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    求函數(shù)值域的八種常用方法

    2015-05-30 21:19:22王曉潔
    科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào) 2015年30期
    關(guān)鍵詞:解答方式方法

    王曉潔

    摘 要:函數(shù)的值域函數(shù)的重要性質(zhì)之一,也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一,求函數(shù)的值域,在知識(shí)上,除涉及函數(shù)的所有知識(shí)外,還需要二次函數(shù)、不等式等其他重要知識(shí)點(diǎn);在解題方法上,具有較強(qiáng)的綜合性,求函數(shù)值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題,不同的函數(shù)解析式要用不同的方法,選擇正確簡(jiǎn)潔的求值方法對(duì)于求函數(shù)值域的相關(guān)知識(shí)會(huì)有很大的鞏固和提高。

    關(guān)鍵詞:函數(shù)值域 ?解答 ?方式方法

    中圖分類(lèi)號(hào):G634 ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-098X(2015)10(c)-0241-02

    求函數(shù)值域是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題,不同的函數(shù)解析式要用不同的方法,下面舉例說(shuō)明幾種常見(jiàn)的求函數(shù)值域的方法。

    1 配方法

    例1:求函數(shù)y=2x2-6x+3的值域。

    解:y=2(x-3)2-≥-

    函數(shù)X的值域?yàn)閇-,

    2 判別式法

    對(duì)于某些有理數(shù)分式函數(shù),y=f(x)(分子或分母最高次數(shù)為2),可把函數(shù)的解析式化為關(guān)于x的一元二次方程,再根據(jù)判別式△≥0得到一個(gè)關(guān)于y的不等式。解此不等式就可求得函數(shù)的值域。

    例2:求的值域。

    解:原方程可化為(y-1)x2+2(y+1)+3(y-1)=0

    當(dāng)y時(shí),≥

    解得

    當(dāng)y=1時(shí),x=0屬于定義域

    函數(shù)的值域?yàn)?/p>

    3 非負(fù)數(shù)法

    當(dāng)函數(shù)的解析式中出現(xiàn)絕對(duì)值、偶次方冪、算數(shù)根或指數(shù)冪時(shí),常根據(jù)他們的非負(fù)數(shù)這一性質(zhì)確定函數(shù)的值域。

    例3:求函數(shù)的值域。

    解:原方程可化為

    視為關(guān)于x的方程化為

    所以函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

    4 分部分式法

    當(dāng)函數(shù)的解析式y(tǒng)=f(x)是分式且分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí),可分部分式求函數(shù)的值域。

    例4:求函數(shù)的值域。

    解:

    因?yàn)榍遥?/p>

    所以,

    故該函數(shù)的值域?yàn)閇

    5 換元法

    對(duì)于某些特殊的函數(shù)y=f(x),可利用設(shè)輔助未知數(shù)的方法求得其值域。

    例5:求函數(shù)的值域。

    解:令)

    所以(當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào))

    故原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

    6 函數(shù)的單調(diào)性法

    對(duì)于某些單調(diào)函數(shù)可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域。

    例6:求函數(shù)的值域。

    解:設(shè)

    因?yàn)?/p>

    當(dāng)時(shí),t有最小值;

    又因?yàn)槭窃龊瘮?shù)

    所以當(dāng)≥;

    故原函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

    7 反函數(shù)法

    因?yàn)樵瘮?shù)的值域正好是它的定義域,所以要求原函數(shù)的域可以轉(zhuǎn)換為先求其反函數(shù)再求其定義域,即得原函數(shù)的。

    例7:求函數(shù)的值域。

    解:求得的反函數(shù)為,

    其定義域?yàn)?

    故所求函數(shù)的值域?yàn)?

    8 數(shù)形結(jié)合法

    例8:求函數(shù)的值域

    解:原函數(shù)化為

    將此函數(shù)化為分段函數(shù)的形式

    通過(guò)圖像可知

    故所求函數(shù)的值域?yàn)椤?/p>

    以后通過(guò)學(xué)習(xí)不等式和三角函數(shù)求函數(shù)的值域還可以用不和利用有界性法。

    參考文獻(xiàn)

    [1] 如何求函數(shù)值域[J].云南教育:基礎(chǔ)教育版,1980(9):35-36.

    [2] 黃桂香.求函數(shù)值域的常用方法[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究,2012(30):113-114.

    [3] 周云.求函數(shù)值域的方法歸納[J].考試周刊,2009(18):47-48.

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