏輯性強(qiáng)與學(xué)生基礎(chǔ)差、邏輯思維能力不強(qiáng)的矛盾。我們使用的教材是屈婉玲等編著的離散數(shù)學(xué)（第2版）[12]，該書內(nèi)容豐富，包括數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)、組合數(shù)學(xué)、圖論和初等數(shù)論6個(gè)部分，教材建議2個(gè)學(xué)期教學(xué)，共計(jì)108～144課時(shí)，但是很多學(xué)校離散數(shù)學(xué)教學(xué)計(jì)劃卻只有48課時(shí)；同時(shí)本科院校之間也存在生源差異，如三本學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)與北大等名牌大學(xué)的學(xué)生不可同日而語(yǔ)。

面對(duì)第一個(gè)矛盾，可以采用裁剪法。根據(jù)TRIZ理論，使用裁剪法裁剪技術(shù)系統(tǒng)的組件時(shí)，要保留系統(tǒng)的有用功能。根據(jù)實(shí)用夠用的原則，課程裁剪了組合數(shù)學(xué)和初等數(shù)論2個(gè)部分，對(duì)保留的部分，也進(jìn)行了適當(dāng)?shù)牟眉簦热缑}邏輯中的消解證明法、代數(shù)結(jié)構(gòu)中的格與布爾代數(shù)等。同時(shí)，裁剪了大部分證明過(guò)程，只保留定理、定義的基本思想。完成這些裁剪后，在48個(gè)課時(shí)之內(nèi)，基本上能夠完成教學(xué)內(nèi)容。

針對(duì)第二個(gè)矛盾，可以采用分離原理——空間分離和時(shí)間分離。課堂上主要講述離散數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本原理，解答學(xué)生的疑難問(wèn)題，把關(guān)于離散數(shù)學(xué)的實(shí)踐內(nèi)容和其他拓展內(nèi)容留在課外，鼓勵(lì)學(xué)生課外在圖書館和互聯(lián)網(wǎng)上查找資料。此外，在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中可以引入中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，減少離散數(shù)學(xué)知識(shí)本身的枯燥，增加了學(xué)生的興趣，加深學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)知識(shí)的掌握。比如：對(duì)于空集的冪集 ，聯(lián)系“道生一”“無(wú)中生有”；對(duì)于群，提問(wèn)“物以類聚，人以群分，在離散數(shù)學(xué)中，什么樣的元素與運(yùn)算集合能構(gòu)成群？這些元素怎樣以類聚、以群分？”；等等。

3 教學(xué)方式的設(shè)計(jì)與實(shí)施

在教學(xué)方式上，我們采用TRIZ理論的九屏幕法和小人法。九屏幕法要求看到系統(tǒng)的過(guò)去、現(xiàn)在和未來(lái)，考慮系統(tǒng)、超系統(tǒng)和子系統(tǒng)；小人法從細(xì)節(jié)上看問(wèn)題，從不同的角度看問(wèn)題。中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和實(shí)踐內(nèi)容是離散數(shù)學(xué)課程之外的超系統(tǒng)，利用超系統(tǒng)減少教學(xué)內(nèi)容的抽象性。通過(guò)小人法，我們更多地看到了一些教學(xué)內(nèi)容的細(xì)節(jié)。比如：學(xué)生對(duì)于蘊(yùn)含式的理解不深，他們往往從通常意義上的因果律去理解，我們通過(guò)舉例詳細(xì)地講解因果律和蘊(yùn)含式之間的區(qū)別和聯(lián)系。又如：對(duì)于歐拉圖和哈密頓圖的區(qū)別，我們通過(guò)軍事戰(zhàn)爭(zhēng)案例讓學(xué)生理解控制路和點(diǎn)的區(qū)別和聯(lián)系。

必要的時(shí)候，利用情景教學(xué)法，通過(guò)簡(jiǎn)單的課堂游戲，營(yíng)造一定的教學(xué)情景。如課堂上做2個(gè)守衛(wèi)的游戲：讓2個(gè)學(xué)生分別擔(dān)任守衛(wèi)，1個(gè)學(xué)生扮演囚徒。問(wèn)囚徒如何從生門出來(lái)？引起了學(xué)生的積極思考和討論。又如：講解群論時(shí)，讓學(xué)生想象當(dāng)年群論的創(chuàng)始人伽羅瓦與人比賽解方程的場(chǎng)景。

此外，我們還大量使用板書法，特別是一些重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容。教學(xué)實(shí)踐表明，板書在激發(fā)學(xué)生興趣、吸引學(xué)生的注意力方面比PPT強(qiáng)，而且不容易疲勞。通過(guò)大量的板書演算，讓學(xué)生體味離散數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

啟發(fā)式教學(xué)方法也是我們課堂上常用的方法，每次課至少要提1個(gè)以上的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生，引起學(xué)生的思考。通過(guò)提問(wèn)，活躍了課堂氣氛，加強(qiáng)了師生交互，激發(fā)了學(xué)生的熱情和興趣。

課堂的板書法和啟發(fā)式教學(xué)，體現(xiàn)了TRIZ理論的動(dòng)態(tài)作用原理。在課外，我們鼓勵(lì)學(xué)生使用知識(shí)庫(kù)，圖書館和互聯(lián)網(wǎng)是最大的知識(shí)庫(kù)。通過(guò)知識(shí)庫(kù)，加深了學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，也可以使學(xué)生了解離散數(shù)學(xué)的前沿。

4 考試方式設(shè)計(jì)與實(shí)施

作業(yè)是一種練習(xí)、一種鞏固，也是一種考試或考核?；谶@樣的認(rèn)識(shí)，我們精心準(zhǔn)備每一次作業(yè)，使得作業(yè)具有代表性，能夠覆蓋知識(shí)點(diǎn)，特別是重點(diǎn)和難點(diǎn)。認(rèn)真批改、仔細(xì)講解所有作業(yè)，讓作業(yè)發(fā)揮練習(xí)和考試考核的功能，這體現(xiàn)了TRIZ的預(yù)先作用原理和廉價(jià)品替代原理。

在目前階段，作業(yè)不能完全替代考試，期末考試還是一種非常重要的檢查學(xué)生學(xué)業(yè)水平的方法。對(duì)于期末考試的設(shè)計(jì)，除了傳統(tǒng)的知識(shí)點(diǎn)覆蓋法外，近年來(lái)我們引入開(kāi)放題對(duì)學(xué)生進(jìn)行考試和考核。要求學(xué)生考前一個(gè)月準(zhǔn)備開(kāi)放題，考試期間根據(jù)事先準(zhǔn)備的內(nèi)容進(jìn)行答題，但不可以把任何資料帶入考場(chǎng)，因?yàn)槭情]卷考試。開(kāi)放題沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，學(xué)生自由發(fā)揮，可以上網(wǎng)或在圖書館查找資料。我們根據(jù)學(xué)生答題的新穎度、邏輯性、一致性、完整性等給分，開(kāi)放題體現(xiàn)了TRIZ的預(yù)先作用原理，同時(shí)也體現(xiàn)了時(shí)間分離、空間分離、條件分離以及整體和部分分離的分離原理。以下是我們?cè)?jīng)考過(guò)的2個(gè)開(kāi)放題。

（1）結(jié)合離散數(shù)學(xué)知識(shí)和中國(guó)傳統(tǒng)文化，論述離散數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)中蘊(yùn)含的傳統(tǒng)文化思想。

（2）幺元、零元與逆元猜想（要求：緊扣幺元、零元、逆元的性質(zhì)，盡可能發(fā)揮想象力）。

大部分學(xué)生對(duì)開(kāi)放題持積極的態(tài)度，考前充分準(zhǔn)備，考試中不少學(xué)生回答得很好。比如：對(duì)于幺元有人聯(lián)想到空氣，對(duì)于零元有人聯(lián)想到黑洞，對(duì)于逆元有人聯(lián)想到正電子與負(fù)電子，等等。開(kāi)放題考試形式拓展了學(xué)生的思維。

5 教學(xué)效果評(píng)估

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，融入創(chuàng)新原理，融入中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，取得了初步的教學(xué)成果。首先，學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)的興趣有較大的提高，課堂內(nèi)外的學(xué)習(xí)氛圍有所改善，學(xué)生的考試分?jǐn)?shù)大約平均提高了5分以上。其次，學(xué)生對(duì)老師的評(píng)教也有所提高，大約提高了2～3個(gè)百分點(diǎn)，一改離散數(shù)學(xué)教學(xué)評(píng)估偏低的普遍現(xiàn)象。我們的教學(xué)研究獲得了一個(gè)學(xué)院重點(diǎn)教改項(xiàng)目。

當(dāng)然，也有少部分學(xué)生對(duì)我們的講課方法有異議，有學(xué)生認(rèn)為，在離散數(shù)學(xué)中融入中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，有上課閑聊的嫌疑。

6 結(jié) 語(yǔ)

我們嘗試用創(chuàng)新理論和方法指導(dǎo)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)，并在教學(xué)過(guò)程中融入中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，在教書的同時(shí)，發(fā)揮了育人的作用，取得了一些教學(xué)成果：初步解決了教學(xué)內(nèi)容多和課時(shí)少的矛盾；在一定程度上解決了教學(xué)內(nèi)容抽象與學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高的矛盾；在教書的過(guò)程中兼顧了育人，弘揚(yáng)了中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。

當(dāng)然，我們把創(chuàng)新理論創(chuàng)新方法和中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入離散數(shù)學(xué)的教學(xué)研究還比較初步，我們將進(jìn)一步把方法系統(tǒng)化和體系化，并進(jìn)行一定的推廣。

[1] 齊歌, 薛占熬, 杜浩翠,等. 加強(qiáng)“離散數(shù)學(xué)”實(shí)踐以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力[J]. 現(xiàn)代計(jì)算機(jī), 2010(1): 69-72.

[2] 魚先鋒, 李超. 離散數(shù)學(xué)集合論模塊的實(shí)踐教學(xué)研究[J]. 商洛學(xué)院學(xué)報(bào), 2016, 30(2): 70-73.

[3] 譚作文. 離散數(shù)學(xué)課程中實(shí)驗(yàn)教學(xué)探討[J]. 計(jì)算機(jī)教育, 2010 (17): 106-109.

[4] 黃震. 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式改進(jìn)方法的探討[J]. 商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2011, 10(5): 19-21.

[5] 文海英, 廖瑞華, 魏大寬. 離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革探索與實(shí)踐[J]. 計(jì)算機(jī)教育, 2010(6): 100-103.

[6] 潘志剛, 葉綠, 向堅(jiān). 基于實(shí)踐能力培養(yǎng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)改革探索[J]. 浙江科技學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 21(4): 373-376.

[7] 王維花, 宮成強(qiáng), 王志巍. 離散數(shù)學(xué)情境式教學(xué)方法實(shí)踐與探索 :以“笛卡爾積”教學(xué)為例[J]. 現(xiàn)代教育技術(shù), 2008(增刊1): 65-68.

[8] 鄧大勇. 計(jì)算機(jī)課程考試開(kāi)放題的理論與實(shí)踐[J]. 計(jì)算機(jī)教育, 2015 (21): 79-81.

[9] 周蘇, 陳敏玲, 李亮亮, 等. 創(chuàng)新思維與TRIZ創(chuàng)新方法[M]. 北京: 清華大學(xué)出版社, 2015.

[10] 姚威, 朱凌, 韓旭. 工程師創(chuàng)新手冊(cè): 發(fā)明問(wèn)題的系統(tǒng)化解決方案[M]. 杭州: 浙江大學(xué)出版社, 2015 .

[11] 屈婉玲, 王元元, 傅彥, 等.“離散數(shù)學(xué)”課程教學(xué)實(shí)施方案[J]. 中國(guó)大學(xué)教學(xué), 2011(1): 39-41.

[12] 屈婉玲, 耿素云, 張立昂. 離散數(shù)學(xué)[M]. 2版. 北京 :高等教育出版社, 2015.